2018中考数学解直角三角形在实际问题中的运用含答案

2018中考数学解直角三角形在实际问题中的运用含答案

解直角三角形在实际问题中的运用 要点一：锐角三角函数的基本概念 ‎1.(·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE = ．‎ ‎（1）求半径OD；‎ ‎（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，‎ 则经过多长时间才能将水排干？ ‎ A O B E C D ‎2.（綦江中考）如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接．‎ ‎（1）求证：；‎D A B C E F ‎（2）如果，求的值．‎ ‎3、（宁夏中考）如图，在△中，∠=90°，sin=，=15，求△的周长和tan的值．‎ ‎4、（肇庆中考）在Rt△ABC中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sinA和tanA的值.‎ ‎5、（·芜湖中考）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，，‎ ‎(1) 求证：AC=BD；‎ ‎(2)若，BC=12，求AD的长．‎ 要点二、特殊角的三角函数值　　‎ 一、选择题 ‎1.（·钦州中考）sin30°的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.（长春中考）．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.(定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（　　）‎ A．8米 B．米 C．米 D．米 ‎4.宿迁中考）已知为锐角，且，则等于（ ）‎ Ａ．　　 Ｂ．　 　Ｃ．　 　Ｄ．‎ ‎5.（毕节中考） A（cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A1的坐标是（ ）‎ A． B． C． 　D． ‎ ‎6.（襄樊中考）计算：等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 三、解答题 ‎11.（·黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°‎ 12. ‎（崇左中考）计算：．‎ 13. ‎（义乌中考）计算：‎ 要点三、解直角三角形在实际问题中的运用 ‎1.（庆阳中考）如图（1），一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定．如图（2）是如图（1）中窗子开到一定位置时的平面图，若∠AOB=45°， ∠OAB=30°，OA=60cm，求点B到OA边的距离．（，结果精确到整数）‎ ‎2.（郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为1.5‎ 米，测得仰角为，点B到电灯杆底端N的距离BN为10米，求路灯的高度MN是多少米？（取=1.414，=1.732，结果保留两位小数）‎ ‎3、（眉山中考）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离。‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎4、（常德中考）如图，某人在D处测得山顶C的仰角为30o，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，，结果保留整数）．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎5、（广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一水平地面上．‎ ‎（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）‎ ‎（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。 (参考数据： )‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎6.（广东中考）17．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路. 现新修一条路AC到公路l. 小明测量出∠ACD=30º，∠ABD=45º，BC=50m. 请你帮小明计算他家到公路l的距离AD 的长度（精确到0.1m；参考数据：，）.‎ 第6题图 B C l D A ‎7.（安徽中考）19.如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500m，高度C处的飞机，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长.‎ ‎8.（连云港市中考）24．（本题满分10分）如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一知输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏东49°方向，B位于南偏西41°方向．‎ ‎24.5°‎ ‎49°‎ ‎41°‎ 北 东 南 西 ‎（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；‎ ‎（2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°＝0.75）‎ ‎9.（苏州市中考）25．（本题满分5分）如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．‎ ‎ (1)山坡坡角（即∠ABC）的度数等于 ▲ 度；‎ ‎ (2)求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．‎ ‎（第23题）‎ ‎10.（宿迁市中考）23．（本题满分10分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取＝1.732，结果精确到1m）‎ ‎11.（成都市中考）16．（本小题满分6分）‎ ‎ 如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶至达C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向。求该军舰行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值)‎ ‎12.（金华市中考）19.(本题6分)‎ 生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°时（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬. 现在有一长为6米的梯子AB, 试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC.‎ 第19题图 A B α 梯子 C C ‎（结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，‎ cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）‎ ‎13、（盐城市中考）24．（本题满分10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？‎ ‎（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）‎ 参考答案 ‎1、【解析】（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24（m），‎ ‎∴ED ==12（m）．‎ ‎ 在Rt△DOE中，∵sin∠DOE = =，‎ ‎∴OD =13（m）． ‎ ‎ （2）OE== （m）‎ ‎ ∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）． ‎ ‎2、【解析】（1）在矩形中，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎． ‎ ‎（2）由（1）知 在直角中，‎ 在直角中，‎ ‎3、【解析】在中, ∠=90°, =15‎ ‎==, ∴ ‎ ‎∴周长为36,‎ ‎4、【解析】在Rt △ABC中，c=5，a=3．‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎ ． ‎ ‎5、【解析】(1)∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC．‎ ‎∴∠ADB=90°，∠ADC=90°． ‎ 在Rt△ABD和Rt△ADC中，‎ ‎∵=，=‎ 又已知 ‎ ∴=．∴AC=BD． ‎ ‎(2)在Rt△ADC中， ，故可设AD=12k，AC=13k．‎ 要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题 ‎1、答案：C　　　2、答案：C　　3、答案：C　　4、答案：Ｃ　　5、答案：A　　　‎ ‎6、答案：C 三、解答题 ‎11、【解析】3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°‎ ‎12、【解析】原式==0．‎ ‎13、【解析】 =2.5 ‎ 要点三、解直角三角形在实际问题中的运用 ‎1、【解析】如图，过点B作BC⊥OA于点C ‎∵ ∠AOB=45°，∴∠CBO=45°，BC=OC． ‎ 设BC=OC=x，∵∠OAB=30°，‎ ‎∴ AC=BC×tan60°=x．‎ ‎∵ OC+CA=OA，∴x+x=60， ‎ ‎ ∴ x=≈22（cm）． ‎ 即点B到OA 边的距离是22 cm．‎ ‎2、【解析】在直角三角形中，，米 MP=10·tan300 =10×≈5.773米 因为米 所以MN=1.5+5.77=7.27米 ‎ 答：路灯的高度为7.27米 ‎3、【解析】如图，过B点作BD⊥AC于D ‎∴∠DAB＝90°－60°＝30°，∠DCB＝90°－45°＝45°‎ 设BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝tan30°＝‎ 在Rt△BDC中，BD＝DC＝x BC＝‎ 又AC＝5×2＝10 ∴， 得， ‎ ‎ ∴（海里）‎ 答：灯塔B距C处海里 ‎4、【解析】设山高BC =，则AB=， ‎ ‎，得 ‎， ‎ 解得米 ‎5、【解析】（1）在中，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 中 ‎ ‎ 改善后的滑滑板会加长2.07m．‎ ‎（2）这样改造能行．‎ 因为，而 ‎6、 略解：AD=25(+1)≈68.3m ‎ ‎7. 简答：∵OA， OB=OC=1500，‎ ‎ ∴AB=(m).‎ ‎ 答：隧道AB的长约为635m.‎ ‎8、解：（1）相等 ‎ 由图易知，∠QPB＝65.5°，∠PQB＝49°，∠AQP＝41°，‎ ‎∴∠PBQ＝180°－65.5°－49°＝65.5°．∴∠PBQ＝∠BPQ．‎ ‎∴BQ＝PQ ‎（2）由（1）得，BQ＝PQ＝1200 m．‎ 在Rt△APQ中，AQ＝＝＝1600（m）．‎ 又∵∠AQB＝∠AQP＋∠PQB＝90°，‎ ‎∴Rt△AQB中，AB＝＝＝2000（m）．‎ 答：A，B间的距离是2000 m．‎ ‎9、‎ ‎10. 解：设CE＝xm，则由题意可知BE＝xm，AE＝(x＋100)m．‎ ‎（第10题）‎ ‎ 在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝‎ ‎∴，3x＝(x＋100)‎ 解得x＝50＋50＝136.6‎ ‎∴CD＝CE＋ED＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m)‎ 答：该建筑物的高度约为138m．‎ ‎11. 由题意得∠A=60°， ∴BC=AB×tan60°=500× =500 m． 答：该军舰行驶的路程为500 m．‎ ‎12、 当α=70°时，梯子顶端达到最大高度, ……1分 ‎∵sinα=, ……2分 ‎∴ AC= sin70°×6=0.94×6=5.64 ……2分 ‎≈5.6(米) ‎ 答：人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约5.6米．……1分 ‎13、.解：过点B作BF⊥CD于F，作BG⊥AD于G. ‎ 在Rt△BCF中，∠CBF=30°，∴CF=BC·sin30°= 30× =15. ‎ 在Rt△ABG中，∠BAG=60°，∴BG=AB·sin60°= 40× = 20. ‎ ‎∴CE=CF+FD+DE=15+20+2=17+20≈51.64≈51.6（cm）cm. ‎ 答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是51.6cm. ‎