新课标高考数学难点突破集合思想及应用

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新课标高考数学难点突破集合思想及应用

难点1 集合思想及应用 集合是高中数学的基本知识,为历年必考内容之一,主要考查对集合基本概念的认识和理解,以及作为工具,考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点,不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.‎ ‎●难点磁场 ‎(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠,求实数m的取值范围.‎ ‎●案例探究 ‎[例1]设A={(x,y)|y2-x-1=0},B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=,证明此结论.‎ 命题意图:本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力,即能从集合符号上分辨出所考查的知识点,进而解决问题.属★★★★★级题目.‎ 知识依托:解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C=转化为A∩C=且B∩C=,这样难度就降低了.‎ 错解分析:此题难点在于考生对符号的不理解,对题目所给出的条件不能认清其实质内涵,因而可能感觉无从下手.‎ 技巧与方法:由集合A与集合B中的方程联立构成方程组,用判别式对根的情况进行限制,可得到b、k的范围,又因b、k∈N,进而可得值.‎ 解:∵(A∪B)∩C=,∴A∩C=且B∩C=‎ ‎∵ ∴k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0‎ ‎∵A∩C=‎ ‎∴Δ1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0‎ ‎∴4k2-4bk+1<0,此不等式有解,其充要条件是16b2-16>0,即b2>1 ①‎ ‎∵‎ ‎∴4x2+(2-2k)x+(5+2b)=0‎ ‎∵B∩C=,∴Δ2=(1-k)2-4(5-2b)<0‎ ‎∴k2-2k+8b-19<0,从而8b<20,即b<2.5 ②‎ 由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组,得 ‎∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=.‎ ‎[例2]向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果:赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?‎ 命题意图:在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等,需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.‎ 知识依托:解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件,想到用韦恩图直观地表示出来.‎ 错解分析:本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪,不好找线索.‎ 技巧与方法:画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系.‎ 解:赞成A的人数为50×=30,赞成B的人数为30+3=33,如上图,记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为集合B.‎ 设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-x.‎ 依题意(30-x)+(33-x)+x+(+1)=50,解得x=21.‎ 所以对A、B都赞成的同学有21人,都不赞成的有8人.‎ ‎●锦囊妙计 ‎1.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P ‎;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题.‎ ‎2.注意空集的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如AB,则有A=或A≠两种可能,此时应分类讨论.‎ ‎●歼灭难点训练 一、选择题 ‎1.(★★★★)集合M={x|x=,k∈Z},N={x|x=,k∈Z},则( )‎ A.M=N B.MN C.MN D.M∩N=‎ ‎2.(★★★★)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+10,b>0},当A∩B只有一个元素时,a,b的关系式是_________.‎ 三、解答题 ‎5.(★★★★★)集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|log2(x2-5x+8)=1},C={x|x2+2x-8=0},求当a取什么实数时,A∩B 和A∩C=同时成立.‎ ‎6.(★★★★★)已知{an}是等差数列,d为公差且不为0,a1和d均为实数,它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)| x2-y2=1,x,y∈R}.‎ 试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明.‎ ‎(1)若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上;‎ ‎(2)A∩B至多有一个元素;‎ ‎(3)当a1≠0时,一定有A∩B≠.‎ ‎7.(★★★★)已知集合A={z||z-2|≤2,z∈C},集合B={w|w=‎ zi+b,b∈R},当A∩B=B时,求b的值.‎ ‎8.(★★★★)设f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f[f(x)]=x}.‎ ‎(1)求证:AB;‎ ‎(2)如果A={-1,3},求B.‎ 参考答案 难点磁场 解:由得x2+(m-1)x+1=0 ①‎ ‎∵A∩B≠‎ ‎∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解.‎ 首先,由Δ=(m-1)2-4≥0,得m≥3或m≤-1,当m≥3时,由x1+x2=-(m-1)<0及x1x2=1>0知,方程①只有负根,不符合要求.‎ 当m≤-1时,由x1+x2=-(m-1)>0及x1x2=1>0知,方程①只有正根,且必有一根在区间(0,1]内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内.‎ 故所求m的取值范围是m≤-1.‎ 歼灭难点训练 一、1.解析:对M将k分成两类:k=2n或k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=‎ nπ+,n∈Z},对N将k分成四类,k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}.‎ 答案:C ‎2.解析:∵A∪B=A,∴BA,又B≠,‎ ‎∴即2<m≤4.‎ 答案:D 二、3.a=0或a≥‎ ‎4.解析:由A∩B只有1个交点知,圆x2+y2=1与直线=1相切,则1=,即ab=.‎ 答案:ab=‎ 三、5.解:log2(x2-5x+8)=1,由此得x2-5x+8=2,∴B={2,3}.由x2+2x-8=0,∴C={2,-4},又A∩C=,∴2和-4都不是关于x的方程x2-ax+a2-19=0的解,而A∩B ,即A∩B≠,‎ ‎∴3是关于x的方程x2-ax+a2-19=0的解,∴可得a=5或a=-2.‎ 当a=5时,得A={2,3},∴A∩C={2},这与A∩C=不符合,所以a=5(舍去);当a=-2时,可以求得A={3,-5},符合A∩C=,A∩B ,∴a=-2.‎ ‎6.解:(1)正确.在等差数列{an}中,Sn=,则(a1+an),这表明点(an,)的坐标适合方程y(x+a1),于是点(an, )均在直线y=x+a1上.‎ ‎(2)正确.设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解,由方程组消去y得:‎2a1x+a12=-4(*),当a1=0时,方程(*)无解,此时A∩B=;当a1≠0时,方程(*)只有一个解x=,此时,方程组也只有一解,故上述方程组至多有一解.‎ ‎∴A∩B至多有一个元素.‎ ‎(3)不正确.取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n-1)d=n>0, >0,这时集合A中的元素作为点的坐标,其横、纵坐标均为正,另外,由于a1=1≠0.如果A∩B≠,那么据(2)的结论,A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0=<0,y0=<0,这样的(x0,y0)A,产生矛盾,故a1=1,d=1时A∩B=,所以a1≠0时,一定有A∩B≠是不正确的.‎ ‎7.解:由w=zi+b得z=,‎ ‎∵z∈A,∴|z-2|≤2,代入得|-2|≤2,化简得|w-(b+i)|≤1.‎ ‎∴集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面,集合A表示以点(2,0)为圆心,半径为2的圆面,集合B表示以点(b,1)为圆心,半径为1的圆面.‎ 又A∩B=B,即BA,∴两圆内含.‎ 因此≤2-1,即(b-2)2≤0,∴b=2.‎ ‎8.(1)证明:设x0是集合A中的任一元素,即有x0∈A.‎ ‎∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0).‎ 即有f[f(x0)]=f(x0)=x0,∴x0∈B,故AB.‎ ‎(2)证明:∵A={-1,3}={x|x2+px+q=x},‎ ‎∴方程x2+(p-1)x+q=0有两根-1和3,应用韦达定理,得 ‎∴f(x)=x2-x-3.‎ 于是集合B的元素是方程f[f(x)]=x,也即(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x(*)的根.‎ 将方程(*)变形,得(x2-x-3)2-x2=0‎ 解得x=1,3,,-.‎ 故B={-,-1,,3}.‎
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