八年级下数学课件《菱形》课件1第一课时_冀教版

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八年级数学·下 新课标[冀教] 第二十二章 四边形 观察思考 （1）图片中有平行四边形吗？ （2）这些平行四边形具有哪些特征？其中哪个特 征不是平行四边形的性质？ 学 习 新 知 活动1　菱形的定义 结合上面的观察,你能举出和上述图形具有相同特征的实物图形吗? 具有这一特征的平行四边形是什么四边形? 口答下面问题: (1)上面这些图形都是平行四边形吗? (2)上述图形都有一组邻边相等吗? (3)如果平行四边形有一组邻边相等,那么各组邻边都相等吗? 菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 活动2　菱形的性质 【想一想】 1.菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所 有性质.你能列举一些这样的性质吗? 2.你认为菱形还具有哪些特殊的性质?请你与同伴交流. 菱形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分. 【做一做】 请同学们用菱形纸片折一折,回答下列问题: 1.菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间 有什么位置关系? 2.菱形中有哪些相等的线段? 结论: 1.菱形是轴对称图形,有两条对称轴,是菱形对角线所在 的直线,两条对角线互相垂直. 2.菱形的四条边相等. 3.菱形的每条对角线平分一组对角. 如图所示,四边形ABCD是菱形,AB=AD. 求证:(1)AB=BC=CD=DA. (2)AC⊥DB. (3)∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA. 分析:菱形不仅两组对边分别相等,而且邻边相等,这样就可以证明菱形的四 条边都相等;因为菱形是平行四边形,所以点O是对角线AC与BD的中点,可 以利用三角形全等来证明AC⊥BD和角的相等关系. 证明:(1)∵四边形 ABCD是菱形, ∴AB=CD,AD=CB. 又∵AB=AD, ∴AB=BC=CD=DA. (2)在△ADO和△CDO中, ∵DA=DC,DO=DO,AO=CO, ∴△ADO≌ △CDO. ∴∠AOD=∠COD. ∵∠AOD+∠COD=180°, ∴∠AOD=∠COD=90°. ∴AC⊥DB. (3)∵△ADO≌ △CDO, ∴∠ADB=∠CDB,∠DAC= ∠DCA. ∵AB∥CD,AD∥CB, ∴∠ADB=∠CBD,∠CDB= ∠ABD,∠DAC=∠BCA,∠D CA=∠BAC. ∴∠ADB=∠CDB,∠ABD= ∠CBD,∠DAC=∠BAC,∠D CA=∠BCA. 菱形的性质定理:菱形的四条边都相等, 两条对角线互相垂直,且每条对角线平 分一组对角. (教材第142页例1)如图所示,菱形ABCD 的周长为16 cm,∠ABC=120°,求对角线 BD和AC的长. 1 4 解:∵AB+BC+CD+AD=16 cm, ∴AB=BC=CD=AD= ×16=4(cm). ∵BD平分∠ABC,∠ABC=120°, ∴∠ABD=60°. ∴△ABD是等边三角形. ∴BD=AB=4 cm. 2 2 2 24 2 2 3( ) 2 4 3( ). AO AB OB cm AC AO cm        在Rt△AOB中,OB=2 cm, [知识拓展]　(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有 性质;(2)菱形的定义既可以看成菱形的性质,也可以看成菱形的判定. 如图所示,四边形ABCD是边长为13 cm的菱形,其中对角线BD 的长为10 cm.求: (1)对角线AC的长度; (2)菱形ABCD的面积. 1 2 1 2 2 2 2 213 5AD DE   1 2 1 2 解:(1)∵四边形ABCD是菱形,AC与BD相交于点E, ∴∠AED=90°(菱形的对角线互相垂直), DE= BD= ×10=5(cm)(菱形的对角线互相平分). 在Rt△AED中,AE= =12(cm). ∴AC=2AE=2×12=24(cm). (2)菱形ABCD的面积 =△ABD的面积+△CBD的面积 =2×△ABD的面积 =2× ×BD×AE =2× ×10×12 =120(cm2). 思考：如果例2中,已知菱形ABCD的两 条对角线的长度分别为12 cm和10 cm,怎 样直接计算出菱形的面积? 菱形 一 组 邻 边 相 等 对角线互相平分 一组对边平行且相等 两组对边分别平行或相等 四边形 平行四边形两组对角分别相等 课堂小结 检测反馈1.如图所示,菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则 对角线AC的长是 (　　) A.20 B.15 C.10 D.5 解析:因为四边形ABCD是菱形,所以AB=CB,AB∥DC,所以 ∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°,所以△ABC是等边 三角形,所以AC=AB=5.故选D. D 2.(2016·莆田中考)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 (　　) A.对边相等 B.对角相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 解析:菱形具有的性质为:对边相等,对角相等,对角线互相平分, 对角线互相垂直;一般平行四边形具有的性质为:对边相等,对角 相等,对角线互相平分.所以菱形具有而一般平行四边形不具有的 性质是:对角线互相垂直.故选D. D 3.如图所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于O 点,E,F分别是AB,BC边上的中点,连接EF.若 EF= ,BD=4,则菱形ABCD的周长为 (　　) A.4 B.4 C.4 D.28 3 6 7 3 3 1 2 1 2 72 2 7OA OB  3 解析:∵E,F分别是AB,BC边上的中点,EF= ,∴AC=2EF=2 .∵四 边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA= AC= ,OB= BD=2,∴AB= ,∴菱形ABCD的周长为4 .故选C. C 4.如图所示,菱形ABCD的周长为8 cm,高AE的长为 cm,则对 角线AC和BD的长度之比为 (　　) A.1∶ 2 B.1∶ 3 C.1∶ D.1∶ 2 3 3 3 2 2AB AE 2 2 3AB OA  3 解析:设AC,BD相交于点O,∵菱形ABCD的周长为 8cm,∴AB=BC=2 cm.∵高AE的长为 cm, ∴BE= =1(cm),∴CE=BE=1 cm,∴AC=AB=2 cm,∵OA=1 cm,AC⊥BD,∴OB = (cm),∴BD=2OB=2 cm,∴AC∶ BD=1∶ .故选D. D 3 5.如图所示,菱形ABCD的周长为8 cm.∠BAD=60°,则AC=　　　　cm.  2 2 2 22 1 3AB OB    解析:因为菱形ABCD的周长为8 cm,所以AB=2 cm,AB=AD.又因为∠BAD=60°,所以△ABC是等 边三角形,所以BD=AB=2 cm,所以OA= (cm).所以AC=2 cm.故填2 .3 3 2 3 6.如图所示,AC是菱形ABCD的对角线,点 E,F分别在AB,AD上,且AE=AF.求证CE=CF. 解析:由四边形 ABCD是菱形,可 得∠EAC=∠FAC, 又由AE=AF,AC为 公共边,即可证得 △ACE≌ △ACF, 则可得CE=CF. 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴∠EAC=∠FAC. 在△ACE和△ACF中, , , , AE AF EAC FAC AC AC      ∴△ACE≌ △ACF(SAS). ∴CE=CF. 7.如图所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交 于点O,点E,F分别是边AB,AD的中点. (1)请判断△OEF的形状,并证明你的结论; (2)若AB=13,AC=10,请求出线段EF的长. 解析:(1)利用菱形的性质结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半,进而得到OE=OF,可判断△OEF的形状;(2)利用勾股定理得出 BO的长,再利用三角形的中位线定理得出EF的长. 1 2 1 2 解:(1)△OEF是等腰三角形. 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,AC⊥BD. ∵点E,F分别是边AB,AD的中点, ∴EO= AB,OF= AD, ∴EO=FO,∴△OEF是等腰三角形. 2 2 2 213 5AB AO   (2)∵四边形ABCD是菱形,AC=10, ∴AO=5,∠AOB=90°, ∴BO= =12, ∴BD=24. ∵点E,F分别是边AB,AD的中点, ∴EF= BD,∴EF=12. 1 2 8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,四边形 ADEF是菱形,求证BE=CE. 解析:根据四边形ADEF是菱形,得DE=EF,AB∥EF,DE∥AC,可证明 △DBE≌ △FEC,即可得出BE=CE. 证明:∵四边形ADEF是菱形, ∴DE=EF,AB∥EF,DE∥AC, ∴∠C=∠BED,∠B=∠CEF. ∵AB=AC,∴∠B=∠C, ∴∠BED=∠CEF, , , , BED CEF B C DE FE         在△DBE和△FEC中, ∴△DBE≌ △FEC, ∴BE=CE. 9.如图所示,已知菱形ABCD,AB=AC,E,F分别是BC,AD的中点,连接 AE,CF. (1)求证四边形AECF是矩形; (2)若AB=6,求菱形的面积. 解析:(1)首先证明△ABC是等边三角形,进而得出∠AEC=90°,四边形 AECF是平行四边形,即可得出答案;(2)利用勾股定理得出AE的长,进而求 出菱形的面积. 1 2 1 2 证明:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC. 又∵AB=AC,∴AB=AC=BC. ∴△ABC是等边三角形. ∵E是BC的中点, ∴AE⊥BC, ∴∠AEC=90°. ∵E,F分别是BC,AD的中点, ∴AF= AD,EC= BC. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AD∥BC且AD=BC, ∴AF∥EC且AF=EC, ∴四边形AECF是平行四边形. 又∵∠AEC=90°, ∴四边形AECF是矩形. 2 26 3 3 3  6 3 3 18 3.ABCDS   菱形解:(2)在Rt△ABE中,AE= ,所以 10.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是 BC,BA的中点,连接DE,点F在DE的延长线上,且AF=AE. (1)求证四边形ACEF是平行四边形; (2)若四边形ACEF是菱形,求∠B的度数. 解析:(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 CE=AE=BE,从而得到AF=CE,再根据等腰三角形“三线合一” 的性质可得∠1=∠2,根据等边对等角可得∠F=∠3,对顶角相等 得∠1=∠3,然后得到∠2=∠F,再根据同位角相等,两直线平行得 到CE∥AF,然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 得证;(2)根据菱形的四条边都相等可得AC=CE,然后得到 AC=CE=AE,从而得到△AEC是等边三角形,再根据等边三角形 的每一个内角都是60°求出∠CAE=60°,然后根据直角三角形 的两锐角互余解答. 证明:(1)∵∠ACB=90°,E是BA的中点, ∴CE=AE=BE. ∵AF=AE,∴AF=CE. 在△BEC中,∵BE=CE且D是BC的中点, ∴ED是等腰三角形BEC底边BC上的中线, ∴ED是等腰三角形BEC的顶角平分线, ∴∠1=∠2. ∵AF=AE,∴∠F=∠3. ∵∠1=∠3,∴∠2=∠F, ∴CE∥AF. 又∵CE=AF, ∴四边形ACEF是平行四边形. 解:(2)∵四边形ACEF是菱形, ∴AC=CE, 由(1)知,AE=CE, ∴AC=CE=AE, ∴△AEC是等边三角形, ∴∠CAE=60°. 在Rt△ABC中,∠B=90°- ∠CAE=90°-60°=30°.