2017-2018学年河南省洛阳市高二上学期期末数学理试题（解析版）

2017-2018学年河南省洛阳市高二上学期期末数学理试题（解析版）

河南省洛阳市17-18学年高二上学期期末考试 ‎ 数学（理）试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知集合，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 故选 ‎2. 命题“任意一个无理数，它的平方不是有理数”的否定是（ ）‎ A. 存在一个有理数，它的平方是无理数 B. 任意一个无理数，它的平方是有理数 C. 任意一个有理数，它的平方是有理数 D. 存在一个无理数，它的平方是有理数 ‎【答案】D ‎【解析】根据特称命题的否定的定义，该命题的否定为“存在一个无理数，它的平方是有理数”‎ 故选 ‎3. 抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】抛物线的标准方程为，焦点在轴上，‎ ‎，，‎ 抛物线的准线方程为 故选 ‎4. 在中，已知，则（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 故选 ‎5. 等差数列的前项和为，已知，则的值为（ ）‎ A. 63 B. C. D. 21‎ ‎【答案】C 故选 ‎6. 在正方体中，为棱的中点，是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】取中点，连接 设正方体棱长为 则，‎ 故选 ‎7. 若正数满足，则的最小值为（ ）‎ A. B. 4 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 令 则，或（舍）‎ 故，‎ 故选 ‎8. “”是“方程表示图形为双曲线”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】依题意方程表示图形为双曲线 可得：，解得 则“”是“方程表示图形为双曲线”的充分不必要条件 故选 ‎9. 在中，角所对的边分别是，若与平行，则一定是（ ）‎ A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰三角形 ‎【答案】D ‎【解析】由题意得两直线平行，‎ 则 ‎，‎ ‎，‎ 若，则 直线重合舍去，故三角形为等腰三角形 故选 ‎10. 已知平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则 与底面所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，，‎ 则 故选 ‎11. 椭圆的焦点分别为，弦过，若的内切圆面积为，两点的坐标分别为和，则的值为（ ）‎ A. 6 B. C. D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】的内切圆面积为 ‎，‎ 由题意得：，，‎ 又 故选 点睛：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆的性质，考查了学生的计算能力，本题的关键是求出的面积，易知的内切圆的半径长，从而借助三角形的面积，利用等面积法求解即可，属于中档题。‎ ‎12. 已知数列满足且，设，则 的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得：，时，‎ 故，‎ 则从第二项开始以为公比的等比数列 ‎，，‎ 则 ‎ 故选 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 各项为正数的等比数列中，与的等比中项为，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】与的等比中项为 ‎14. 若命题“满足”为真命题，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 即 ‎，解得 实数的取值范围 点睛：本题以命题为载体考查了不等式问题，在求解这类不等式时正确解法是先将常数项左移，然后通分，转化为一元二次不等式后求解，切不可直接去分母，然后求解。‎ ‎15. 若双曲线 的渐近线方程是，则双曲线的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得：‎ 点睛：本题主要考查了双曲线的简单性质，解答关键是在于对于双曲线渐近线方程的理解，属于基础题。先根据双曲线的渐近线求得的关系，进而根据求得的关系，再代入离心率公式，答案可得；‎ ‎16. 下列命题：‎ ‎（1）已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是；‎ ‎（2）已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为；‎ ‎（3）在三棱锥中，各条棱长均相等，是的中点，那么；‎ ‎（4）已知三棱锥，各条棱长均相等，则其内切球与外接球的体积之比为.‎ 其中真命题是_______.（填序号）‎ ‎【答案】（2）（4）‎ ‎【解析】⑴中与夹角为钝角，则，且不平行于 若，不妨设存在，使得，则，解得当时，，故的取值范围是，故错误；‎ ‎⑶中，‎ 不妨设，则原式，夹角为钝角，，故错误 综上所述，其中真命题为⑵⑷‎ 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. 已知分别是的三个内角的对边，是的面积，，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求的面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) ；(2).‎ ‎【解析】试题分析：⑴结合已知中和余弦定理得：‎ ‎，即可求出角的大小；‎ ‎⑵由，结合三角形面积公式和基本不等式，可得的面积的最大值 解析：（1）已知 ‎∴‎ 由余弦定理 得 ‎∴‎ ‎∴，即的大小为.‎ ‎（2）由（1）知 ‎∵，‎ ‎∴‎ 当且仅当时，面积的最大值为.‎ ‎18. 已知动点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为，动点满足.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点的直线交轨迹于两点，设直线的斜率为，求的值.‎ ‎【答案】(1) ；(2).‎ ‎【解析】试题分析：⑴设点，得到，又因为，代入得到轨迹方程；‎ ‎⑵先求出直线的方程，然后联立直线方程和轨迹方程，得出的坐标关系，代入斜率公式计算化简即可 解析：（1）设，则 ‎∴，，‎ ‎∵，∴，∴‎ 而，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由题意知直线的斜率存在，设为，直线的方程为，设，，‎ 由得，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ 故的值为.‎ ‎19. 已知数列中，，.‎ ‎（1）求证：是等比数列，并求d 通项公式；‎ ‎（2）数列满足，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：⑴根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明是等比数列，并求的通项公式，⑵利用错位相减法即可求得答案；‎ 解析：（1）∵‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴是以为首项，以4为公比的等比数列 ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎（2），‎ ‎∴①‎ ‎②‎ ‎①-②得 ‎∴.‎ ‎20. 精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量万件（生产量与销售量相等）与推广促销费万元之间的函数关系为（其中推广促销费不能超过5千元）.已知加工此农产品还要投入成本万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为元/件.‎ ‎（1）试将该批产品的利润万元表示为推广促销费万元的函数；（利润=销售额-成本-推广促销费）‎ ‎（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？‎ ‎【答案】(1) ；(2) 当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元.‎ ‎【解析】试题分析：⑴根据题意即可求得，化简即可；‎ ‎⑵利用基本不等式可以求出该函数的最值，注意等号成立的条件，即可得到答案；‎ 解析：（1）由题意知 ‎∴.‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ ‎.‎ 当且仅当时，上式取“”‎ ‎∴当时，.‎ 答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元.‎ ‎21. 在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上，已知.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）在线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：⑴对于法一，易得因为平面，推导出，再推导出平面，即可得到答案；对于法二，以为原点，分别以过点与共线同向的向量，，方向上的单位向量为单位正交基建立空间直角坐标系，易求得几何体中各个顶点的坐标，求出，的坐标，要证明，即证明 ‎⑵要求满足条件使得二面角为直二面角的点，即求平面的法向量和平面的法向量互相垂直，由此求出点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式即可求出的长；‎ 解析：（1）法一：∵,为的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵垂足落在线段上，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴.‎ 法二：如图，以为原点，分别以过点与共线同向的向量，，方向上的单位向量为单位正交基建立空间直角坐标系，则 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）假设点存在，设，，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 设平面的法向量为，平面的法向量为 由得，‎ 令，可得，‎ 由得，‎ 令，可得，‎ 若二面角为直二面角，则，得，‎ 解得，∴‎ 故线段上是否存在一点，满足题意，的长为.‎ 点睛：本题是一道与二面角有关的立体几何综合题，考查了空间立体几何中关于线线垂直的判定方法与二面角的计算的知识点。其中建立空间坐标系，求出相关向量，然后将垂直问题转化为向量垂直即向量内积等是解答本题的关键。‎ ‎22. 设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点.‎ ‎（1）证明：为定值，并写出点的轨迹方程；‎ ‎（2）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，为坐标原点，求面积的取值范围.‎ ‎【答案】(1)证明见解析，轨迹方程为;(2).‎ ‎【解析】试题分析：⑴求得圆的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得，再由圆的定义和椭圆的定义可得的轨迹是以为焦点的椭圆，求得，即可得到所求轨迹方程；‎ ‎⑵设直线的方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式可得，由到直线距离求出，再由三角形的面积公式化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围；‎ 解析：（1）证明：因为，‎ 故，所以，‎ 故，‎ 又圆的标准方程为，从而 由椭圆定义可得点的轨迹方程为.‎ ‎（2）当直线与轴不垂直时，设的方程为，‎ 由得，‎ 则，‎ 所以 到直线距离为，则，‎ 则 令，则 则 ‎，‎ 易知，‎ ‎∴‎ 当与轴垂直时，，综上.‎ 点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系及直线与椭圆所成三角形面积范围问题，在求解三角形面积问题时可以找出三角形的底和高，然后计算，也可以考虑割补法计算或者三角函数里的面积公式，在计算过程中本题运用了整体换元方法求解，这里较为困难。‎