高考导数专题含详细解答

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高考导数专题含详细解答

导数及其应用 导数的运算 ‎1. 几种常见的函数导数:‎ ①、 (c为常数); ②、 (); ③、= ;④、 = ; ⑤、 ; ⑥、 ; ⑦、 ; ⑧、 .‎ ‎2. 求导数的四则运算法则:‎ ‎;; 注:① 必须是可导函数.‎ ‎3. 复合函数的求导法则: 或 ‎ 一、求曲线的切线(导数几何意义)‎ 导数几何意义:表示函数在点(,)处切线L的斜率;‎ 函数在点(,)处切线L方程为 ‎1.曲线在点处的切线方程为(  )。‎ A: B: C: D: ‎ 答案详解B正确率: 69%, 易错项: C 解析:本题主要考查导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。‎ 对求导得,代入得即为切线的斜率,切点为,所以切线方程为即。故本题正确答案为B。‎ ‎2. ‎ 变式一:‎ ‎3.设函数,曲线在点处的切线方程为,则曲线在点 处切线的斜率为 ( )‎ A.   B.   C.    D.‎ ‎4.已知函数在R上满足,则曲线在点处的切线方程是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ 变式二:‎ ‎5.在平面直角坐标系中,点P在曲线上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为 . ‎ ‎6.设曲线在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为,令,则的值为 . ‎ ‎7.已知点P在曲线y=上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是 ‎ A、[0,) B、 C、 D、‎ 变式三:‎ ‎8. 已知直线y =x+1与曲线相切,则α的值为( ) ‎ A.1 B. ‎2 C.-1 D.-2‎ ‎9.若存在过点的直线与曲线和都相切,则等于 ( ) ‎ A.或 B.或 C.或 D.或 ‎10.若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则 ‎ A、64 B、‎32 C、16 D、8 ‎ ‎11.(本小题满分13分) 设.(I)求在上的最小值;‎ ‎(II)设曲线在点的切线方程为;求的值.‎ ‎12.若曲线存在垂直于轴的切线,则实数的取值范围是 .‎ 二、求单调性或单调区间 ‎1、利用导数判定函数单调性的方法:设函数在某个区间D内可导,‎ 如果>0,则在区间D上为增函数;‎ 如果<0,则在区间D上为减函数;‎ 如果=0恒成立,则在区间D上为常数.‎ ‎2、利用导数求函数单调区间的方法:不等式>0的解集与函数定义域的交集,就是的增区间;不等式<0的解集与函数定义域的交集,就是的减区间.‎ ‎1、函数的单调递增区间是 ( )‎ A. B.(0,3) C.(1,4) D. ‎ ‎2.函数的单调减区间为 . ‎ ‎ ‎ ‎3.已知函数,,讨论的单调性。‎ 答案详解由题意,的定义域是,所以有。设,二次方程的的判别式 。‎ 当,即时, 对一切都有。此时,在上是增函数;‎ 当时,,此时在上也是增函数;‎ 当,,即时,方程有两个不同的实根,,,。‎ 此时在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增。‎ 解析:本题主要考查导数在研究函数中的应用。‎ 本题的难点在于参数分类的讨论,如何做到不重不漏。‎ 首先在定义域的情况下,对函数求导,在求极值的过程中,会涉及到二次方程的根个数问题,要针对判别式进行分类讨论,在极值为两个的情况下,讨论其与定义域的关系,并根据导数与函数增减性的关系,列表求得函数增减性。‎ ‎4. 已知函数。(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线的斜率;(Ⅱ)当时,求函数的单调区间与极值。‎ 答案详解(Ⅰ)当时,,,故。所以曲线在点处的切线的斜率为。‎ ‎(Ⅱ)。令,解得或,由知,。以下分两种情况讨论:‎ ‎(1)若,则。当变化时,的变化情况如下表:‎ 所以在内是增函数,在内是减函数;函数在处取得极大值, 且;函数在处取得极小值,且。‎ ‎(2)若,则。当变化时,的变化情况如下表:‎ 所以在内是增函数,在内是减函数;函数在处取得极大值,且;函数在处取得极小值,且。‎ 解析:本题主要考查利用导数判断函数单调性。‎ ‎(Ⅰ)求出这种情况下,函数在处的导数,即为切线斜率。‎ ‎(Ⅱ)首先求解出极值,然后对参数进行分类讨论,使用列表法,对函数和导数列表,列出函数的单调区间和极值。‎ 三、求函数的极值与最值 ‎1、极值的判别方法:当函数在点处连续时,‎ ‎① 如果在附近的左侧>0,右侧<0,那么是极大值;‎ ‎② 如果在附近的左侧<0,右侧>0,那么是极小值.‎ 也就是说是极值点的充分条件为点两侧导数异号,而不是=0. ‎ ‎2、最值的求法:求f (x)在[a,b ]上的最大值与最小值的步骤如下:‎ ‎(1) 求 f (x) 在区间 (a,b) 内的极值(极大值或极小值);‎ ‎(2) 将 y = f (x) 的各极值与端点处的函数值 f (a)、f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个最小值.‎ 注:极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较.‎ ‎1.设函数,则( )‎ A. 为的极大值点 B.为的极小值点 C. 为的极大值点 D. 为的极小值点 答案详解D正确率: 53%, 易错项: B解析:本题主要考查函数极值的计算。‎ 令导函数求得,且在上小于零,在上大于零,则在上单调递减,在上单调递增,为的极小值点。‎ ‎2.函数在 处取得极小值.‎ ‎3.(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分.)‎ 设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.‎ ‎(Ⅰ) 求的值;(Ⅱ)求函数的极值. ‎ ‎4. (本小题满分13分) 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式,其中30,‎ 知在R上恒成立,因此由此并结合a>0,知.‎ ‎3. 已知函数,曲线在点处的切线方程为。‎ ‎(Ⅰ)求、的值;(Ⅱ)如果当,且时,,求的取值范围。‎ Ⅰ),由于直线的斜率为,且过点,故,即,解得,。‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以 。‎ 考虑函数,则。‎ ‎(i)设,由知,当时,。而,故当时,,可得;当时,,可得, ;从而当,且时,,即。‎ ‎(ii)设。由于当时,,故,而,故当时,,可得,,与题设矛盾。‎ ‎(iii)设。此时,而,故当时,,可得,而 ,与题设矛盾。综合得,的取值范围为。‎ 解析:本题主要考查函数求导和函数的单调性,以及分类讨论思想。‎ ‎(Ⅰ)先对函数求导,将点代入到导函数,得出斜率,又在直线上,从而得到两个方程,联立解得的值。‎ ‎(Ⅱ)本问为不等式与函数的问题,要进行分类讨论,讨论时应注意不要漏情况。首先将不等式转化为求函数极值。即将不等式右边式子左移,得讨论函数,这里应注意的取值范围。通过分类讨论可得取值范围为。‎ 解读 本题(2)中,若直接对作差后所得的函数求导,形式繁杂,且不易得出导数零点。由于只是判断函数的正负号,可以提出,这样,余下的部分的求导变得简单可行,且的正负容易判断。‎ ‎4.本小题满分100分)已知函数。(1)求的单调区间;‎ ‎(2)若对于任意的,都有,求的取值范围。‎ 答案详解 ‎(1)。令,得。当时,与的情况如下:‎ 所以,的单调递增区间是和;单调递减区间是。‎ 当时,与的情况如下:‎ 所以,的单调递减区间是和;单调递增区间是。‎ ‎(2)当时,因为,所以不会有,。当时,由(1)知在上的最大值是,所以等价于,解得。‎ 解析:本题主要考查函数的求导和函数的单调性问题。‎ ‎(1)先对函数求导得。当时,单调递增,求得的的取值范围即为单调增区间;当时,单调递减,求得的的取值范围即为单调减区间。‎ ‎(2)利用函数的单调性,求得的最大值,代入不等式,即可求得的取值范围。 ‎ ‎5. 本小题满分12分)已知函数,,其中,‎ ‎(1)若在处取得极值,求的值;(2)求的单调区间;‎ ‎(3)若的最小值为,求的取值范围。‎ 答案详解(1)因为,所以,又在处取得极值,所以。‎ ‎(2)令,‎ 当,即时,在定义域内恒成立,所以函数在内单调递增;‎ 当,即时,在区间内,函数递减;在区间内,函数递增。‎ 综上所述,当时,函数在区间内单调递增;当时,函数在区间内单调递减,在区间内单调递增。‎ ‎(3)当时,函数在区间内单调递增,此时,所以满足条件;‎ 当时,函数在区间内单调递减,在区间内单调递增,此时,所以不满足题意,所以的取值范围为。‎ 解析:本题主要考查函数与导数的单调性、函数的极值。‎ ‎(1)对函数求导,在函数极值点处导数有意义时导数为零,然后计算求解;‎ ‎(2)导数大于零时函数递增,导数小于零时函数递减,然后分类讨论的取值范围进行求解;‎ ‎(3)分两种情况讨论函数的最小值,满足函数最小值为的的取值范围即为解。‎ ‎6. 设函数。(1)若为的极值点,求实数;‎ ‎(2)求实数的取值范围,使得对任意的,恒有成立。‎ 注:为自然对数的底数。‎ 答案详解(1)求导得。‎ 因为是的极值点,所以,‎ 解得或,经检验,符合题意,所以或。‎ ‎(2)①当时,对于任意的实数,恒有成立。‎ ‎②当时,由题意,首先有,解得,‎ 由(1)知,‎ 令,则,‎ 且 又在内单调递增,所以函数在内有唯一零点,‎ 则,,从而,当时,;‎ 当时,;当时,。‎ 即在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增。‎ 所以要是对恒成立,只要成立。‎ 由,知 将③代入①得。又,注意到函数在内单调递增,故。‎ 再由③以及函数在内单调递增,可得。‎ 又②解得,。所以。‎ 综上,的取值范围为。‎ 解析:本题主要考查导数以及不等式的综合运用。(1)本题应该先对函数求导,又因为为的极值点,所以,据此便可解的实数的取值范围。‎ ‎(2)由于当时,,所以此时恒成立,所以只需讨论当时的情况即可。本题应该先判断出的零点即的极值点,从而可判断出的单调性。最后判断得在内单调递增,在中单调递减,在中单调递增。所以应该使得在该区间内的极大值点或者在端点处满足,这样便可解得的取值范围。‎ ‎7. 已知,,函数。(1)证明:当时,‎ ‎(i)函数的最大值为;(ii) ;‎ ‎(2)若对恒成立,求的取值范围。‎ 答案详解(1)(i)。‎ 当时,有,此时在上单调递增。‎ 当时,。此时在上单调递减,在上单调递增。所以当时,‎ ‎(ii)由于,故当时,‎ 当时,‎ 设,则。‎ 所以,。所以当时,。故。‎ ‎(2)由(i)知,当时,,所以。若,则由(ii)知,。所以对任意恒成立的充要条件是,即,或,在直角坐标系中,所表示的平面区域为如图所示的阴影部分,其中不包括线段,做一组平行直线,得,所以的取值范围是。‎ 解析:本题主要考查利用导函数判断函数单调性和利用线性规划求解极值。‎ ‎(1)(i)先对函数求导,得导函数,讨论和两种情况下函数的单调性,求得。‎ ‎(ii) 分别讨论和两种情况下,对进行放缩。再令,对其求导,分析其单调性,求得。故可得。‎ ‎(2)列出对任意恒成立的充要条件,画出不等式组的平面区域图,设目标函数为,可求得的取值范围为。‎ ‎8.(本小题满分13分)已知函数=,其中a≠0.(1) 若对一切x∈R,≥1恒成立,求a的取值集合.(2) 在函数的图像上取定两点,,记直线AB的斜率为K,‎ 问:是否存在x0∈(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ 解:(Ⅰ)若,则对一切,,这与题设矛盾,又,故.‎ 而令 当时,单调递减;当时,单调递增,故当时,取最小值 于是对一切恒成立,当且仅当 .        ①‎ 令则 当时,单调递增;当时,单调递减.‎ 故当时,取最大值.因此,当且仅当即时,①式成立.综上所述,的取值集合为.‎ ‎(Ⅱ)由题意知, 令 则 ‎ 令,则.‎ 当时,单调递减;当时,单调递增.‎ 故当,即 从而,‎ 又 ∴‎ 因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,∴存在使单调递增,故这样的是唯一的,且.‎ 故当且仅当时, .‎ 综上所述,存在使成立.且的取值范围为 ‎9. (本题满分14分) 已知函数的最小值为0,其中 ‎(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对任意的有≤成立,求实数的最小值;‎ ‎(Ⅲ)证明().‎ ‎、解:(Ⅰ)函数的定义域为 ‎ ‎ ‎ ,得 时,‎ ‎(Ⅱ)设 ‎ 则在上恒成立 …………(*)‎ ‎ , ‎ ‎ ①当时,与(*)矛盾 ‎ ②当时,符合(*), ∴实数的最小值为 ‎(Ⅲ)由(2)得:对任意的值恒成立 ‎ 取:‎ ‎ 当时, 得:当时,‎ ‎ 得:.‎ ‎10.(本小题满分14分)已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在处取得极小值.设.‎ ‎(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值;‎ ‎(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点. ‎ ‎(1)依题可设 (),则;‎ ‎ 又的图像与直线平行 ,即 ‎ , ,设,‎ 则 当且仅当时,取得最小值,即取得最小值 当时, 解得 ‎ 当时, 解得 ‎ (2)由(),得 ‎ 当时,方程有一解,函数有一零点;‎ 当时,方程有二解,‎ 若,,函数有两个零点,‎ 即;若,,函数有两个零点,‎ 即;当时,方程有一解, , ‎ 函数有一零点 ‎ 综上,①当时, 函数有一零点;‎ ②当(),或()时,函数有两个零点;③当时,函数有一零点.‎
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