高中数学人教a版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 学业分层测评7 word版含答案

高中数学人教a版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 学业分层测评7 word版含答案

学业分层测评(七) (建议用时：45 分钟) [达标必做] 一、选择题 1．(2016·郑州高一检测)给出下列说法： ①梯形的四个顶点共面； ②三条平行直线共面； ③有三个公共点的两个平面重合； ④三条直线两两相交，可以确定 3 个平面． 其中正确的序号是( ) A．① B．①④ C．②③ D．③④ 【解析】 因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以 ①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱， 所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相 交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可 以确定的平面个数是 1 或 3，所以④不正确． 【答案】 A 2．已知α，β为平面，A，B，M，N 为点，a 为直线，下列推理错 误的是( ) A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且 A，B，M 不共线⇒α，β重合 【解析】 选项 C 中，α与β有公共点 A，则它们有过点 A 的一条 交线，而不是点 A，故 C 错． 【答案】 C 3．(2016·蚌埠高二检测)经过空间任意三点作平面( ) 【导学号：09960046】 A．只有一个 B．可作两个 C．可作无数多个 D．只有一个或有无数多个 【解析】 若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则 可以作出无数多个平面，选 D. 【答案】 D 4．空间四点 A、B、C、D 共面而不共线，那么这四点中( ) A．必有三点共线 B．必有三点不共线 C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线 【解析】 如图(1)(2)所示，A、C、D 均不正确，只有 B 正确，如 图(1)中 A、B、D 不共线． (1) (2) 【答案】 B 5．如图 217，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线 AB∩l＝D，过 A、B、C 三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过 ( ) 图 217 A．点 A B．点 B C．点 C，但不过点 D D．点 C 和点 D 【解析】 根据公理判定点 C 和点 D 既在平面β内又在平面γ内， 故在β与γ的交线上．故选 D. 【答案】 D 二、填空题 6．如图 218，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，试根据图形填空： 图 218 (1)平面 AB1∩平面 A1C1＝________； (2)平面 A1C1CA∩平面 AC＝________； (3)平面 A1C1CA∩平面 D1B1BD＝________； (4)平面 A1C1，平面 B1C，平面 AB1 的公共点为________． 【答案】 (1)A1B1 (2)AC (3)OO1 (4)B1 7．空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那 么这三条直线能确定的平面个数是________． 【解析】 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， ①AA1∩AB＝A，AA1∩A1B1＝A1，直线 AB，A1B1 与 AA1 可以确定 一个平面(平面 ABB1A1)． ②AA1∩AB＝A，AA1∩A1D1＝A1， 直线 AB，AA1 与 A1D1 可以确定两个平面(平面 ABB1A1 和平面 ADD1A1)． ③三条直线 AB，AD，AA1 交于一点 A，它们可以确定三个平面(平 面 ABCD，平面 ABB1A1 和平面 ADD1A1)． 【答案】 1 或 2 或 3 三、解答题 8．如图 219 所示，在空间四边形各边 AD，AB，BC，CD 上分 别取 E，F，G，H 四点，如果 EF，GH 交于一点 P，求证：点 P 在直 线 BD 上. 【导学号：09960047】 图 219 【证明】 ∵EF∩GH＝P， ∴P∈EF 且 P∈GH. 又∵EF⊂平面 ABD，GH⊂平面 CBD， ∴P∈平面 ABD，且 P∈平面 CBD， ∴P∈平面 ABD∩平面 CBD， ∵平面 ABD∩平面 CBD＝BD，由公理 3 可得 P∈BD. ∴点 P 在直线 BD 上． 9．求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． 【解】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线 l1，l2，l3 在同一平面内． 证明：法一 ∵l1∩l2＝A， ∴l1 和 l2 确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2⊂α，∴B∈α. 同理可证 C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3， ∴l3⊂α. ∴直线 l1、l2、l3 在同一平面内． 法二 ∵l1∩l2＝A， ∴l1、l2 确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B， ∴l2、l3 确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证 B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点 A、B、C 既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线 l1、l2、l3 在同一平面内． [自我挑战] 10．下列说法中正确的是( ) A．空间不同的三点确定一个平面 B．空间两两相交的三条直线确定一个平面 C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内 【解析】 经过同一直线上的三点有无数个平面，故选项 A 不正确；当两两 相交的三条直线相交于一点时，可能确定三个平面，故选项 B 不正确； 有 三 个 角 为 直 角 的 四 边 形 不 一 定 是 平 面 图 形 ， 如 在 正 方 体 ABCDA1B1C1D1 中，四边形 ACC1D1 中∠ACC1＝∠CC1D1＝∠C1D1A＝ 90°，但四边形 ACC1D1 不是平面图形，故选项 C 不正确；和同一直线 相交的三条平行直线一定共面，故选 D. 【答案】 D 11．在正方体 AC1 中，E、F 分别为 D1C1、B1C1 的中点，AC∩BD ＝P，A1C1∩EF＝Q，如图 2110. (1)求证：D、B、E、F 四点共面； (2)作出直线 A1C 与平面 BDEF 的交点 R 的位置． 图 2110 【导学号：09960048】 【解】 (1)证明：由于 CC1 和 BF 在同一个平面内且不平行，故必相交．设 交点为 O，则 OC1＝C1C.同理直线 DE 与 CC1 也相交，设交点为 O′， 则 O′C1＝C1C，故 O′与 O 重合．由此可证得 DE∩BF＝O，故 D、 B、F、E 四点共面(设为α)． (2)由于 AA1∥CC1， 所以 A1、A、C、C1 四点共面(设为β)． P∈BD，而 BD⊂α，故 P∈α. 又 P∈AC，而 AC⊂β，所以 P∈β，所以 P∈α∩β. 同理可证得 Q∈α∩β，从而有α∩β＝PQ. 又因为 A1C⊂β， 所以 A1C 与平面α的交点就是 A1C 与 PQ 的交点． 连接 A1C，则 A1C 与 PQ 的交点 R 就是所求的交点.