2018中考数学解直角三角形在实际问题中的运用含答案

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2018中考数学解直角三角形在实际问题中的运用含答案

解直角三角形在实际问题中的运用 要点一:锐角三角函数的基本概念 ‎1.(·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且CD = 24 m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE = .‎ ‎(1)求半径OD;‎ ‎(2)根据需要,水面要以每小时0.5 m的速度下降,‎ 则经过多长时间才能将水排干? ‎ A O B E C D ‎2.(綦江中考)如图,在矩形中,是边上的点,,,垂足为,连接.‎ ‎(1)求证:;‎D A B C E F ‎(2)如果,求的值.‎ ‎3、(宁夏中考)如图,在△中,∠=90°,sin=,=15,求△的周长和tan的值.‎ ‎4、(肇庆中考)在Rt△ABC中,∠C = 90°,a =3 ,c =5,求sinA和tanA的值.‎ ‎5、(·芜湖中考)如图,在△ABC中,AD是BC上的高,,‎ ‎(1) 求证:AC=BD;‎ ‎(2)若,BC=12,求AD的长.‎ 要点二、特殊角的三角函数值  ‎ 一、选择题 ‎1.(·钦州中考)sin30°的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.(长春中考).菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示,,则点的坐标为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.(定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶,梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60°,否则就有危险,那么梯子的长至少为(  )‎ A.8米 B.米 C.米 D.米 ‎4.宿迁中考)已知为锐角,且,则等于( )‎ A.   B.   C.   D.‎ ‎5.(毕节中考) A(cos60°,-tan30°)关于原点对称的点A1的坐标是( )‎ A. B. C.  D. ‎ ‎6.(襄樊中考)计算:等于( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 三、解答题 ‎11.(·黄石中考)计算:3-1+(2π-1)0-tan30°-tan45°‎ 12. ‎(崇左中考)计算:.‎ 13. ‎(义乌中考)计算:‎ 要点三、解直角三角形在实际问题中的运用 ‎1.(庆阳中考)如图(1),一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定.如图(2)是如图(1)中窗子开到一定位置时的平面图,若∠AOB=45°, ∠OAB=30°,OA=60cm,求点B到OA边的距离.(,结果精确到整数)‎ ‎2.(郴州中考)如图,数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度,测角仪AB的高度为1.5‎ 米,测得仰角为,点B到电灯杆底端N的距离BN为10米,求路灯的高度MN是多少米?(取=1.414,=1.732,结果保留两位小数)‎ ‎3、(眉山中考)海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶,在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向,2小时后船行驶到C处,发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向,求此时灯塔B到C处的距离。‎ ‎                           ‎ ‎4、(常德中考)如图,某人在D处测得山顶C的仰角为30o,向前走200米来到山脚A处,测得山坡AC的坡度为i=1∶0.5,求山的高度(不计测角仪的高度,,结果保留整数).‎ ‎                                ‎ ‎5、(广安中考)如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º,已知原滑滑板AB的长为5米,点D、B、C 在同一水平地面上.‎ ‎(1)改善后滑滑板会加长多少?(精确到0.01)‎ ‎(2)若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全,原滑滑板的前方有6米长的空地,像这样改造是否可行?说明理由。 (参考数据: )‎ ‎                           ‎ ‎6.(广东中考)17.如图,小明家在A处,门前有一口池塘,隔着池塘有一条公路l,AB是A到l的小路. 现新修一条路AC到公路l. 小明测量出∠ACD=30º,∠ABD=45º,BC=50m. 请你帮小明计算他家到公路l的距离AD 的长度(精确到0.1m;参考数据:,).‎ 第6题图 B C l D A ‎7.(安徽中考)19.如图,某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500m,高度C处的飞机,测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°,求隧道AB的长.‎ ‎8.(连云港市中考)24.(本题满分10分)如图,自来水厂A和村庄B在小河l的两侧,现要在A,B间铺设一知输水管道.为了搞好工程预算,需测算出A,B间的距离.一小船在点P处测得A在正北方向,B位于南偏东24.5°方向,前行1200m,到达点Q处,测得A位于北偏东49°方向,B位于南偏西41°方向.‎ ‎24.5°‎ ‎49°‎ ‎41°‎ 北 东 南 西 ‎(1)线段BQ与PQ是否相等?请说明理由;‎ ‎(2)求A,B间的距离.(参考数据cos41°=0.75)‎ ‎9.(苏州市中考)25.(本题满分5分)如图,小明在大楼30米高(即PH=30米)的窗口P处进行观测,测得山坡上A处的俯角为15°,山脚B处的俯角为60°,已知该山坡的坡度i(即tan∠ABC)为1:,点P、H、B、C、A在同一个平面上.点H、B、C在同一条直线上,且PH⊥HC.‎ ‎ (1)山坡坡角(即∠ABC)的度数等于 ▲ 度;‎ ‎ (2)求A、B两点间的距离(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.732).‎ ‎(第23题)‎ ‎10.(宿迁市中考)23.(本题满分10分)如图,为了测量某建筑物CD的高度,先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物顶部的仰角是30°,然后在水平地面上向建筑物前进了100m,此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5m,请你计算出该建筑物的高度.(取=1.732,结果精确到1m)‎ ‎11.(成都市中考)16.(本小题满分6分)‎ ‎ 如图,在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶.在航行到B处时,发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处;当该军舰从B处向正西方向行驶至达C处时,发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向。求该军舰行驶的路程.(计算过程和结果均不取近似值)‎ ‎12.(金华市中考)19.(本题6分)‎ 生活经验表明,靠墙摆放的梯子,当50°≤α≤70°时(α为梯子与地面所成的角),能够使人安全攀爬. 现在有一长为6米的梯子AB, 试求能够使人安全攀爬时,梯子的顶端能达到的最大高度AC.‎ 第19题图 A B α 梯子 C C ‎(结果保留两个有效数字,sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,‎ cos70°≈0.34,cos50°≈0.64)‎ ‎13、(盐城市中考)24.(本题满分10分)如图,放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm,灯罩BC长为30cm,底座厚度为2cm,灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现,光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°,此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm?‎ ‎(结果精确到0.1cm,参考数据:≈1.732)‎ 参考答案 ‎1、【解析】(1)∵OE⊥CD于点E,CD=24(m),‎ ‎∴ED ==12(m).‎ ‎ 在Rt△DOE中,∵sin∠DOE = =,‎ ‎∴OD =13(m). ‎ ‎ (2)OE== (m)‎ ‎ ∴将水排干需:5÷0.5=10(小时). ‎ ‎2、【解析】(1)在矩形中,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ ‎(2)由(1)知 在直角中,‎ 在直角中,‎ ‎3、【解析】在中, ∠=90°, =15‎ ‎==, ∴ ‎ ‎∴周长为36,‎ ‎4、【解析】在Rt △ABC中,c=5,a=3.‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎ . ‎ ‎5、【解析】(1)∵AD是BC上的高,∴AD⊥BC.‎ ‎∴∠ADB=90°,∠ADC=90°. ‎ 在Rt△ABD和Rt△ADC中,‎ ‎∵=,=‎ 又已知 ‎ ∴=.∴AC=BD. ‎ ‎(2)在Rt△ADC中, ,故可设AD=12k,AC=13k.‎ 要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题 ‎1、答案:C   2、答案:C  3、答案:C  4、答案:C  5、答案:A   ‎ ‎6、答案:C 三、解答题 ‎11、【解析】3-1+(2π-1)0-tan30°-tan45°‎ ‎12、【解析】原式==0.‎ ‎13、【解析】 =2.5 ‎ 要点三、解直角三角形在实际问题中的运用 ‎1、【解析】如图,过点B作BC⊥OA于点C ‎∵ ∠AOB=45°,∴∠CBO=45°,BC=OC. ‎ 设BC=OC=x,∵∠OAB=30°,‎ ‎∴ AC=BC×tan60°=x.‎ ‎∵ OC+CA=OA,∴x+x=60, ‎ ‎ ∴ x=≈22(cm). ‎ 即点B到OA 边的距离是22 cm.‎ ‎2、【解析】在直角三角形中,,米 MP=10·tan300 =10×≈5.773米 因为米 所以MN=1.5+5.77=7.27米 ‎ 答:路灯的高度为7.27米 ‎3、【解析】如图,过B点作BD⊥AC于D ‎∴∠DAB=90°-60°=30°,∠DCB=90°-45°=45°‎ 设BD=x,在Rt△ABD中,AD=tan30°=‎ 在Rt△BDC中,BD=DC=x BC=‎ 又AC=5×2=10 ∴, 得, ‎ ‎ ∴(海里)‎ 答:灯塔B距C处海里 ‎4、【解析】设山高BC =,则AB=, ‎ ‎,得 ‎, ‎ 解得米 ‎5、【解析】(1)在中,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 中 ‎ ‎ 改善后的滑滑板会加长2.07m.‎ ‎(2)这样改造能行.‎ 因为,而 ‎6、 略解:AD=25(+1)≈68.3m ‎ ‎7. 简答:∵OA, OB=OC=1500,‎ ‎ ∴AB=(m).‎ ‎ 答:隧道AB的长约为635m.‎ ‎8、解:(1)相等 ‎ 由图易知,∠QPB=65.5°,∠PQB=49°,∠AQP=41°,‎ ‎∴∠PBQ=180°-65.5°-49°=65.5°.∴∠PBQ=∠BPQ.‎ ‎∴BQ=PQ ‎(2)由(1)得,BQ=PQ=1200 m.‎ 在Rt△APQ中,AQ===1600(m).‎ 又∵∠AQB=∠AQP+∠PQB=90°,‎ ‎∴Rt△AQB中,AB===2000(m).‎ 答:A,B间的距离是2000 m.‎ ‎9、‎ ‎10. 解:设CE=xm,则由题意可知BE=xm,AE=(x+100)m.‎ ‎(第10题)‎ ‎ 在Rt△AEC中,tan∠CAE=,即tan30°=‎ ‎∴,3x=(x+100)‎ 解得x=50+50=136.6‎ ‎∴CD=CE+ED=(136.6+1.5)=138.1≈138(m)‎ 答:该建筑物的高度约为138m.‎ ‎11. 由题意得∠A=60°, ∴BC=AB×tan60°=500× =500 m. 答:该军舰行驶的路程为500 m.‎ ‎12、 当α=70°时,梯子顶端达到最大高度, ……1分 ‎∵sinα=, ……2分 ‎∴ AC= sin70°×6=0.94×6=5.64 ……2分 ‎≈5.6(米) ‎ 答:人安全攀爬梯子时,梯子的顶端达到的最大高度约5.6米.……1分 ‎13、.解:过点B作BF⊥CD于F,作BG⊥AD于G. ‎ 在Rt△BCF中,∠CBF=30°,∴CF=BC·sin30°= 30× =15. ‎ 在Rt△ABG中,∠BAG=60°,∴BG=AB·sin60°= 40× = 20. ‎ ‎∴CE=CF+FD+DE=15+20+2=17+20≈51.64≈51.6(cm)cm. ‎ 答:此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是51.6cm. ‎
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