【数学】2020届一轮复习人教B版 计数原理 课时作业

【数学】2020届一轮复习人教B版 计数原理 课时作业

‎2020届一轮复习人教B版 计数原理 课时作业 ‎1、现有5项工程由甲、乙、丙3个工程队承包，每队至少一项，但甲承包的项目不超过2个，不同的承包方案有（ ）种 A． 130 B． 150 C． 220 D． 240‎ ‎2、某地区高考改革，实行“”模式，即“”指语文、数学、外语三门必考科目“”指在物理、历史两门科目中必选一门，“”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有 （ ）‎ A．8种 B．12种 C．16种 D．20种 ‎3、设多项式除以的商式为，余式，其中为实数，则的值为（ ）.‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎4、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）‎ A．36种 B．18种 C．24种 D．12种 ‎5、的展开式中的第三项的系数为____________.‎ ‎6、某学校要从A，B，C，D这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教，则A，B两名老师都被选中的概率是___________．‎ ‎7、将圆的一组等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录个点的颜色，称为该圆的一个“阶色序”，当且仅当两个阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的阶色序．若某圆的任意两个“3阶色序”均不相同，则该圆中等分点的个数最多可有______个．‎ ‎8、的展开式中的常数项为______________．‎ ‎9、要将甲、乙、丙、丁四位老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，则共有分配方案的种数为______．‎ ‎10、的展开式中的系数为__________．‎ ‎11、的展开式中的常数项等于的展开式中的二项式系数和.‎ ‎（Ⅰ）求的展开式的各项系数和；‎ ‎（Ⅱ）求除以的余数.‎ ‎12、数列满足，，…，‎ ‎（1）求，，，的值；‎ ‎（2）求与之间的关系式；‎ ‎（3）求证：‎ ‎13、以下问题最终结果用数字表示 ‎(1)由0、1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的五位偶数？‎ ‎(2)由1、2、3、4、5组成多少个无重复数字且2、3不相邻的五位数？‎ ‎(3)由1、2、3、4、5组成多少个无重复数字且数字1,2,3必须按由大到小顺序排列的五位数？‎ ‎14、如图所示的三角形表，最早出现在我国南宋数学家杨辉在年所著的《详解九章算术》一书中，我们称之为“杨辉三角”．若等比数列的首项是1，公比是，将杨辉三角的第行的第1个数乘以，第2个数乘以，…，第个数乘以后，这一行的所有数字之和记作．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当时，求展开式中含x项的系数．‎ 参考答案 ‎1、答案：A 第一步要将五项工程分为三组，第二步再计算承包的方法，由于五项工程分为三组的分法可能是3，1，1或2，2，1故要分为两类计数．‎ ‎【详解】‎ 若五项工程分为三组，每组的工程数分别为3，1，1，则不同的承包方案有种；‎ 若五项工程分为三组，每组的工程数分别为2，2，1，则不同的承包方案种．‎ 故总的不同承包方案为40+90=130种．‎ 本题考查排列组合及简单计数问题，解题的关键是将问题分为两类计数，在第二类2，2，1分组中由于计数重复了一倍，故应除以2，此是本题中的易错点，疑点，解题时要注意避免重复，这是计数问题中常犯的错误．‎ ‎2、答案：C 分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 若一名学生只选物理和历史中的一门，则有种组合；‎ 若一名学生物理和历史都选，则有种组合；‎ 因此共有种组合.‎ 故选C 本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.‎ ‎3、答案：D 注意到，令，得，‎ 即，因此 故答案为：D ‎4、答案：A 根据题意，分2步进行：先将4项工作分成3组，再将分好的三组全排列，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，先将4项工作分成3组，有C42=6种分组方法，‎ 将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A33=6种情况，‎ 则有6×6=36种不同的安排方式；‎ 故选：A．‎ 本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法和排列方法的区别，属于基础题．‎ ‎5、答案：60‎ 由二项式性质直接得出第三项，计算出该项的系数，得出正确选项．‎ ‎【详解】‎ 的展开式中第三项是,‎ 故第三项的系数.‎ 本题考查二项式定理，求解本题的关键是熟练掌握理解二项式的通项的公式，利用此公式写出第三项，即可得到该项的系数 ‎6、答案：‎ 基本事件总数n==6，A，B两名老师都被选中包含的基本事件个数m=，由此能求出A，B两名老师都被选中的概率．‎ ‎【详解】‎ 某学校要从A，B，C，D这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教，‎ 基本事件总数n==6，‎ A，B两名老师都被选中包含的基本事件个数m=，‎ ‎∴A，B两名老师都被选中的概率是p=．‎ 故答案为：．‎ 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎7、答案：8 ‎ ‎【详解】‎ ‎“3阶包序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶色序”共有种．‎ 一方面，个点可以构成个“3阶色序”，故该圆中等分点的个数不多于8个．‎ 另一方面，若，则必须包含全部8个“3阶色序”，如按逆时针方向确定8个的颜色为“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件．‎ 故该圆中等分点的个数最多可有8个．‎ ‎8、答案：‎ 由题意首先写出展开式的通项公式，然后结合所给的式子求解其常数项即可.‎ ‎【详解】‎ 三项式展开式的通项公式为，‎ 所以的展开式中的常数项为：‎ ‎ ．‎ ‎(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．‎ ‎(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．‎ ‎9、答案：18‎ 根据题意，分2步进行：①，先安排甲，甲可以分到B、C、D班，易得甲的分配方法数目，②，将乙、丙、丁全排列，分配到剩下的三个班级，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，分2步进行：‎ ‎①，先安排甲，由于甲不能分配到A班，则甲可以分到B、C、D班，有3种情况，‎ ‎②，将乙、丙、丁全排列，分配到剩下的三个班级，有种情况，‎ 则一共有种分配方案；‎ 故答案为：18.‎ 本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意优先分析受到限制的元素，属于基础题.‎ ‎10、答案：40‎ 根据（2x﹣y）5展开式的通项公式求出x2y3和x3y2项，再求（x+y）（2x﹣y）5的展开式中x3y3系数．‎ ‎【详解】‎ ‎（2x﹣y）5展开式的通项公式为：Tr+1＝？（2x）5﹣r（﹣y）r＝25﹣r（﹣1）rx5﹣ryr．‎ 令5﹣r＝2，得r＝3；‎ 令5﹣r＝3，得r＝2；‎ ‎∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中x3y3系数为：22×（﹣1）3×+23×（﹣1）2×＝40.‎ 故答案为：40.‎ 本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，也考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎11、答案：（1）；（2）7.‎ 试题分析：(1)先研究的展开式的通项为，(r＝0，1，2，3，4，5)．求出的展开式中的常数项，由条件列方程可求出n，再令a=1,可得的展开式的各项系数和；‎ ‎(2)根据幂的运算性质，结合二项式定理写出其展开式.除最后一项之外，都可以被8整除，计算最后一项的值，由余数的性质分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 的展开式中的通项公式为 ‎,‎ 所以当时取得常数项,常数项，‎ 的展开式中的二项式系数和为 即.‎ ‎（Ⅰ）令可得展开式的各项系数和为.‎ ‎（Ⅱ）.‎ 所以其除以8的余数为7.‎ 本题考查二项式系数，系数的性质，二项式展开式中特定项的求解，解题的关键是熟练掌握二项式的性质，及二项式的通项；求除以的余数的关键在于将转化为，再利用二项式定理分析解题.‎ ‎12、答案：（1），，，；（2）；（3）详见解析.‎ 试题分析：（1）运用排列数公式，计算即可得到，，，的值；（2‎ ‎）由排列数公式，提取，即可得到与之间的关系式；（3）运用（2）的结论和阶乘的定义，结合不等式的性质，即可得证.‎ 试题（1），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）！；‎ ‎（3）证明：由（2）可知，‎ 所以.‎ 所以时不等式成立，而时不等式显然成立，所以原命题成立.‎ ‎13、答案：（1）60（2）72（3）20‎ 试题分析：（1）五位偶数，要求末位必须是0，2，4，分类求出满足条件的结果。‎ ‎(2)可以求出一共能组成多少个五位数，然后再求出2、3相邻的五位数的个数，两数相减。‎ ‎（3）确定数字4，5的排法，然后数字1，2，3按照3，2，1的顺序插入。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）偶数末位必须为0，2，4对此进行以下分类：‎ 当末位是0时，剩下1，2，3，4进行全排列，=24‎ 当末位是2时，注意0不能排在首位，首位从1，3，4选出有种方法排在首位，剩下的三个数可以进行全排列有种排法，所以当末位数字是2时有=18个数。‎ 同理当末位数字是4时也有18个数，‎ 所以由0、1、2、3、4可以组成无重复数字的五位偶数有24+18+18=60个.‎ ‎（2）由1、2、3、4、5组成五位数一共有个。‎ 第一步，把2.3捆定，有种排法；‎ 第二步，捆定的2，3与1，4，5一起全排列，共有个数，‎ 根据分步计数原理，2，3相邻的五位数共有=48个数，‎ 因此由1、2、3、4、5组成无重复数字且2、3不相邻的五位数共有 个数。‎ ‎（3）把五位数每个数位看成五个空，数字4，5共有个，‎ 然后把数字1，2，3按照3，2，1的顺序插入，只有一种方式，‎ 根据分步计数原理，可知 由1、2、3、4、5组成无重复数字且数字1,2,3必须按由大到小顺序排列的五位数 为个。‎ 解决此类问题首先要考虑的是分步还是分类问题，是排列还是组合问题。‎ 一般的策是先考虑没有要求的元素的排法，再考虑特殊元素的要求。‎ ‎14、答案：（1）266；（2）-768.‎ 试题分析：（1）由题意写出）计算公式，求出即可；‎ ‎（2）把代入的计算公式，利用二项式展开式的定义求展开式中含的系数．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意知，；‎ ‎（2）当时，，‎ 展开式中含x项的系数为．‎ 本题考查了二项式展开式定理的应用问题，也考查了等比数列的应用问题，是中档题．‎