2021版高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11-4古典概型练习新人教B版

2021版高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11-4古典概型练习新人教B版

‎11.4 古典概型 核心考点·精准研析 考点一　古典概型 ‎ ‎1.在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数,则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎2.(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.‎ ‎(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?‎ ‎(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.‎ ‎①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;‎ ‎②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.‎ ‎ ‎ ‎【解析】1.选A.在1,2,3,6中随机取出3个数,所有的结果为123,126,136,236,共4种,其中数字2是这3个数的平均数的结果只有123,所以由古典概型的概率公式得所求概率为.‎ ‎2.(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.‎ ‎(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},‎ ‎{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.‎ ‎②由①,不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.‎ 8‎ 所以,事件M发生的概率为P(M)=.‎ ‎1.求古典概型概率的步骤 ‎(1)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件A;‎ ‎(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m;‎ ‎(3)利用公式P(A)=,求出事件A的概率.‎ ‎2.求基本事件个数的三种方法 ‎(1)列举法:把所有的基本事件一一列举出来,此方法适用于情况相对简单的问题.‎ ‎(2)列表法:将基本事件用表格的方式表示出来,通过表格可以弄清基本事件的总数,以及要求的事件所包含的基本事件数.‎ ‎(3)树状图法:树状图法是使用树的图形把基本事件列举出来的一种方法,树状图法便于分析基本事件间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要手段.‎ ‎ 考点二　古典概型与统计的交汇问题 ‎ ‎【典例】A市某校学生社团针对“A市的发展环境”对男、女各10名学生进行问卷调查评分，得到如图所示茎叶图：‎ ‎(1)计算女生打分的平均分，并用茎叶图(1)的数字特征评价男生、女生打分谁更分散(通过观察茎叶图，不必说明理由).‎ ‎(2)如图(2)是按该20名学生评分绘制的频率分布直方图(每个分组包含左端点，不包含右端点)，求最高矩形的高a.‎ ‎(3)从打分在70分以下(不含70分)的同学中抽取2人，求有女生被抽中的概率.‎ ‎【解析】(1)由茎叶图知：女生打分平均数 ‎(68+69+75+76+70+79+78+82+87+96)=78，‎ 8‎ 由茎叶图得：男生打分数据比较分散. ‎ ‎(2)由茎叶图知20名学生中分数在[70，80)内的学生人数最多，共有9人，‎ 所以最高矩形的高a=÷10=0.045. 统计分析 ‎(3)设“有女生被抽中”为事件A，打分在70分以下(不含70分)的同学中，‎ 女生有2人，设为a，b，男生有4人，设为c，d，e，f.基本事件有：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种， 求基本事件总数 其中有女生的有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，共9种， 求事件A包含的基本事件总数 所以有女生被抽中的概率P(A)=. 求P(A)‎ ‎　求解古典概型与统计交汇问题的思路 ‎(1)依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出的信息，提炼出需要的信息.‎ ‎(2)判断概率的类型并求解.‎ ‎　某质检机构检测某产品的质量是否合格，在甲、乙两厂匀速运行的自动包装传送带上每隔10分钟抽一包产品，称其质量(单位：克)，分别记录抽查数据，获得质量数据茎叶图(如图).‎ ‎(1)根据样本数据，求甲、乙两厂产品质量的平均数和中位数.‎ ‎(2)若从甲厂6件样品中随机抽取两件，‎ ‎①列举出所有可能的抽取结果；‎ ‎②记它们的质量分别是a克，b克，求|a-b|≤3的概率.‎ ‎【解析】(1)甲厂产品质量的平均数 8‎ ‎=(108+111+112+114+116+123)=114，‎ 甲的中位数是113，‎ 乙厂产品质量的平均数是 ‎=(108+109+112+114+115+126)=114，‎ 乙的中位数是113.‎ ‎(2)①从甲厂6件样品中随机抽两件，结果共有15个，分别为：{108，111}，{108，112}，{108，114}，{108，116}，‎ ‎{108，123}，{111，112}，{111，114}，{111，116}，‎ ‎{111，123}，{112，114}，{112，116}，{112，123}，{114，116}，{114，123}，{116，123}.‎ ‎②设“|a-b|≤3”为事件A，则事件A共有5个结果：‎ ‎{108，111}，{111，112}，{111，114}，{112，114}，{114，116}，‎ 所以|a-b|≤3的概率P(A)=.‎ 考点三　古典概型的综合问题 ‎ 命 题 精 解 读 考什么：(1)考查数学文化背景下的古典概型问题 ‎(2)考查与实际生活有关的概率问题 怎么考：以数学文化或实际生活为载体考查概率问题 新趋势：考查实际问题的概率问题 学 霸 好 方 法 ‎1.解决数学文化背景下或实际生活中的概率问题的方法 充分读取题目信息，恰当转化为古典概型，代入概率公式求解.‎ ‎2.考查与向量、函数等知识交汇的概率问题 ‎ 脱去向量、函数的“外衣”，构造概率模型求解.‎ 与数学文化有关的古典概型问题 ‎【典例】为了大力弘扬中华优秀传统文化，‎ 8‎ 某校购进了《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一(1)班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选D.记《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》为a 、b、c、d，则该校高一(1)班本学期领到两套书的所有情况有ab、ac、ad、bc、bd、 cd，共6种，符合条件的情况为ab共1种，故概率为.‎ 如何解决与数学文化有关的古典概型问题？‎ 提示：读取数学文化背景下的题目信息，构建出古典概型的数学模型，然后利用概率公式求解.‎ 与向量知识交汇的古典概型问题 ‎【典例】小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0就去下棋. ‎ ‎(1)写出数量积X的所有可能取值 ‎(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.‎ ‎【解析】(1)X的所有可能取值为-2 ，-1，0， 1. ‎ ‎(2)数量积为-2的只有·一种；‎ 数量积为-1的有·，·，·，·，·，·六种；数量积为0的有·，·，·，‎ ‎·四种；‎ 数量积为1的有·，·，·，‎ 8‎ ‎·四种，‎ 所以所有可能的情况共有15种.‎ 所以小波去下棋的概率为p1=.‎ 因为去唱歌的概率为p2=，所以小波不去唱歌的概率p=1-p2=1-=.‎ 古典概型与几何知识的交汇问题 ‎【典例】1.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎2.曲线C的方程为+=1，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，记事件A为“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P(A)=_________. ‎ ‎【解析】1.选C.如图，从A，B，C，D，O这5个点中任取2个，共有(A，B)，(A，C)，……，(D，O)10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种，因此所求概率P==.‎ ‎2.试验中所含基本事件个数为36；若想表示焦点在x轴上的椭圆，则m>n，有(2，1)，(3，1)，…，(6，5)，共1+2+3+4+5=15种情况，因此P(A)==.‎ 答案：‎ 8‎ ‎1.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为 (　　)‎ A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1‎ ‎【解题指南】先对产品标号，然后列举出可能出现的结果，根据古典概型概率公式求出所求的概率.‎ ‎【解析】选B.5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一件次品，有6种，分别是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，设事件A为“恰有一件次品”，则P(A)==0.6.‎ ‎2.现在某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_________. ‎ ‎【解析】因为正整数m的选取有1，2，3，4，5，6，7，共7种情况，而对于m的每一种取法，n可以取1，2，3，4，5，6，7，8，9，共9种方法，所以基本事件空间中有7×9=63个元素，其中事件“m，n都取到奇数”包含的基本事件数为4×5=20，所以所求的概率为.‎ 答案：‎ ‎1.若a，b∈{-1，0，1，2}，则使关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的概率为_________. ‎ ‎【解析】要使方程有实数解，则a=0或 所有可能的结果为(-1，-1)，(-1，0)，(-1，1)，(-1，2)，(0，-1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，-1)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，-1)，(2，0)，‎ ‎(2，1)，(2，2)，共16个，其中符合要求的有13个，故所求概率P=.‎ 8‎ 答案：‎ ‎2.甲、乙两人玩一种游戏，在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5，6六个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.‎ ‎(1)求甲赢且编号和为8的事件发生的概率.‎ ‎(2)这种游戏规则公平吗？试说明理由.‎ ‎【解析】(1)设“两个编号和为8”为事件A，则事件A包括的基本事件有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5个.又甲、乙两人取出的数字共有6×6=36种等可能的结果，故P(A)=.‎ ‎(2)这种游戏规则是公平的.‎ 设甲赢为事件B，乙赢为事件C，由题可知甲赢即两编号和为偶数所包含的基本事件数有(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(2，6)，(3，1)，‎ ‎(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，‎ ‎(6，2)，(6，4)，(6，6)，共18个.所以甲赢的概率P(B)==，故乙赢的概率P(C)=1-==P(B)，所以这种游戏规则是公平的.‎ 8‎