【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第6章经典微课堂规范答题系列2高考中的数列问题学案

【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第6章经典微课堂规范答题系列2高考中的数列问题学案

‎[命题解读]　从近五年全国卷高考试题来看，数列解答题常以an，Sn的关系为切入点，以等差(等比)数列基础知识为依托，重点考查等差(等比)数列的判定与证明，考查数列的通项及前n项和的求法(以分组求和、裂项求和为主)，考查函数与方程的思想及逻辑推理、数学运算的核心素养，且难度有所提升．‎ ‎[典例示范]　(本题满分12分)(2016·全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28①.记bn＝[lg an]②，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.‎ ‎(1)求b1，b11，b101；‎ ‎(2)求数列{bn}的前1 000项和③.‎ ‎[信息提取]　看到①想到等差数列的求和公式；‎ 看到②想到等差数列的通项公式及对数的运算性质；‎ 看到③想到数列的常见求和方法．‎ ‎[规范解答]　(1)设{an}的公差为d，S7＝‎7a4＝28，‎ 所以a4＝4， 2分 所以d＝＝1， 4分 所以an＝a1＋(n－1)d＝n. 5分 所以b1＝[lg a1]＝[lg 1]＝0，b11＝[lg a11]＝[lg 11]＝1，b101＝[lg a101]＝[lg 101]＝2. 6分 ‎(2)记{bn}的前n项和为Tn，则T1 000＝b1＋b2＋…＋b1 000＝[lg a1]＋[lg a2]＋…＋[lg a1 000]，‎ 当0≤lg an＜1时，n＝1,2，…，9； 7分 当1≤lg an＜2时，n＝10,11，…，99； 9分 当2≤lg an＜3时n＝100,101，…，999； 11分 当lg an＝3时，n＝1 000，‎ 所以T1 000＝0×9＋1×90＋2×900＋3×1＝1 893. 12分 ‎[易错防范]‎ 易错点 防范措施 对[lg an]认识错误 先结合题设条件理解[x]，再结合对数的运算性质求出b1，b11，b101‎ 找不出[lg an]的规律求不出{bn}的前1 000项的和 结合(1)的结论，合情推理推出[lg an]的规律，并分类求出bn，最后利用分组求和求{bn}的前1 000项和 ‎[通性通法]　(1)等差(或等比)数列的通项公式、前n项和公式中有五个元素a1，d(或q)，n，an，Sn，“知三求二”是等差(等比)的基本题型，通过解方程(组)的方法达到解题的目的．‎ ‎(2)数列的求和问题常采用“公式法”“裂项相消法”等．‎ ‎[规范特训]　(2019·天津二模)已知数列{an}满足a1＝2，(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)，设bn＝.‎ ‎(1)证明数列{bn}是等差数列；‎ ‎(2)设＝2n＋1，求数列{cn}的前n项和Tn(n∈N＋)．‎ ‎[解]　(1)因为a1＝2，所以b1＝＝1.‎ 将(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)两边同时除以(n＋1)(n＋2)得：‎ ＝－2，∴－＝2，即bn＋1－bn＝2.‎ ‎∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．‎ ‎(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1.‎ ‎∵＝2n＋1，∴cn＝(2n＋1)bn＝(2n－1)·2n＋2n－1.‎ 设Pn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，‎ ‎2Pn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，‎ 两式相减得：－Pn＝2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1＝2＋2×－(2n－1)·2n＋1＝－6－(2n－3)·2n＋1.‎ 化简得Pn＝6＋(2n－3)·2n＋1.‎ 设Sn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2，‎ ‎∴Tn＝Pn＋Sn＝6＋(2n－3)·2n＋1＋n2.‎