2019高中数学 第一章 计数原理 1

2019高中数学 第一章 计数原理 1

习题课：§1.1 计数原理(二)‎ 一、选择题 ‎1．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有(　　)‎ A．512个 B．192个 C．240个 D．108个 ‎2．某城市的电话号码由六位升为七位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是(　　)‎ A．9×8×7×6×5×4×3×2‎ B．8×96‎ C．9×106‎ D．8.1×106‎ ‎3．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)‎ A．24 B．‎18 C．12 D．9‎ ‎4．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)‎ A．243 B．‎252 C．261 D．279‎ ‎5．若三角形三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有(　　)‎ A．10个 B．14个 C．15个 D．21个 ‎6．从颜色分别为黄、白、红、橙的4盆菊花和颜色分别为紫、粉红、白的3盆山茶花中任取3盆，其中至少有菊花、山茶花各1盆，则不同的选法种数为(　　)‎ A．12 B．‎18 C．24 D．30‎ ‎7.如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂法种数为(　　)‎ A．280 B．180‎ C．96 D．60‎ 二、填空题 3‎ ‎8．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数，共有________个．‎ ‎9．某班将元旦联欢会原定的9个歌唱节目已排成节目单，但在开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为________．‎ ‎10．已知A＝{a1，a2，a3}，B＝{b1，b2，b3，b4，b5}，a1必须与b1对应，则A到B可建立________个不同的映射．‎ ‎11．从0, 2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为________．‎ 三、解答题 ‎12．用0,1,2,3，…，9，这十个数字可能组成多少个不同的(1)三位数；(2)无重复数字的三位数？‎ ‎13．用n种不同的颜色为两块广告牌着色，如图，要求在①，②，③，④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色．‎ ‎(1)若n＝6，为甲着色时共有多少种不同的方法？‎ ‎(2)若为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值．‎ 四、探究与拓展 ‎14．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有________个．‎ ‎15．有一项活动，需在3名教师，8名男同学和5名女同学中选人参加．‎ ‎(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？‎ ‎(2)若需教师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？‎ ‎(3)若需一名教师，一名学生参加，有多少种不同选法？‎ 3‎ 答案精析 ‎1．D　2.D　3.B　4.B　5.A　6.D　7.B ‎8．36　9.110　10.25　11.18‎ ‎12．解　(1)由于0不能在首位，所以首位数字有9种不同的选法；十位与个位上数字都有10种不同的选法．‎ 所以不同的三位数共有9×10×10＝900(个)．‎ ‎(2)首位上数字有9种选法；十位上数字除百位上数字外有9种选法；个位上数字有8种选法．所以，组成无重复数字的三位数共9×9×8＝648(个)．‎ ‎13．解　完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考虑为①，②，③，④这四个区域着色时各自的方法数，再利用分步乘法计数原理确定出总的方法数．‎ ‎(1)为①区域着色时有6种方法，为②区域着色时有5种方法，为③区域着色时有4种方法，为④区域着色时有4种方法，依据分步乘法计数原理，不同的着色方法有6×5×4×4＝480(种)．‎ ‎(2)由题意知，为①区域着色时有n种方法，为②区域着色时有(n－1)种方法，为③区域着色时有(n－2)种方法，为④区域着色时有(n－3)种方法，由分步乘法计数原理可得不同的着色方法数为n(n－1)(n－2)(n－3)．‎ ‎∴n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，‎ ‎∴(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0，‎ 即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－120＝0.‎ ‎∴n2－3n－10＝0或n2－3n＋12＝0(舍去)．‎ ‎∴n＝5.‎ ‎14．9‎ ‎15．解　(1)有三类选人的方法：3名教师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．由分类加法计数原理知，共有3＋8＋5＝16(种)选法．‎ ‎(2)分三步选人：第一步选教师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×8×5＝120(种)选法．‎ ‎(3)可分两类，每一类又分两步．第一类：选一名教师再选一名男同学，有3×8＝24(种)选法；第二类：选一名教师再选一名女同学，共有3×5＝15(种)选法．由分类加法计数原理可知，共有24＋15＝39(种)选法．‎ 3‎