【数学】2020届一轮复习苏教版简单的三角恒等变换学案

【数学】2020届一轮复习苏教版简单的三角恒等变换学案

第2课时　简单的三角恒等变换 题型一　三角函数式的化简 ‎1．化简：＝________.‎ 答案　2cos α 解析　原式＝＝2cos α.‎ ‎2．化简：＝________.‎ 答案　cos 2x 解析　原式＝ ‎＝ ‎＝＝＝cos 2x.‎ ‎3．化简：－2cos(α＋β)．‎ 解　原式＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．‎ ‎(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．‎ 题型二　三角函数的求值 命题点1　给角求值与给值求值 例1 (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________.‎ 答案　 解析　原式＝·sin 80°‎ ‎＝·cos 10°‎ ‎＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]‎ ‎＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.‎ ‎(2)已知cos＝，θ∈，则sin＝________.‎ 答案　 解析　由题意可得cos2＝＝，cos＝－sin 2θ＝－，‎ 即sin 2θ＝.‎ 因为cos＝>0，θ∈，‎ 所以0<θ<，2θ∈，‎ 根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝，‎ 由两角差的正弦公式，可得 sin＝sin 2θcos －cos 2θsin ‎＝×－×＝.‎ ‎(3)已知cos＝，<α<，则的值为________．‎ 答案　－ 解析　＝ ‎＝ ‎＝sin 2α·＝sin 2α·tan.‎ 由<α<，得<α＋<2π，‎ 又cos＝，‎ 所以sin＝－，tan＝－.‎ cos α＝cos＝－，sin α＝－，‎ sin 2α＝.‎ 所以＝×＝－.‎ 命题点2　给值求角 例2 (1)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为________．‎ 答案　 解析　∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，‎ ‎∴cos α＝－，sin β＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝>0.‎ 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，‎ ‎∴α＋β＝.‎ ‎(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．‎ 答案　－ 解析　∵tan α＝tan[(α－β)＋β]‎ ‎＝＝＝>0，‎ ‎∴0<α<.‎ 又∵tan 2α＝＝＝>0，‎ ‎∴0<2α<，‎ ‎∴tan(2α－β)＝＝＝1.‎ ‎∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，‎ ‎∴2α－β＝－.‎ 引申探究 本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________.‎ 答案　 解析　∵α，β为锐角，∴cos α＝，sin β＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ‎＝×－×＝.‎ 又0<α＋β<π，∴α＋β＝.‎ 思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．‎ ‎(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．‎ 跟踪训练1　(1)已知α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则＝‎ ‎________.‎ 答案　 解析　∵α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，‎ 则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，‎ 又∵α∈，sin α＋cos α>0，‎ ‎∴2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，‎ ‎∴cos α＝，sin α＝，‎ ‎∴ ‎＝＝＝.‎ ‎(2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________.‎ 答案　 解析　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.‎ 又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.‎ 又sin α＝，所以cos α＝，‎ 所以sin β＝sin[α－(α－β)]‎ ‎＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)‎ ‎＝×－×＝.‎ 所以β＝.‎ 题型三　三角恒等变换的应用 例3 已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．‎ ‎(1)求f 的值；‎ ‎(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ 解　(1)由sin＝，cos＝－，得 f ＝2－2－2××＝2.‎ ‎(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x，‎ 得f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期是π.‎ 由正弦函数的性质，得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ 思维升华 三角恒等变换的应用策略 ‎(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．‎ ‎(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．‎ 跟踪训练2 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，)．‎ ‎(1)求sin 2α－tan α的值；‎ ‎(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f －2f2(x)在区间上的值域．‎ 解　(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，‎ ‎∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.‎ ‎∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.‎ ‎(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，x∈R，‎ ‎∴g(x)＝cos－2cos2x ‎＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1，‎ ‎∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.‎ ‎∴－≤sin≤1，∴－2≤2sin－1≤1，‎ 故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．‎ 化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用 讨论形如y＝asin ωx＋bcos ωx型函数的性质，一律化成y＝sin(ωx＋φ)型的函数；研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sin x的图象解决．‎ 例 已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos－.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间上的单调性．‎ 解　(1)f(x)的定义域为.‎ f(x)＝4tan xcos xcos－ ‎＝4sin xcos－ ‎＝4sin x－ ‎＝2sin xcos x＋2sin2x－ ‎＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ‎＝sin 2x－cos 2x＝2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为x∈，所以2x－∈，‎ 由y＝sin x的图象可知，‎ 当2x－∈，‎ 即x∈时，f(x)单调递减；‎ 当2x－∈，‎ 即x∈时，f(x)单调递增．‎ 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ ‎1．若sin＝，则cos ＝________.‎ 答案　－ 解析　cos＝cos ‎＝－cos＝－ ‎＝－＝－.‎ ‎2．4cos 50°－tan 40°＝________.‎ 答案　 解析　原式＝4sin 40°－ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎3．已知sin 2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)＝________.‎ 答案　－2‎ 解析　由题意，可得cos 2α＝－，则tan 2α＝－，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝－2.‎ ‎4．(2017·江苏)若tan＝，则tan α＝________.‎ 答案　 解析　方法一　∵tan＝ ‎＝＝，‎ ‎∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，‎ ‎∴tan α＝.‎ 方法二　tan α＝tan ‎＝＝＝.‎ ‎5．若cos＝，则sin 2α＝________.‎ 答案　－ 解析　由cos＝，可得cos α＋sin α＝，‎ 两边平方得(1＋2sin αcos α)＝，‎ ‎∴sin 2α＝－.‎ ‎6．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.‎ 答案　 解析　∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)‎ ‎＝cos 2α＝，又α∈，∴2α∈(0，π)，‎ ‎∴sin 2α＝＝，‎ ‎∴cos＝cos 2α－sin 2α ‎＝×－×＝.‎ ‎7．函数f(x)＝3sin cos ＋4cos2(x∈R)的最大值等于________．‎ 答案　 解析　由题意知f(x)＝sin x＋4× ‎＝sin x＋2cos x＋2＝sin(x＋φ)＋2，‎ 其中cos φ＝，sin φ＝，‎ ‎∵x∈R，∴f(x)max＝＋2＝.‎ ‎8．在斜三角形ABC中，sin A＝－cos Bcos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为________．‎ 答案　 解析　由题意知，sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝－cos Bcos C，‎ 在等式－cos Bcos C＝sin Bcos C＋cos Bsin C两边同除以cos Bcos C，‎ 得tan B＋tan C＝－，‎ 又tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A，‎ 即tan A＝1，‎ 因为00，‎ ‎∴cos α＝，又α∈(0，π)，‎ ‎∴α＝.‎ 将α＝代入①得cos β＝－，‎ 又β∈(0，π)，∴β＝.‎ ‎16．已知函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1(x∈R)．‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；‎ ‎(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．‎ 解　(1)由f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1，‎ 得f(x)＝(2sin xcos x)－(2cos2x－1)‎ ‎＝sin 2x－cos 2x＝2sin，‎ 所以函数f(x)的最小正周期为π.‎ 易知f(x)＝2sin在区间上为增函数，‎ 在区间上为减函数，‎ 又f(0)＝－1，f＝2，f＝－1，‎ 所以函数f(x)在上的最大值为2，‎ 最小值为－1.‎ ‎(2)∵2sin＝，‎ ‎∴sin＝.‎ 又x0∈，‎ ‎∴2x0－∈，‎ ‎∴cos＝.‎ ‎∴cos 2x0＝cos ‎＝coscos －sinsin ‎＝×－×＝.‎