高考导数专题含详细解答

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导数及其应用 导数的运算 ‎1. 几种常见的函数导数：‎ ①、 （c为常数）； ②、 （）； ③、= ；④、 = ； ⑤、 ； ⑥、 ； ⑦、 ； ⑧、 .‎ ‎2. 求导数的四则运算法则：‎ ‎；； 注：① 必须是可导函数.‎ ‎3. 复合函数的求导法则： 或 ‎ 一、求曲线的切线（导数几何意义）‎ 导数几何意义：表示函数在点(，)处切线L的斜率；‎ 函数在点(，)处切线L方程为 ‎1.曲线在点处的切线方程为（  ）。‎ A: B: C: D: ‎ 答案详解B正确率: 69%, 易错项: C 解析:本题主要考查导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。‎ 对求导得，代入得即为切线的斜率，切点为，所以切线方程为即。故本题正确答案为B。‎ ‎2. ‎ 变式一：‎ ‎3.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点 处切线的斜率为 ( )‎ A．　　　B．　　　C．　　　　D．‎ ‎4.已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ 变式二：‎ ‎5.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 . ‎ ‎6.设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 . ‎ ‎7.已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是 ‎ A、[0,) B、 C、 D、‎ 变式三：‎ ‎8. 已知直线y =x＋1与曲线相切，则α的值为( ) ‎ A.1 B. ‎2 C.－1 D.－2‎ ‎9.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ( ) ‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎10.若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 ‎ A、64 B、‎32 C、16 D、8 ‎ ‎11.（本小题满分13分） 设.（I）求在上的最小值；‎ ‎（II）设曲线在点的切线方程为；求的值.‎ ‎12.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .‎ 二、求单调性或单调区间 ‎1、利用导数判定函数单调性的方法：设函数在某个区间D内可导，‎ 如果＞0，则在区间D上为增函数；‎ 如果＜0，则在区间D上为减函数；‎ 如果=0恒成立，则在区间D上为常数.‎ ‎2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式＞0的解集与函数定义域的交集，就是的增区间；不等式＜0的解集与函数定义域的交集，就是的减区间.‎ ‎1、函数的单调递增区间是 ( )‎ A. B.(0,3) C.(1,4) D. ‎ ‎2.函数的单调减区间为 . ‎ ‎ ‎ ‎3.已知函数，，讨论的单调性。‎ 答案详解由题意，的定义域是，所以有。设，二次方程的的判别式 。‎ 当，即时， 对一切都有。此时，在上是增函数；‎ 当时，，此时在上也是增函数；‎ 当，，即时，方程有两个不同的实根，，，。‎ 此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。‎ 解析:本题主要考查导数在研究函数中的应用。‎ 本题的难点在于参数分类的讨论，如何做到不重不漏。‎ 首先在定义域的情况下，对函数求导，在求极值的过程中，会涉及到二次方程的根个数问题，要针对判别式进行分类讨论，在极值为两个的情况下，讨论其与定义域的关系，并根据导数与函数增减性的关系，列表求得函数增减性。‎ ‎4. 已知函数。（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线的斜率；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。‎ 答案详解（Ⅰ）当时，，，故。所以曲线在点处的切线的斜率为。‎ ‎（Ⅱ）。令，解得或，由知，。以下分两种情况讨论：‎ ‎（1）若，则。当变化时，的变化情况如下表：‎ 所以在内是增函数，在内是减函数；函数在处取得极大值， 且；函数在处取得极小值，且。‎ ‎（2）若，则。当变化时，的变化情况如下表：‎ 所以在内是增函数，在内是减函数；函数在处取得极大值，且；函数在处取得极小值，且。‎ 解析:本题主要考查利用导数判断函数单调性。‎ ‎（Ⅰ）求出这种情况下，函数在处的导数，即为切线斜率。‎ ‎（Ⅱ）首先求解出极值，然后对参数进行分类讨论，使用列表法，对函数和导数列表，列出函数的单调区间和极值。‎ 三、求函数的极值与最值 ‎1、极值的判别方法：当函数在点处连续时，‎ ‎① 如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；‎ ‎② 如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.‎ 也就是说是极值点的充分条件为点两侧导数异号，而不是=0. ‎ ‎2、最值的求法：求f (x)在[a，b ]上的最大值与最小值的步骤如下：‎ ‎(1) 求 f (x) 在区间 (a，b) 内的极值(极大值或极小值)；‎ ‎(2) 将 y = f (x) 的各极值与端点处的函数值 f (a)、f (b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.‎ 注：极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.‎ ‎1.设函数，则（ ）‎ A. 为的极大值点 B.为的极小值点 C. 为的极大值点 D. 为的极小值点 答案详解D正确率: 53%, 易错项: B解析:本题主要考查函数极值的计算。‎ 令导函数求得，且在上小于零，在上大于零，则在上单调递减，在上单调递增，为的极小值点。‎ ‎2.函数在 处取得极小值.‎ ‎3.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）‎ 设其中，曲线在点处的切线垂直于轴.‎ ‎（Ⅰ） 求的值；（Ⅱ）求函数的极值. ‎ ‎4. (本小题满分13分) 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中30，‎ 知在R上恒成立，因此由此并结合a>0，知.‎ ‎3. 已知函数，曲线在点处的切线方程为。‎ ‎（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。‎ Ⅰ），由于直线的斜率为，且过点，故，即，解得，。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 。‎ 考虑函数，则。‎ ‎（i）设，由知，当时，。而，故当时，，可得；当时，，可得， ；从而当，且时，，即。‎ ‎（ii）设。由于当时，，故，而，故当时，，可得，，与题设矛盾。‎ ‎（iii）设。此时，而，故当时，，可得，而 ，与题设矛盾。综合得，的取值范围为。‎ 解析:本题主要考查函数求导和函数的单调性，以及分类讨论思想。‎ ‎（Ⅰ）先对函数求导，将点代入到导函数，得出斜率，又在直线上，从而得到两个方程，联立解得的值。‎ ‎（Ⅱ）本问为不等式与函数的问题，要进行分类讨论，讨论时应注意不要漏情况。首先将不等式转化为求函数极值。即将不等式右边式子左移，得讨论函数，这里应注意的取值范围。通过分类讨论可得取值范围为。‎ 解读 本题（2）中，若直接对作差后所得的函数求导，形式繁杂，且不易得出导数零点。由于只是判断函数的正负号，可以提出，这样，余下的部分的求导变得简单可行，且的正负容易判断。‎ ‎4．本小题满分100分）已知函数。（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若对于任意的，都有，求的取值范围。‎ 答案详解 ‎（1）。令，得。当时，与的情况如下：‎ 所以，的单调递增区间是和；单调递减区间是。‎ 当时，与的情况如下：‎ 所以，的单调递减区间是和；单调递增区间是。‎ ‎（2）当时，因为，所以不会有，。当时，由（1）知在上的最大值是，所以等价于，解得。‎ 解析:本题主要考查函数的求导和函数的单调性问题。‎ ‎（1）先对函数求导得。当时，单调递增，求得的的取值范围即为单调增区间；当时，单调递减，求得的的取值范围即为单调减区间。‎ ‎（2）利用函数的单调性，求得的最大值，代入不等式，即可求得的取值范围。 ‎ ‎5. 本小题满分12分）已知函数，，其中，‎ ‎（1）若在处取得极值，求的值；（2）求的单调区间；‎ ‎（3）若的最小值为，求的取值范围。‎ 答案详解（1）因为，所以，又在处取得极值，所以。‎ ‎（2）令，‎ 当，即时，在定义域内恒成立，所以函数在内单调递增；‎ 当，即时，在区间内，函数递减；在区间内，函数递增。‎ 综上所述，当时，函数在区间内单调递增；当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增。‎ ‎（3）当时，函数在区间内单调递增，此时，所以满足条件；‎ 当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，此时，所以不满足题意，所以的取值范围为。‎ 解析:本题主要考查函数与导数的单调性、函数的极值。‎ ‎（1）对函数求导，在函数极值点处导数有意义时导数为零，然后计算求解；‎ ‎（2）导数大于零时函数递增，导数小于零时函数递减，然后分类讨论的取值范围进行求解；‎ ‎（3）分两种情况讨论函数的最小值，满足函数最小值为的的取值范围即为解。‎ ‎6. 设函数。（1）若为的极值点，求实数；‎ ‎（2）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立。‎ 注：为自然对数的底数。‎ 答案详解（1）求导得。‎ 因为是的极值点，所以，‎ 解得或，经检验，符合题意，所以或。‎ ‎（2）①当时，对于任意的实数，恒有成立。‎ ‎②当时，由题意，首先有，解得，‎ 由（1）知，‎ 令，则，‎ 且 又在内单调递增，所以函数在内有唯一零点，‎ 则，，从而，当时，；‎ 当时，；当时，。‎ 即在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增。‎ 所以要是对恒成立，只要成立。‎ 由，知 将③代入①得。又，注意到函数在内单调递增，故。‎ 再由③以及函数在内单调递增，可得。‎ 又②解得，。所以。‎ 综上，的取值范围为。‎ 解析:本题主要考查导数以及不等式的综合运用。（1）本题应该先对函数求导，又因为为的极值点，所以，据此便可解的实数的取值范围。‎ ‎（2）由于当时，，所以此时恒成立，所以只需讨论当时的情况即可。本题应该先判断出的零点即的极值点，从而可判断出的单调性。最后判断得在内单调递增，在中单调递减，在中单调递增。所以应该使得在该区间内的极大值点或者在端点处满足，这样便可解得的取值范围。‎ ‎7. 已知，，函数。（1）证明：当时，‎ ‎（i）函数的最大值为；（ii） ；‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围。‎ 答案详解（1）（i）。‎ 当时，有，此时在上单调递增。‎ 当时，。此时在上单调递减，在上单调递增。所以当时，‎ ‎（ii）由于，故当时，‎ 当时，‎ 设，则。‎ 所以，。所以当时，。故。‎ ‎（2）由（i）知，当时，，所以。若，则由（ii）知，。所以对任意恒成立的充要条件是，即，或，在直角坐标系中，所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段，做一组平行直线，得，所以的取值范围是。‎ 解析:本题主要考查利用导函数判断函数单调性和利用线性规划求解极值。‎ ‎（1）（i）先对函数求导，得导函数，讨论和两种情况下函数的单调性，求得。‎ ‎（ii） 分别讨论和两种情况下，对进行放缩。再令，对其求导，分析其单调性，求得。故可得。‎ ‎（2）列出对任意恒成立的充要条件，画出不等式组的平面区域图，设目标函数为，可求得的取值范围为。‎ ‎8.（本小题满分13分）已知函数=，其中a≠0.(1) 若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.(2) 在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，‎ 问：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ 解：（Ⅰ）若，则对一切，，这与题设矛盾，又，故.‎ 而令 当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值 于是对一切恒成立，当且仅当 .　　　　　　　　①‎ 令则 当时，单调递增；当时，单调递减.‎ 故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，①式成立.综上所述，的取值集合为.‎ ‎（Ⅱ）由题意知， 令 则 ‎ 令，则.‎ 当时，单调递减；当时，单调递增.‎ 故当，即 从而，‎ 又 ∴‎ 因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，∴存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.‎ 故当且仅当时， .‎ 综上所述，存在使成立.且的取值范围为 ‎9. (本题满分14分) 已知函数的最小值为0，其中 ‎（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的有≤成立，求实数的最小值；‎ ‎（Ⅲ）证明（）.‎ ‎、解：（Ⅰ）函数的定义域为 ‎ ‎ ‎ ，得 时，‎ ‎（Ⅱ）设 ‎ 则在上恒成立 …………（*）‎ ‎ ， ‎ ‎ ①当时，与（*）矛盾 ‎ ②当时，符合（*）， ∴实数的最小值为 ‎（Ⅲ）由（2）得：对任意的值恒成立 ‎ 取：‎ ‎ 当时， 得：当时，‎ ‎ 得：.‎ ‎10.（本小题满分14分）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．‎ ‎（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；‎ ‎（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点． ‎ ‎（1）依题可设 ()，则；‎ ‎ 又的图像与直线平行 ，即 ‎ ， ，设，‎ 则 当且仅当时，取得最小值，即取得最小值 当时， 解得 ‎ 当时， 解得 ‎ （2）由()，得 ‎ 当时，方程有一解，函数有一零点；‎ 当时，方程有二解，‎ 若，，函数有两个零点，‎ 即；若，，函数有两个零点，‎ 即；当时，方程有一解， ， ‎ 函数有一零点 ‎ 综上，①当时， 函数有一零点；‎ ②当()，或（）时，函数有两个零点；③当时，函数有一零点.‎