我的高考数学系列——易错题精析
你的高考数学——易错题精析
高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。
忽视等价性变形，导致错误。
Û ，但 与 不等价。
【例1】已知f(x) = ax + ，若求的范围。
错误解法 由条件得
②×2－①
①×2－②得
+得
错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的。当取最大（小）值时，不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。
正确解法 由题意有, 解得：
把和的范围代入得
在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。
●忽视隐含条件，导致结果错误。
【例2】
(1) 设是方程的两个实根，则的最小值是
思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。
利用一元二次方程根与系数的关系易得：
有的学生一看到，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。
原方程有两个实根，∴ Þ
当时，的最小值是8；
当时，的最小值是18。
这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。
(2) 已知(x+2)2+ =1, 求x2+y2的取值范围。
错解 由已知得 y2=－4x2－16x－12，因此 x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+ ，
∴当x=－时，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范围是(－∞, ]。
分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。
事实上，由于(x+2)2+ =1 Þ (x+2)2=1－ ≤1 Þ －3≤x≤－1，
从而当x=－1时x2+y2有最小值1。∴ x2+y2的取值范围是[1, ]。
注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。
●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。
【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值。
错解 (a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,
∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.
分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。
事实上，原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－
]+4
= (1－2ab)(1+)+4，
由ab≤()2= 得：1－2ab≥1－=, 且≥16，1+≥17，
∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，
∴(a + )2 + (b + )2的最小值是。
●不进行分类讨论，导致错误
【例4】(1)已知数列的前项和，求
错误解法
错误分析 显然，当时，。
错误原因：没有注意公式成立的条件是。
因此在运用时，必须检验时的情形。即：。
(2)实数为何值时，圆与抛物线有两个公共点。
错误解法 将圆与抛物线 联立，消去，
得 ①
因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得 ， 解之得
错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当时，圆与抛物线有两个公共点。
x
y
O
图2－2－2
x
y
O
图2－2－1
要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。
当方程①有一正根、一负根时，得解之，得
因此，当或时，圆与抛物线有两个公共点。
思考题：实数为何值时，圆与抛物线，
有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。
●以偏概全，导致错误
以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。
【例5】(1)设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.
错误解法 ，
。
错误分析 在错解中，由，
时，应有。
在等比数列中，是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形。
正确解法 若，则有但，即得与题设矛盾，故.
又依题意 Þ Þ ,即因为，所以所以解得
说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。
(2)求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。
错误解法 设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为
，消去得整理得
直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为
错误分析 此处解法共有三处错误：
第一，设所求直线为时，没有考虑与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。
第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。
第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。
正确解法 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切。
②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点。
③一般地，设所求的过点的直线为,则，
令解得k = ,∴ 所求直线为
综上，满足条件的直线为：
《章节易错训练题》
1、已知集合M = {直线} ，N = {圆} ，则M∩N中元素个数是 A(集合元素的确定性)
(A) 0 (B) 0或1 (C) 0或2 (D) 0或1或2
2、已知A = ，若A∩R* = F ，则实数t集合T = ___。(空集)
3、如果kx2+2kx－(k+2)<0恒成立，则实数k的取值范围是C(等号)
(A) －1≤k≤0 (B) －1≤k<0 (C) －1
0 , b>0 , a+b=1，则(a + )2 + (b + )2的最小值是_______。(三相等)
22、已知x ≠ kp (k Î Z)，函数y = sin2x + 的最小值是______。5（三相等）
23、求的最小值。
错解1
错解2
错误分析 在解法1中，的充要条件是
即这是自相矛盾的。
在解法2中，的充要条件是
这是不可能的。
正确解法1
其中，当
正 确 解 法2 取正常数，易得
其中“”取“＝”的充要条件是
因此，当
24、已知a1 = 1，an = an－1 + 2n－1(n≥2)，则an = ________。2n－1(认清项数)
25、已知 －9、a1、a2、－1 四个实数成等差数列，－9、b1、b2、b3、－1 五个实数成等比数列，
则 b2 (a2－a1) = A(符号)
(A) －8 (B) 8 (C) － (D)
26、已知 {an} 是等比数列，Sn是其前n项和，判断Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列吗？
当q = －1，k为偶数时，Sk = 0，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k不成等比数列；
当q≠－1或q = －1且k为奇数时，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列。
（忽视公比q = －1）
27、已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：
，f(an)－f(an－1) = k(an－an－1)(n = 2,3,┄)，其中a为常数，k为非零常数。（1）令，证明数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）当时，求。(2004天津)
（等比数列中的0和1，正确分类讨论）
28、不等式m2－(m2－3m)i< (m2－4m + 3)i + 10成立的实数m的取值集合是________。{3}(隐含条件)
29、i是虚数单位，的虚部为（ ）C(概念不清)
(A) －1 (B) －i (C) －3 (D) －3 i
30、实数，使方程至少有一个实根。
错误解法 方程至少有一个实根，
Þ 或
错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。
正确解法 设是方程的实数根，则
由于都是实数，,解得
31、和a = (3,－4)平行的单位向量是_________；和a = (3,－4)垂直的单位向量是_________。
(，－)或(－，)；(，)或(－ ，－ )(漏解)
32、将函数y= 4x－8的图象L按向量a平移到L/，L/的函数表达式为y= 4x，则向量a=______。
a = (h，4h+8) (其中h Î R)(漏解)
33、已知 ||＝1，||＝，若//，求·。
①若，共向，则 ·＝||•||＝，
②若，异向，则·＝－||•||＝－。(漏解)
34、在正三棱锥A－BCD中，E、F是AB、BC的中点，EF⊥DE，若BC = a，则正三棱锥A－BCD的体积为____________。a3 (隐含条件)
35、在直二面角 a－AB－b 的棱 AB 上取一点 P，过 P 分别在 a、b 两个平面内作与棱成 45° 的斜线 PC、PD，那么∠CPD的大小为D(漏解)
(A) 45° (B) 60° (C) 120° (D) 60° 或 120°
36、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。
（1）证明PA//平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C—PB—D的大小。(2004天津)
(条件不充分(漏PA Ë 平面EDB，平面PDC，DE∩EF = E等)；运算错误，锐角钝角不分。)
37、若方程 + y 2 = 1表示椭圆，则m 的范围是_______。(0，1)∪(1，+ ¥)(漏解)
38、已知椭圆 + y 2 = 1的离心率为 ，则 m 的值为 ____ 。4 或 (漏解)
39、椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F1、F2
组成的三角形的周长为 4 + 2且∠F1BF2 = ，则椭圆的方程是 。+ y 2 = 1或x 2 + = 1(漏解)
40、椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；
（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明。(2004天津)
(设方程时漏条件a>，误认短轴是b = 2；要分析直线PQ斜率是否存在(有时也可以设为x = ky + b)先；对一元二次方程要先看二次项系数为0否，再考虑△>0，后韦达定理。)
41、 已知双曲线的右准线为，右焦点,离心率,求双曲线方程。
错解1 故所求的双曲线方程为
错解2 由焦点知
故所求的双曲线方程为
错解分析 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。
正解1 设为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为，右焦点，离心率，由双曲线的定义知 整理得
正解2 依题意，设双曲线的中心为,
·P
·
C(3,0)
y
x
O
图3－2－1
M
N
则 解得 ,所以
故所求双曲线方程为
42、求与轴相切于右侧，并与⊙也相切的圆的圆心
的轨迹方程。
错误解法 如图3－2－1所示，已知⊙C的方程为
设点为所求轨迹上任意一点，并且⊙P与轴相切于M点，
与⊙C相切于N点。根据已知条件得
，即，化简得
错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y2 = 12x(x>0)和。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。
O
·
图3－2－2
43、（如图3－2－2），具有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角等于.已知内的曲线的方程是，求曲线在内的射影的曲线方程。
错误解法 依题意，可知曲线是抛物线，
在内的焦点坐标是
因为二面角等于，
且所以
设焦点在内的射影是，那么，位于轴上，
从而
所以所以点是所求射影的焦点。依题意，射影是一条抛物线，开口向右，顶点在原点。所以曲线在内的射影的曲线方程是
错误分析 上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F是射影(曲线)的焦点，其次，没有证明默认C/在a 内的射影(曲线)是一条抛物线。
O
·
图3－2－3
M
N
H
正确解法 在内，设点是曲线上任意一点
（如图3－2－3）过点作，垂足为，
过作轴，垂足为连接，
则轴。所以是二面角
的平面角，依题意，.
在
又知轴（或与重合），
轴（或与重合），设，
则
因为点在曲线上，所以
即所求射影的方程为
44、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的最远距离是，求这个椭圆的方程。
错误解法 依题意可设椭圆方程为
则 ，
所以 ，即
设椭圆上的点到点的距离为，
则
所以当时，有最大值，从而也有最大值。
所以 ，由此解得：
于是所求椭圆的方程为
错解分析 尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当时，有最大值，这步推理是错误的，没有考虑到的取值范围。事实上，由于点在椭圆上，所以有，因此在求的最大值时，应分类讨论。即：
若，则当时，（从而）有最大值。
于是从而解得
所以必有，此时当时，（从而）有最大值，
所以，解得
于是所求椭圆的方程为
数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。
