2020七年级数学上册 第1章 有理数 1

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2020七年级数学上册 第1章 有理数 1

‎1.5 有理数的乘方 ‎1.5.1 乘方 第1课时 乘方的意义 ‎ 情景导入  置疑导入  归纳导入  复习导入  类比导入  悬念激趣 情景导入 同学们,你们吃过拉面吗?你们知道拉面是怎么做出来的吗?‎ 图1-5-1‎ 做一做:用准备好的拉面玩具做拉面捏合的练习,作好记录.‎ 次数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎…‎ ‎10‎ ‎…‎ 面条根数 ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎32‎ ‎64‎ ‎…‎ ‎1024‎ ‎…‎ ‎  [说明与建议] 说明:通过生活中“拉面问题”的实例,让学生经历动手实践,将实际问题抽象为数学问题的过程,感受数学知识与生活的联系,激发学生的学习兴趣.建议:先让学生根据示意图口答捏合后的面条根数,然后再让学生猜想回答第四次、第五次捏合后的根数,随后用准备好的拉面玩具做拉面捏合的练习,最后让一名学生汇报实验结果.质疑如果捏合10次、100次、n次呢?‎ 类比导入 我们学数学就为了能成为一名化繁为简的高手.‎ 问题1:比如3+3+3+3+3+3=3×( ),利用乘法将这么长的加法算式变简单.‎ 问题2:我们现在学习了乘法,那么3×3×3×3×3=( ),你们打算怎样简化一下呢?‎ ‎[说明与建议] 说明:在简短的对话交流中,学生有了发表独见的机会,引发了学生的学习兴趣,舍弃了贴近生活的导入方式,一是期望能在数学的发展关联上对学生有所启迪,初步培养学生发展数学的意识;二是会使得知识的学习在迁移中更易于让学生接受.建议:让学生在轻松的氛围中自主交流2分钟左右,对学生有思考的每个回答给予积极的评价.‎ 悬念激趣 导语:同学们,我们生活中有很多事件都蕴含了数学的知识,那么你知道下面这个事件所涉及的数学知识吗?(课件展示)‎ 趣味数学【是真的吗?】‎ 6‎ 珠穆朗玛峰是世界最高峰,它的海拔高度约是‎8844米.把一张足够大的厚度为‎0.1毫米的纸连续对折30次,厚度能超过珠穆朗玛峰,这是真的吗?‎ ‎[说明与建议] 说明:通过趣味数学创设问题情境,吸引学生的注意力,唤起学生的好奇心,激发学生的兴趣和主动学习的欲望,营造一个让学生主动思考、探索的氛围.建议:教师可以现场进行演示,唤起学生的求知欲望,从而引入课题.‎ 教材母题——教材第42页例1‎ ‎(1)(-4)3;(2)(-2)4;(3)(-)3.‎ ‎【模型建立】‎ 有理数的乘方运算就是相同因式的乘法运算,在转化、计算的过程中要确定因数,即幂的底数.注意幂的符号的确定.‎ ‎【变式变形】‎ ‎1.[毕节中考] 计算-32的结果是(B)‎ A.9      B.-‎9 ‎     C.6      D.-6‎ ‎2.[淄博中考] 计算(-3)2等于(D)‎ A.-9 B.-‎6 C.6 D.9‎ ‎3.[聊城中考] 的相反数是(B)‎ A.-6 B.‎8 C.- D. ‎4.[黄冈中考] -(-3)2=(C)‎ A.-3 B.‎3 C.-9 D.9‎ ‎5.[威海中考] 若a3=-8,则a的绝对值是(A)‎ A.2 B.-‎2 C. D.- ‎6.[贺州中考] 2615个位上的数字是(D)‎ A.2 B.‎4 C.6 D.8‎ ‎7.某种细菌在培养过程中每半小时分裂一次(由1个分裂为2个),经过2个小时,这种细菌由1个可分裂为(B)‎ A.8个 B.16个 C.4个 D.32个 ‎8.(-1)2015的绝对值是__1__.‎ ‎[命题角度1] 有理数的乘方运算 在进行有理数的乘方运算时应注意以下两点:1.步骤:先确定底数和指数,再确定幂的符号,最后计算底数绝对值的积.2.(-a)n与-an的两个不同:(1)底数不同,前者为-a,后者为a.(2)读法不同:前者读为-a的n次方,后者读为a的n次方的相反数.‎ 例 计算:(1)(-5)4;(2)-54;(3)-(-)3;(4)[-(-)]3.‎ 6‎ 解:(1)原式=+(5×5×5×5)=625.(2)原式=-5×5×5×5=-625.‎ ‎(3)原式=-(-)=.(4)原式=()3=.‎ ‎ [命题角度2] 乘方在实际中的应用 利用有理数的乘方解决实际问题:(1)从特殊到一般,发现规律,揭示数学关系,以幂的形式表示出来.(2)结合问题进行有关运算,当指数太大时,结果写为幂的形式.‎ 例 当你把纸对折1次时,可以得到2层;对折2次时,可以得到4层;对折3次时,可以得到8层,…‎ ‎(1)计算对折5次时层数是多少?‎ ‎(2)你能发现层数与折纸的次数的关系吗?‎ ‎(3)如果每张纸的厚度是‎0.1 mm,求对折12次后纸的总厚度.‎ 解:(1)对折1次得到2层,即21层;对折2次得到4层,即22层;对折3次得到8层,即23层;…;那么对折5次时的层数是25.‎ ‎(2)对折n次时的层数是2n ‎(3)根据上述对折次数与层数之间的关系可得:对折12次的层数为212=4096(层).‎ 已知每张纸的厚度为‎0.1 mm,那么对折12次后的厚度为:‎ ‎4096×0.1=409.6(mm)=40.96(cm).‎ ‎[命题角度3] 幂的末位数字问题 ‎0,1,5,6的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身;2的正整数次幂的个位数字是按2,4,8,6四个数字循环的;3的正整数次幂的个位数字是按3,9,7,1四个数字循环的;7的正整数次幂的个位数字是按7,9,3,1四个数字循环的;8的正整数次幂的个位数字是按8,4,2,6四个数字循环的;9的正整数次幂的个位数字是按9,1两个数字循环的.‎ 例 实验、观察、找规律.‎ 计算:31=__3__;32=__9__;33=__27__;34=__81__;‎ ‎35=__243__;36=__729__;37=__2187__;38=__6561__.‎ 由此推测32015的个位数字是__7__.‎ ‎[命题角度4] 偶次方的非负性 任何一个有理数的偶次方都是非负数.两个非负数的和为零,则每个数都为零.‎ 例 [河北中考] 若实数m,n满足+(n-2014)2=0,则m+n=__2016__.‎ ‎[命题角度5] 利用数值转换器进行乘方的有关计算 数值转换器就是隐藏的算式,严格根据转换的顺序和条件列式进行计算.‎ 例 [娄底中考] 按照如图1-5-2所示的操作步骤,若输入的值为3,则输出的值为__55__.‎ 图1-5-2‎ 6‎ ‎ P42练习 ‎1.(1)(-7)8中,底数、指数各是什么?‎ ‎(2)(-10)8中-10叫做什么数?8叫做什么数?(-10)8是正数还是负数?‎ ‎[答案] (1)(-7)8中底数是-7,指数是8;‎ ‎(2)(-10)8中-10叫做底数,8叫做指数.(-10)8是正数.‎ ‎2.计算:‎ ‎(1)(-1)10;  (2)(-1)7;  (3)83; (4)(-5)3;  (5)0.13; (6);‎ ‎(7)(-10)4;  (8)(-10)5.‎ ‎[答案] (1)1;(2)-1;(3)512;(4)-125;(5)0.001;(6);(7)10 000;‎ ‎(8)-100 000.‎ ‎3.用计算器计算:‎ ‎(1)(-11)6;  (2)167;‎ ‎(3)8.43;    (4)(-5.6)3.‎ ‎[答案] (1)1 771 561;(2)268 435 456;(3)592.704;(4)-175.616.‎ ‎[当堂检测]‎ ‎1. 的意义是( )‎ A.-3×4 B.4个(-3)相加 ‎ ‎ C.4个(-3)相乘 D.3个(-4)相乘 ‎2. 下列式子中,正确的是( )‎ A.-102=(-10)×(-10) B. 32 = 3×2 ‎ C.(-)3=-×× D.23= 32‎ ‎3. 计算(-2)2+(-2)3的结果是( A )‎ ‎ A.-4 B.‎2 C.4 D.12‎ ‎4. 如果|a+3|+(b-2)2=0,则(a+b)2013的值是____ 。‎ ‎5.计算:‎ ‎(1)- 3²÷(- 3)²+(- 2)×3;‎ ‎(2)-22 -(-3)3×(-1)2 -(-1)3.‎ 参考答案:‎ ‎1. C ‎ ‎2. C ‎ ‎3. A ‎ ‎4. – 1‎ ‎5.(1)- 7 ‎ ‎(2)24 ‎ 6‎ ‎ ‎ ‎“有理数乘方”解读 ‎ “乘方”是继有理数的加、减、乘、除运算之后又一种新的运算,在有理数一章中占着很重要的地位,为了帮助同学们更好地掌握这部分知识,下面从几个方面进行归纳叙述,供同学们参考.‎ 一、正确理解乘方的含义 求n个相同因数a的积的运算叫做乘方,其结果叫做幂.因此乘方有双重含义,首先它表示一种运算,一种特殊的运算(即因数相同的乘法运算),如表示的运算,读着a的n次方;其次它表示一种运算的结果,如是n个a相乘的结果,读着a的n次幂.所以在理解乘方概念时,应知道它不仅表示一种运算,而且还表示运算的结果.‎ 二、正确理解乘方的结果 上面我们谈到乘方表示一种运算的结果,不少同学就认为只有把乘方写成的形式才叫做幂,这种观点是错误的,实际上,对于具体数的乘方,特别是结果不太大的数,其结果可以写成幂的形式,也可以用具体的数表示.如=27,这里的和27都是乘方的结果,它们之间没有什么不同.当然,对于用字母表示的数的乘方结果只能写成幂的形式.‎ 三、注意分清底数及其写法 的底数是-a,而-的底数是a,前者表示n个(-a)相乘,后者表示n个a相乘结果再取相反数,因此,不能把与-混为一谈,虽然有时它们的结果可能相同,如,-,但它们的具体含义却不一样.当底数是负数或分数时,我们在书写中一定要把底数加上括号,然后再在括号的右上角写上指数,以体现底数的整体性,否则就会出现把的3次方写成-,的平方写成的错误,同学们在初学时一定要注意这一点.‎ 四、注意运算顺序及积和幂的区别 加上我们以前学习的加、减、乘、除四种运算,共有了五种运算(后面我们将还会学习一种运算——开方),其中把加、减称为第一级运算,乘、除称为第二级运算,乘方、开方称为第三级运算.如果在一道题中同时含有几种不同的运算 6‎ ‎,应按照从高级到低级运算依次进行,有括号的当然先算括号内的.如3,而不能算成3.我们知道2×2×2=8,,虽然结果相同,但它们的意义却是完全不同的,前者的8是乘法的结果——积,后者的8是乘方的结果——幂.因此8可以看成1×8,2×4,(-2)×(-4)等等的积,而8作为幂只能表示是2的3次幂.‎ 6‎
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