2020-2021学年广东省江门二中等十校联考九年级（上）期中数学试卷 解析版

2020-2021学年广东省江门二中等十校联考九年级（上）期中数学试卷 解析版

2020-2021 学年广东省江门二中等十校联考九年级（上）期中数 学试卷 一、选择题 1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“中”字所在的面相对的面上标的字 是（ ） A．我 B．的 C．梦 D．国 3．在数轴上，a 所表示的点总在 b 所表示的点的右边，且|a|＝6，|b|＝3，则 a﹣b 的值为 （ ） A．﹣3 B．﹣9 C．﹣3 或﹣9 D．3 或 9 4．如图，在 ⊙ O 中，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC 的度数为（ ） A．25° B．50° C．60° D．80° 5．对于非零的两个实数 a，b，规定 a ⊕ b＝am﹣bn，若 3 ⊕ （﹣5）＝15，4 ⊕ （﹣7）＝28， 则（﹣1） ⊕ 2 的值为（ ） A．﹣13 B．13 C．2 D．﹣2 6．如图，菱形 ABCD 的边长为 2，∠A＝60°，点 E 是对角线 BD 的中点．点 G 是 AB 边上 一动点，GE 延长线交 CD 于点 H，则 GH 长度可能为（ ） A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5 7．欣欣服装店某天用相同的价格 a（a≥0）卖出了两件服装，其中一件盈利 20%，另一件 亏损 20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（ ） A．亏损 B．盈利 C．不盈不亏 D．与进价有关 8．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+kb+1＝0 有两个不相等的实数根，则一次函数 y＝kx+b 的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 9．已知抛物线 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论： ① abc＞0； ② a+b+c＝2； ③ a ＜ ； ④ b＞1．其中正确的结论是（ ） A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ②④ 10．如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PE⊥BC 于点 E，PF⊥CD 于点 F， 连接 EF 给出下列五个结论： ① AP＝EF； ② AP⊥EF； ③ △APD 一定是等腰三角形； ④∠PFE＝∠BAP； ⑤ PD＝ EC．其中正确结论的番号是（ ） A． ①②④⑤ B． ①②③④⑤ C． ①②④ D． ①④二、填空题 11．据科学家估计地球年龄大约是 46000 000 00 年，这个数用科学记数法表示为 ． 12 ． 已 知 关 于 x 的 分 式 方 程 +1 ＝ 0 有 整 数 解 ， 且 关 于 x 的 不 等 式 组 解集为 x≤﹣1，则符合条件的所有整数 a 的个数是 ． 13．已知 1＜x＜2， ，则 的值是 ． 14．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，∠CAB 的平分线交 BD 于点 E，交 BC 于点 F．若 OE＝2，则 CF＝ ． 15．如图，∠AOB＝30°，点 P 是∠AOB 内任意一点，且 OP＝7，点 E 和点 F 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，则△PEF 周长的最小值是 ． 16．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 P 为 AC 边上的一点，延长 BP 至点 D，使得 AD ＝AP，当 AD⊥AB 时，过 D 作 DE⊥AC 于 E，AB﹣BC＝4，AC＝8，则△ABP 面积为 ． 三、解答题（一） 17．计算： 18．如果有理数 a、b 满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，试求 +… + 的值． 19．如图，在笔直的公路 AB 旁有一座山，为方便运输货物现要从公路 AB 上的 D 处开凿隧 道修通一条公路到 C 处，已知点 C 与公路上的停靠站 A 的距离为 15km，与公路上另一 停靠站 B 的距离为 20km，停靠站 A、B 之间的距离为 25km，且 CD⊥AB． （1）求修建的公路 CD 的长； （2）若公路 CD 修通后，一辆货车从 C 处经过 D 点到 B 处的路程是多少？ 四、解答题（二） 20．“最美女教师”张丽莉，为抢救两名学生，以致双腿高位截肢，社会各界纷纷为她捐款， 我市某中学九年级一班全体同学参加了捐款活动，该班同学捐款情况的部分统计图如图 所示： （1）求该班的总人数； （2）将条形图补充完整，并写出捐款总额的众数； （3）该班平均每人捐款多少元？ 21．在创建“全国文明城市”和“省级文明城区”过程中，栾城区污水处理厂决定先购买 A、 B 两型污水处理设备共 20 台，对城区周边污水进行处理．已知每台 A 型设备价格为 12 万元，每台 B 型设备价格为 10 万元；1 台 A 型设备和 2 台 B 型设备每周可以处理污水 640 吨，2 台 A 型设备和 3 台 B 型设备每周可以处理污水 1080 吨． （1）求 A、B 两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？ （2）要想使污水处理厂购买设备的资金不超过 230 万元，但每周处理污水的量又不低于 4500 吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？ 22．定义：对于一个有理数 x，我们把[x]称作 x 的对称数． 若 x≥0，则[x]＝x﹣2；若 x＜0，则[x]＝x+2．例：[1]＝1﹣2＝﹣1，[﹣2]＝﹣2+2＝0． （1）求[ ]，[﹣1]的值； （2）已知有理数 a＞0，b＜0，且满足[a]＝[b]，试求代数式（b﹣a）3﹣2a+2b 的值； （3）解方程：[2x]+[x+1]＝1． 五、解答题（三） 23．如图，△ABC≌△ADC，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC，点 F 在边 AB 上，点 E 在 边 AD 的延长线上，且 DE＝BF，BG⊥CF，垂足为 H，BH 的延长线交 AC 于点 G． （1）若 AB＝10，求四边形 AECF 的面积； （2）若 CG＝CB，求证：BG+2FH＝CE． 24．如图，已知抛物线 y＝ax2+bx﹣1 与 x 轴的交点为 A（﹣1，0），B（2，0），且与 y 轴交 于 C 点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点 C 关于 x 轴的对称点为 C1，M 是线段 BC1 上的一个动点（不与 B、C1 重合）， ME⊥x 轴，MF⊥y 轴，垂足分别为 E、F，当点 M 在什么位置时，矩形 MFOE 的面积最 大？说明理由． （3）已知点 P 是直线 y＝ x+1 上的动点，点 Q 为抛物线上的动点，当以 C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点 P 和点 Q 的坐标． 六、附加题 25．探究：如图 1 和图 2，四边形 ABCD 中，已知 AB＝AD，∠BAD＝90°，点 E、F 分别 在 BC、CD 上，∠EAF＝45°． （1） ① 如图 1，若∠B、∠ADC 都是直角，把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG， 使 AB 与 AD 重合，直接写出线段 BE、DF 和 EF 之间的数量关系 ； ② 如图 2，若∠B、∠D 都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段 BE、DF 和 EF 之间 的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （2）拓展：如图 3，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2 ．点 D、E 均在边 BC 边上，且∠DAE＝45°，若 BD＝1，求 DE 的长． 2020-2021 学年广东省江门二中等十校联考九年级（上）期中数 学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项正确； D、不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：C． 2．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“中”字所在的面相对的面上标的字 是（ ） A．我 B．的 C．梦 D．国 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“国”与面“我”相 对，面“梦”与面“的”相对，“中”与面“梦”相对． 故选：C． 3．在数轴上，a 所表示的点总在 b 所表示的点的右边，且|a|＝6，|b|＝3，则 a﹣b 的值为 （ ） A．﹣3 B．﹣9 C．﹣3 或﹣9 D．3 或 9 【分析】根据绝对值的性质求出 a、b，再根据数轴上的点的特征确定出 a＝6，然后代入 代数式根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解． 【解答】解：∵|a|＝6，|b|＝3， ∴a＝±6，b＝±3， ∵在数轴上，a 所表示的点总在 b 所表示的点的右边， ∴a＝6， 当 a＝6，b＝3 时，a﹣b＝6﹣3＝3， 当 a＝6，b＝﹣3 时，a﹣b＝6﹣（﹣3）＝6+3＝9， 所以，a﹣b 的值为 3 或 9． 故选：D． 4．如图，在 ⊙ O 中，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC 的度数为（ ） A．25° B．50° C．60° D．80° 【分析】由 AC∥OB，∠BAO＝25°，可求得∠BAC＝∠B＝∠BAO＝25°，又由圆周角 定理，即可求得答案． 【解答】解：∵OA＝OB， ∴∠B＝∠BAO＝25°， ∵AC∥OB， ∴∠BAC＝∠B＝25°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝50°． 故选：B． 5．对于非零的两个实数 a，b，规定 a ⊕ b＝am﹣bn，若 3 ⊕ （﹣5）＝15，4 ⊕ （﹣7）＝28， 则（﹣1） ⊕ 2 的值为（ ） A．﹣13 B．13 C．2 D．﹣2 【分析】根据已知规定及两式，确定出 m、n 的值，再利用新规定化简原式即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：3 ⊕ （﹣5）＝3m+5n＝15，4 ⊕ （﹣7）＝4m+7n＝28 ∴ ，解得： ∴（﹣1） ⊕ 2＝﹣m﹣2n＝35﹣48＝﹣13 故选：A． 6．如图，菱形 ABCD 的边长为 2，∠A＝60°，点 E 是对角线 BD 的中点．点 G 是 AB 边上 一动点，GE 延长线交 CD 于点 H，则 GH 长度可能为（ ） A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5 【分析】确定 GH 的最大值和最小值后即可确定 GH 的长度的取值范围，从而可以确定 正确的选项． 【解答】解：过 E 点作 MN⊥AB 于点 N，此时 MN 的长是 GH 的最小值， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝AD， ∵∠DAB＝60°， ∴△ABD 是等边三角形， ∴MN 为△ABD 的 AB 边上的高， ∵AD＝2， ∴MN＝ ， ∴GH 的最小值为 ， 连接 AC，此时 AC 是 GH 的最大值， AC＝2AE＝2MN＝2 ， ∴ ＜MN＜2 ， 故选：B． 7．欣欣服装店某天用相同的价格 a（a≥0）卖出了两件服装，其中一件盈利 20%，另一件 亏损 20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（ ） A．亏损 B．盈利 C．不盈不亏 D．与进价有关 【分析】设第一件衣服的进价为 x 元，第二件衣服的进价为 y 元，根据（1+20%）乘以 进价 x 等于 a，（1﹣20%）乘以 y 等于 a，列出两个方程，然后解得 x 和 y 的数量关系， 再根据总体盈利情况等于盈利的 20%减去亏损的 20%，计算得出结果即可． 【解答】解：设第一件衣服的进价为 x 元，第二件衣服的进价为 y 元，由题意得： （1+20%）x＝a，（1﹣20%）y＝a ∴（1+20%）x＝（1﹣20%）y 整理得：3x＝2y ∴y＝1.5x ∴该服装店卖出这两件服装的盈利情况是： 20%x﹣20%y＝0.2x﹣0.2y×1.5＝﹣0.1x＜0 即赔了 0.1x 元． 故选：A． 8．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+kb+1＝0 有两个不相等的实数根，则一次函数 y＝kx+b 的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程 x2﹣2x+kb+1＝0 有两个不相等的实数根，得到判别式大于 0， 求出 kb 的符号，对各个图象进行判断即可． 【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝4﹣4（kb+1）＞0， 解得 kb＜0， A．k＞0，b＞0，即 kb＞0，故 A 不正确； B．k＞0，b＜0，即 kb＜0，故 B 正确； C．k＜0，b＜0，即 kb＞0，故 C 不正确； D．k＜0，b＝0，即 kb＝0，故 D 不正确； 故选：B． 9．已知抛物线 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论： ① abc＞0； ② a+b+c＝2； ③ a ＜ ； ④ b＞1．其中正确的结论是（ ） A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ②④【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的 关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解： ① ∵抛物线的开口向上，∴a＞0， ∵与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上，∴c＜0， ∵对称轴为 x＝ ＜0，∴a、b 同号，即 b＞0， ∴abc＜0， 故本选项错误； ② 当 x＝1 时，函数值为 2， ∴a+b+c＝2； 故本选项正确； ③ ∵对称轴 x＝ ＞﹣1， 解得： ＜a， ∵b＞1， ∴a＞ ， 故本选项错误； ④ 当 x＝﹣1 时，函数值＜0， 即 a﹣b+c＜0，（1） 又 a+b+c＝2， 将 a+c＝2﹣b 代入（1）， 2﹣2b＜0， ∴b＞1 故本选项正确； 综上所述，其中正确的结论是 ②④ ； 故选：D． 10．如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PE⊥BC 于点 E，PF⊥CD 于点 F， 连接 EF 给出下列五个结论： ① AP＝EF； ② AP⊥EF； ③ △APD 一定是等腰三角形； ④∠PFE＝∠BAP； ⑤ PD＝ EC．其中正确结论的番号是（ ） A． ①②④⑤ B． ①②③④⑤ C． ①②④ D． ①④【分析】过 P 作 PG⊥AB 于点 G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△ AGP≌△FPE 后即可证明 ① AP＝EF； ④ ∠PFE＝∠BAP；在此基础上，根据正方形的对 角线平分对角的性质，在 Rt△DPF 中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，求得 ⑤ DP＝ EC． 【解答】证明：过 P 作 PG⊥AB 于点 G， ∵点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点， ∴GP＝EP， 在△GPB 中，∠GBP＝45°， ∴∠GPB＝45°， ∴GB＝GP， 同理，得 PE＝BE， ∵AB＝BC＝GF， ∴AG＝AB﹣GB，FP＝GF﹣GP＝AB﹣GB， ∴AG＝PF， ∴△AGP≌△FPE， ① ∴AP＝EF； ∠PFE＝∠GAP ∴ ④ ∠PFE＝∠BAP， ② 延长 AP 到 EF 上于一点 H， ∴∠PAG＝∠PFH， ∵∠APG＝∠FPH， ∴∠PHF＝∠PGA＝90°，即 AP⊥EF； ③ ∵点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上任意一点，∠ADP＝45 度， ∴当∠PAD＝45 度或 67.5 度或 90 度时，△APD 是等腰三角形， 除此之外，△APD 不是等腰三角形，故 ③ 错误． ∵GF∥BC， ∴∠DPF＝∠DBC， 又∵∠DPF＝∠DBC＝45°， ∴∠PDF＝∠DPF＝45°， ∴PF＝EC， ∴在 Rt△DPF 中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2， ∴ ⑤ DP＝ EC． ∴其中正确结论的序号是 ①②④⑤ ． 故选：A． 二、填空题 11．据科学家估计地球年龄大约是 46000 000 00 年，这个数用科学记数法表示为 4.6× 109 ． 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定． 【解答】解：46000 000 00 年，这个数用科学记数法表示为 4.6×109， 故答案为：4.6×109． 12 ． 已 知 关 于 x 的 分 式 方 程 +1 ＝ 0 有 整 数 解 ， 且 关 于 x 的 不 等 式 组 解集为 x≤﹣1，则符合条件的所有整数 a 的个数是 2 ． 【分析】解分式方程的得出 x＝ ，根据题意得出 a+1＝±1 或 a+1＝±2 或 a+1＝﹣4， 据此得出 a＝0 或﹣2 或 1 或﹣3 或﹣5；解不等式组两个不等式，根据解集为 x≤﹣1，得 出 ＞﹣1；综合以上两点得出整数 a 的值，从而得出答案． 【解答】解：分式方程 +1＝0， 去分母，得：ax﹣2﹣1+x﹣1＝0， 解得：x＝ ， ∵关于 x 的分式方程 +1＝0 有整数解， ∴a+1＝±1 或 a+1＝±2 或 a+1＝﹣4， ∴a＝0 或﹣2 或 1 或﹣3 或﹣5， ， 解不等式 ① 得：x≤﹣1， 解不等式 ② 得：x＜ ， ∵不等式组的解集为 x≤﹣1， ∴ ＞﹣1，即 a＞﹣ 则整数 a 的值为 0，1， ∴符合条件的所有整数 a 的个数为 2， 故答案为 2． 13．已知 1＜x＜2， ，则 的值是 ﹣2 ． 【分析】由于（ ）2＝x﹣1﹣2+ ＝x+ ﹣3，又∵ ，由此 可以得到（ ）2＝4，又由于 1＜x＜2，由此可以得到 的值＜0， 最后即可得到 的值． 【解答】解：∵（ ）2＝x﹣1﹣2+ ＝x+ ﹣3， 又∵ ， ∴（ ）2＝4， 又∵1＜x＜2， ∴ ＜0， ∴ ＝﹣2． 故填：﹣2． 14．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，∠CAB 的平分线交 BD 于点 E，交 BC 于点 F．若 OE＝2，则 CF＝ 4 ． 【分析】取 AF 的中点 G，连接 OG，根据三角形的中位线得出 OG＝ FC，OG∥FC， 根据正方形的性质求出∠OAB、∠ABO、∠OCB 的度数，求出∠OEA 和∠OGF 的度数， 推出 OG＝OE 即可解决问题． 【解答】证明：取 AF 的中点 G，连接 OG， ∵O、G 分别是 AC、AF 的中点， ∴OG＝ FC，OG∥FC（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）， ∵正方形 ABCD， ∴∠OAB＝∠ABO＝∠OCB＝45°， ∵AF 平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠OAF＝22.5°， ∴∠GEO＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∵GO∥FC， ∴∠AOG＝∠OCB＝45°， ∴∠OGE＝67.5°， ∴∠GEO＝∠OGE， ∴GO＝OE， ∴CF＝2OE＝4． 故答案为 4． 15．如图，∠AOB＝30°，点 P 是∠AOB 内任意一点，且 OP＝7，点 E 和点 F 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，则△PEF 周长的最小值是 7 ． 【分析】设点 P 关于 OA 的对称点为 C，关于 OB 的对称点为 D，当点 F、E 在 CD 上时， △PEF 的周长最小． 【解答】解：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD，分别交 OA、OB 于点 E、F，连接 OP、OC、OD、PE、PF． ∵点 P 关于 OA 的对称点为 C，关于 OB 的对称点为 D， ∴PE＝CE，OP＝OC，∠COA＝∠POA； ∵点 P 关于 OB 的对称点为 D， ∴PF＝DF，OP＝OD，∠DOB＝∠POB， ∴OC＝OD＝OP＝5cm，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2 ∠AOB＝60°， ∴△COD 是等边三角形， ∴CD＝OC＝OD＝7cm． ∴△PEF 的周长的最小值＝PE+EF+PF＝CE+EF+DF≥CD＝7． 故答案为 7． 16．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 P 为 AC 边上的一点，延长 BP 至点 D，使得 AD ＝AP，当 AD⊥AB 时，过 D 作 DE⊥AC 于 E，AB﹣BC＝4，AC＝8，则△ABP 面积为 15 ． 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CBP＝∠ABP，设 AB 的长为 x，则 BC 可用 x 表 示，用勾股定理建立方程即可解出 x；要求△ABP 的面积，只需求出 AB 边上的高即可． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴∠CBP+∠BPC＝90°， ∵DA⊥BA， ∴∠PBA+∠BDA＝90°， ∵AD＝AP， ∴∠BDA＝∠DPA＝∠BPC， ∠CBP＝∠ABP， 设 AB＝x， ∵AB﹣BC＝4， ∴BC＝x﹣4， ∵AC＝8， ∴在 Rt△ABC 中，（x﹣4）2+64＝x2， 解得：x＝10， 即 AB＝10， ∴BC＝6， 过点 P 作 PF⊥BA 于点 F，如图， 在△BCP 和△BFP 中， ， ∴△BCP≌△BFP（AAS）， ∴BF＝BC＝6，PF＝PC， ∴AF＝4， 设 PF＝PC＝y， 在 Rt△PAF 中，16+y2＝（8﹣y）2， 解得：y═3， 即 PF＝3， ∴S△ABP＝ AB•PF＝ ×10×3＝15． 故答案为：15． 三、解答题（一） 17．计算： 【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【解答】解： ＝ ﹣3+2+1 ＝ 18．如果有理数 a、b 满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，试求 +… + 的值． 【分析】根据非负数的性质列方程求出 a、b 的值，然后代入代数式裂项求解即可． 【解答】解：由题意得，ab﹣2＝0，1﹣b＝0， 解得 a＝2，b＝1， 所以， + + +…+ ， ＝ + + +…+ ， ＝1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ， ＝1﹣ ， ＝ ． 19．如图，在笔直的公路 AB 旁有一座山，为方便运输货物现要从公路 AB 上的 D 处开凿隧 道修通一条公路到 C 处，已知点 C 与公路上的停靠站 A 的距离为 15km，与公路上另一 停靠站 B 的距离为 20km，停靠站 A、B 之间的距离为 25km，且 CD⊥AB． （1）求修建的公路 CD 的长； （2）若公路 CD 修通后，一辆货车从 C 处经过 D 点到 B 处的路程是多少？ 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可求∠ACB＝90°，再根据三角形面积公式即可求 解； （2）先根据勾股定理求出 BD，进一步求得一辆货车从 C 处经过 D 点到 B 处的路程． 【解答】解：（1）∵AC＝15km，BC＝20km，AB＝25km， 152+202＝252， ∴△ACB 是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴CD＝ AC×BC÷ ÷AB＝12（km）． 故修建的公路 CD 的长是 12km； （2）在 Rt△BDC 中，BD＝ ＝16（km）， 一辆货车从 C 处经过 D 点到 B 处的路程＝CD+BD＝12+16＝28（km）． 故一辆货车从 C 处经过 D 点到 B 处的路程是 28km． 四、解答题（二） 20．“最美女教师”张丽莉，为抢救两名学生，以致双腿高位截肢，社会各界纷纷为她捐款， 我市某中学九年级一班全体同学参加了捐款活动，该班同学捐款情况的部分统计图如图 所示： （1）求该班的总人数； （2）将条形图补充完整，并写出捐款总额的众数； （3）该班平均每人捐款多少元？ 【分析】（1）用捐款 15 元的人数 14 除以所占的百分比 28%，计算即可得解； （2）用该班总人数减去其它四种捐款额的人数，计算即可求出捐款 10 元的人数，然后 补全条形统计图，根据众数的定义，人数最多即为捐款总额的众数； （3）根据加权平均数的求解方法列式计算即可得解． 【解答】解：（1） ＝50（人）． 该班总人数为 50 人； （2）捐款 10 元的人数：50﹣9﹣14﹣7﹣4＝50﹣34＝16， 图形补充如右图所示，众数是 10； （3） （5×9+10×16+15×14+20×7+25×4）＝ ×655＝13.1 元， 因此，该班平均每人捐款 13.1 元． 21．在创建“全国文明城市”和“省级文明城区”过程中，栾城区污水处理厂决定先购买 A、 B 两型污水处理设备共 20 台，对城区周边污水进行处理．已知每台 A 型设备价格为 12 万元，每台 B 型设备价格为 10 万元；1 台 A 型设备和 2 台 B 型设备每周可以处理污水 640 吨，2 台 A 型设备和 3 台 B 型设备每周可以处理污水 1080 吨． （1）求 A、B 两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？ （2）要想使污水处理厂购买设备的资金不超过 230 万元，但每周处理污水的量又不低于 4500 吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？ 【分析】（1）根据 1 台 A 型污水处理设备和 2 台 B 型污水处理设备每周可以处理污水 640 吨，2 台 A 型污水处理设备和 3 台 B 型污水处理设备每周可以处理污水 1080 吨，可以列 出相应的二元一次方程组，从而解答本题； （2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到购买方案，从而可以算出每种方 案购买资金，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）设 A 型污水处理设备每周每台可以处理污水 x 吨，B 型污水处理设备 每周每台可以处理污水 y 吨，依题意有 ， 解得 ． 即 A 型污水处理设备每周每台可以处理污水 240 吨，B 型污水处理设备每周每台可以处 理污水 200 吨； （2）设购买 A 型污水处理设备 x 台，则购买 B 型污水处理设备（20﹣x）台， 则 ， 解得 12.5≤x≤15， 第一种方案：当 x＝13 时，20﹣x＝7，花费的费用为：13×12+7×10＝226 万元； 第二种方案：当 x＝14 时，20﹣x＝6，花费的费用为：14×12+6×10＝228 万元； 第三种方案；当 x＝15 时，20﹣x＝5，花费的费用为：15×12+5×10＝230 万元； 即购买 A 型污水处理设备 13 台，则购买 B 型污水处理设备 7 台时，所需购买资金最少， 最少是 226 万元． 22．定义：对于一个有理数 x，我们把[x]称作 x 的对称数． 若 x≥0，则[x]＝x﹣2；若 x＜0，则[x]＝x+2．例：[1]＝1﹣2＝﹣1，[﹣2]＝﹣2+2＝0． （1）求[ ]，[﹣1]的值； （2）已知有理数 a＞0，b＜0，且满足[a]＝[b]，试求代数式（b﹣a）3﹣2a+2b 的值； （3）解方程：[2x]+[x+1]＝1． 【分析】（1）根据对称数的定义求得即可； （2）由对称数的定义化简得，b﹣a＝﹣4，然后代入代数式确定即可； （3）分三种情况化简方程，然后解方程即可． 【解答】解：（1）[ ]＝ ﹣2＝﹣ ，[﹣1]＝﹣1+2＝1； （2）a＞0，b＜0，[a]＝[b]，即 a﹣2＝b+2，解得：a﹣b＝4， 故（b﹣a）3﹣2a+2b＝（b﹣a）3﹣2（a﹣b）＝（﹣4）3﹣8＝﹣72； （3）当 x≥0 时，方程为：2x﹣2+x+1﹣2＝1，解得：x＝ ； 当﹣1≤x＜0 时，方程为：2x+2+x+1﹣2＝1，解得：x＝0（舍弃）； 当 x＜﹣1 时，方程为：2x+2+x+1+2＝1，解得：x＝﹣ ； 故方程的解为：x＝ ． 五、解答题（三） 23．如图，△ABC≌△ADC，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC，点 F 在边 AB 上，点 E 在 边 AD 的延长线上，且 DE＝BF，BG⊥CF，垂足为 H，BH 的延长线交 AC 于点 G． （1）若 AB＝10，求四边形 AECF 的面积； （2）若 CG＝CB，求证：BG+2FH＝CE． 【分析】（1）根据全等三角形的性质和判断以及正方形的性质即可得到结论； （2）在 FC 上截取 HP＝FH，连接 BP，由垂直的定义得到∠CHB＝∠CBF＝90°，求得 ∠ABG＝∠BCP，根据等腰三角形的性质得到∠CBG＝∠CGB，求得∠CPB＝∠BGA，根 据全等三角形的性质得到 PC＝BG，根据线段的和差即可得到结论． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△ADC，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC， ∴AD＝CD＝AB＝BC， ∴四边形 ABCD 是正方形， 在△BCF 与△DCE 中， ， ∴△BCF≌△DCE（SAS）， ∴四边形 AECF 的面积＝正方形 ABCD 的面积＝10×10＝100； （2）在 FC 上截取 HP＝FH，连接 BP， ∵BH⊥CF， ∴∠CHB＝∠CBF＝90°， ∴∠ABG＝∠BCP， ∵BH⊥PF，FH＝HP， ∴BF＝BP， ∴∠BFC＝∠BPF∠CBH， ∵BC＝CG， ∴∠CBG＝∠CGB， ∴∠BPF＝∠CGB， ∴∠CPB＝∠BGA， ∵AB＝BC， ∴△BCP≌△ABG（AAS）， ∴PC＝BG， ∴CF＝PF+PC＝BG+2FH． ∵△BCF≌△DCE， ∴CF＝CE， ∴BG+2FH＝CE． 24．如图，已知抛物线 y＝ax2+bx﹣1 与 x 轴的交点为 A（﹣1，0），B（2，0），且与 y 轴交 于 C 点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点 C 关于 x 轴的对称点为 C1，M 是线段 BC1 上的一个动点（不与 B、C1 重合）， ME⊥x 轴，MF⊥y 轴，垂足分别为 E、F，当点 M 在什么位置时，矩形 MFOE 的面积最 大？说明理由． （3）已知点 P 是直线 y＝ x+1 上的动点，点 Q 为抛物线上的动点，当以 C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点 P 和点 Q 的坐标． 【分析】（1）待定系数法将已知点的坐标分别代入得方程组并解方程组即可求得抛物线 的表达式； （2）先求得 C1（0，1），再由待定系数法求得直线 C1B 解析式 y＝﹣ x+1，设 M（t， +1）， 得 S 矩形 MFOE＝OE×OF＝t（﹣ t+1）＝﹣ （t﹣1）2+ ，由二次函数性质即可得到结 论； （3）以 C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形要分两种情况进行讨论： ① C1C 为 边， ② C1C 为对角线． 【解答】解：（1）将 A（﹣1，0），B（2，0）分别代入抛物线 y＝ax2+bx﹣1 中，得 ， 解得： ∴该抛物线的表达式为：y＝ x2﹣ x﹣1． （2）在 y＝ x2﹣ x﹣1 中，令 x＝0，y＝﹣1，∴C（0，﹣1） ∵点 C 关于 x 轴的对称点为 C1， ∴C1（0，1），设直线 C1B 解析式为 y＝kx+b，将 B（2，0），C1（0，1）分别代入得 ， 解得 ， ∴直线 C1B 解析式为 y＝﹣ x+1，设 M（t， +1），则 E（t，0），F（0， +1） ∴S 矩形 MFOE＝OE×OF＝t（﹣ t+1）＝﹣ （t﹣1）2+ ， ∵﹣ ＜0， ∴当 t＝1 时，S 矩形 MFOE 最大值＝ ，此时，M（1， ）；即点 M 为线段 C1B 中点时，S 矩形 MFOE 最大． （3）由题意，C（0，﹣1），C1（0，1），以 C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形， 分以下两种情况： ① C1C 为边，则 C1C∥PQ，C1C＝PQ，设 P（m， m+1），Q（m， ﹣ m﹣1）， ∴|（ ﹣ m﹣1）﹣（ m+1）|＝2，解得：m1＝4，m2＝﹣2，m3＝2，m4＝0（舍）， P1（4，3），Q1（4，5）；P2（﹣2，0），Q2（﹣2，2）；P3（2，2），Q3（2，0） ② C1C 为对角线，∵C1C 与 PQ 互相平分，C1C 的中点为（0，0）， ∴PQ 的中点为（0，0），设 P（m， m+1），则 Q（﹣m， + m﹣1） ∴（ m+1）+（ + m﹣1）＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣2， ∴P4（﹣2，0），Q4（2，0）； 综上所述，点 P 和点 Q 的坐标为：P1（4，3），Q1（4，5）或 P2（﹣2，0），Q2（﹣2，2） 或 P3（2，2），Q3（2，0）或 P4（﹣2，0），Q4（2，0）． 六、附加题 25．探究：如图 1 和图 2，四边形 ABCD 中，已知 AB＝AD，∠BAD＝90°，点 E、F 分别 在 BC、CD 上，∠EAF＝45°． （1） ① 如图 1，若∠B、∠ADC 都是直角，把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG， 使 AB 与 AD 重合，直接写出线段 BE、DF 和 EF 之间的数量关系 EF＝BE+DF ； ② 如图 2，若∠B、∠D 都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段 BE、DF 和 EF 之间 的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （2）拓展：如图 3，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2 ．点 D、E 均在边 BC 边上，且∠DAE＝45°，若 BD＝1，求 DE 的长． 【分析】（1） ① 根据旋转的性质得出 AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF ＝∠GAF＝45°，根据 SAS 推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出 EF＝GF， 即可求出答案； ② 根据旋转的性质作辅助线，得出 AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出 C、 D、G 在一条直线上，根据 SAS 推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出 EF＝ GF，即可求出答案； （2）如图 3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC＝∠ C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出 AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE， 求出∠FAD＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出 DF＝DE，设 DE＝x，则 DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出 x 即可． 【解答】解：（1） ① 如图 1， ∵把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG，使 AB 与 AD 重合， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ADC+∠ADG＝180° ∴F、D、G 共线， ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠DAG+∠DAF＝45°， 即∠EAF＝∠GAF＝45°， 在△EAF 和△GAF 中， ∵ ， ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝GF， ∵BE＝DG， ∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF， 故答案为：EF＝BE+DF； ② 成立， 理由：如图 2，把△ABE 绕 A 点旋转到△ADG，使 AB 和 AD 重合， 则 AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠B+∠ADC＝180°， ∴∠ADC+∠ADG＝180°， ∴C、D、G 在一条直线上， 与 ① 同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°， 在△EAF 和△GAF 中， ∵ ， ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝GF， ∵BE＝DG， ∴EF＝GF＝BE+DF； （2）解：∵△ABC 中，AB＝AC＝2 ，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠C＝45°， 由勾股定理得：BC＝ ＝4， 如图 3，把△AEC 绕 A 点旋转到△AFB，使 AB 和 AC 重合，连接 DF． 则 AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE， ∵∠DAE＝45°， ∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠FAD＝∠DAE＝45°， 在△FAD 和△EAD 中 ， ∴△FAD≌△EAD（SAS）， ∴DF＝DE， 设 DE＝x，则 DF＝x， ∵BC＝4， ∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x， ∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°， ∴∠FBD＝90°， 由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2， x2＝（3﹣x）2+12， 解得：x＝ ， 即 DE＝ ．