【数学】2018届一轮复习北师大版数列教案

【数学】2018届一轮复习北师大版数列教案

‎——数列(全国卷第17题)‎ 数列问题是高频考点中的高频，历年来是命题专家命题的热点，每年的考题都是在以基础知识为起点上的推陈出新，似有岁岁年年花相似、年年岁岁题不同之感，然而归纳起来有下列三种常考题型．‎ 数列的基本运算 ‎ (2016·高考全国卷甲改编)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.‎ ‎(3)(名师加编)求使＋＋…＋>2的n的最小值．‎ ‎【解】　(1)设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.‎ 解得a1＝1，d＝.‎ 所以{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)由(1)知，bn＝.‎ 当n＝1，2，3时，1≤<2，bn＝1；‎ 当n＝4，5时，2<<3，bn＝2；‎ 当n＝6，7，8时，3≤<4，bn＝3；‎ 当n＝9，10时，4<<5，bn＝4.‎ 所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.‎ ‎(3)＋＋…＋ ‎＝＋＋…＋ ‎＝25× ‎＝ ‎＝，‎ 所以＋＋…＋＝>2，‎ 解之得n>10，所以n的最小值为11.‎ 第一步：①根据数列类型，结合两个已知条件，列出方程组．(若是等差数列，列出关于首项a1与公差d的方程组；若是等比数列，列出关于首项a1，与公比q的方程组)．‎ ‎②根据条件，求解方程组．‎ ‎③根据结论需求代入相关公式求通项或前n项和．‎ 第二步：根据结论形式，选择相应的数学方法，一般情况下．‎ 第1类，求Sn的最值．‎ 结合二次函数或利用通项的正负性解决．‎ 第2类，裂项求和．‎ 若an>0，d≠0，求＋＋…＋.‎ 其求和方法为 ＋＋…＋＝＋·＋…＋ ‎＝ ‎＝·＝.‎ 即＋＋…＋＝.‎ 第3类，错位求和．‎ ‎{an}是等差数列，公差d≠0，{bn}是等比数列，公比q≠1，求数列{anbn}前n项和的方法为 设Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＋anbn， ①‎ q·Tn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋qanbn， ②‎ ‎①－②得 ‎(1－q)Tn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－qanbn ‎＝a1b1＋d·－qanbn.‎ 所以Tn＝.‎ 即概括为：‎ 乘q错位，相减提d；‎ 等比求和，化简结果．‎ 数列的判定与证明 ‎ 已知数列{an }的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．‎ ‎(1)证明：an＋2－an＝λ；‎ ‎(2)是否存在λ，使得{an }为等差数列？并说明理由．‎ ‎【解】　(1)证明：由题设知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，‎ 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，‎ 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.‎ ‎(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.‎ 由(1)知，a3＝λ＋1.‎ 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.‎ 故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；‎ ‎{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.‎ 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，‎ 因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．‎ ‎1．将已知关系转化为an＋1－an＝d(等差数列)或＝q(等比数列)．‎ ‎2．常用an与Sn的关系式an＝.‎ ‎3．常见的类型有 ‎①an＝kn＋b⇔{an}是等差数列．‎ ‎②Sn＝An2＋Bn⇔{an}是等差数列．‎ ‎③an＝c1·c(c1c2≠0)⇔{an}是等比数列．‎ ‎④Sn＝c＋λqn⇔{an}是等比数列．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　已知递推关系求解数列 满分展示 ‎ (满分12分)(2016·高考全国卷乙)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求{bn}的前n项和．‎ ‎[联想破译]‎ 联想因素：等差数列、通项公式、前n项和 联想线路：(1)把n＝1代入式子anbn＋1＋bn＋1＝nbn，即可求出数列{an}的首项，再利用等差数列的通项公式，即可求其通项公式；(2)将(1)中得到的{an}的通项公式代入式子anbn＋1＋bn＋1＝nbn，即可判断{bn}为等比数列，再利用等比数列的前n项和公式，得出结果．‎ ‎[标准答案] ‎ 第(1)问得分点说明：‎ 正确求出a1的值得3分；‎ 指出数列{an}的性质得1分；‎ 正确求出数列{an}的通项公式得2分 ‎(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，‎ 得(3分)‎ 所以数列{an}是 (4分)‎ 通项公式为(6分)‎ ‎(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得 ‎(9分)‎ 因此数列{bn}是  ‎(10分)　　　　　　 　　‎ 设数列{bn}的前n项和为Sn，则 Sn＝＝－.(12分) ‎ 第(2)问得分点说明：‎ 正确求出bn＋1与bn的关系得3分；‎ 指出数列{bn}的性质得1分；‎ 代入求和公式，正确求出Sn得2分 ‎[解题程序]‎ 第一步：将n＝1代入关系式anbn＋1＋bn＋1＝nbn，求出a1的值；‎ 第二步：利用等差数列的通项公式求出an；‎ 第三步：将第(1)问中求得的an代入关系式anbn＋1＋bn＋1＝nbn，求得bn＋1与bn的关系；‎ 第四步：判断数列{bn}为等比数列；‎ 第五步：代入等比数列的前n项和公式求Sn.‎ ‎[满分心得]‎ ‎(1)写全得分步骤 对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问要写出a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，才能得出a1，第(2)问中一定要写出求bn＋1＝的步骤并要指明{bn}的性质．‎ ‎(2)写明得分关键 对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中不能直接写出a1＝2，必须列出a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，否则不能得全分；必须指出数列{an}的性质，不能直接写出an，否则不能得全分；第(2)问中必须由anbn＋1＋bn＋1＝nbn得出bn＋1＝bn，并得出{bn}为等比数列的结论，否则不得分，必须代入求和公式而不能直接写出结果，否则要扣分．‎