【数学】2020届一轮复习北师大版选讲部分作业

【数学】2020届一轮复习北师大版选讲部分作业

‎1. 【2018广东江门高三一模】已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若对，都存在，使得，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）由题意解不等式即可得到解集．（Ⅱ）将问题转化为函数函数的值域是函数的值域的子集处理即可．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）依题意得，即，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎∴不等式的解集为．‎ ‎③当时，，此时，‎ 由得，解得得．‎ 综上或．‎ 所以实数的取值范围为．‎ ‎2. 【2018贵州黔东南州高三一模】在直角坐标系中，点的坐标为，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，圆极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）当时，求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线与圆的交点为、，证明：是与无关的定值.‎ ‎【答案】（1）直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)当时，消去得到直线的普通方程，由圆极坐标方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到原的直角坐标方程．‎ ‎(Ⅱ)将直线的参数方程代入圆的方程，，得，由的几何意义可求得的值．‎ 试题解析：‎ ‎3. 【2018贵州黔东南州高三一模】设.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ），，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）解集为；（2）实数的取值范围是.‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)去掉绝对值，得到分段函数，由，即可取得不等式的解集；‎ ‎(Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质，求得区间上，的值，进而求得实数的取值范围． ‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ)，‎ 由解得，‎ 故不等式的解集为．‎ ‎(Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：‎ 在区间为减函数，在区间上为增函数，‎ 而，‎ 故在区间上，，．‎ ‎ 由．‎ 所以且，‎ 于是且，‎ 故实数的取值范围是．‎ ‎4．【2018陕西咸阳高三一模】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线过点且倾斜角为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点A,B，求的值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)7.‎ 试题解析：‎ ‎（1）曲线，‎ 所以，即，‎ 得曲线的直线坐标方程为，‎ 直线的参数方程为为参数）.‎ ‎（2）将为参数）代入圆的方程，得，‎ 整理得，所以.‎ ‎5．【2018安徽宣城高三二调】选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是.以极点为平而直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）‎ ‎（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值.‎ ‎【答案】（1）（2）或.‎ 试题解析：（1）由得 ‎∵， ， ，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为，即.‎ ‎（2）将代入圆的方程，化简得.‎ 设两点对应的参数分别为、，则 ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴，即或.‎ ‎6．【2018广东高三二模】选修4-5：不等式选讲 已知.‎ ‎（1）当，时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当，时，的图象与轴围成的三角形面积大于，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 不等式等价于 或 或 解得或，即.所以不等式的解集是.‎ ‎（2）由题设可得，‎ 所以函数的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，.‎ 所以三角形的面积为.‎ 由题设知，，解得.‎ 点睛：求解含两个绝对值的不等式时，往往利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数对应的不等式组进行求解.%‎ ‎7．【2018安徽安庆高三二模】选修4-5：不等式选讲 已知，不等式的解集是.‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）设，证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）见解析. ‎ 试题解析：（Ⅰ）当时，.‎ 由，得，所以. ‎ 当时，.‎ 由，得，所以 ‎ 综上可知，. ‎ ‎（Ⅱ）因为，，所以，， 即，. ‎ 所以 ‎，故.‎ 点睛：含绝对值不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.‎ ‎8．【2018湖南益阳高三4月调研】选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ 试题解析：（1）当时，.‎ 当时，由，得；‎ 当时，由，得；‎ 当时，由，得.‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ ‎（2）由，得.‎ 令 作出的图象如图所示，‎ 由题意知的图象恒在函数的图象的下方.‎ 由图象可知，当经过点时，解得或.‎ 当时，的图象经过点，显然不成立；‎ 当时，的图象经过点，成立，‎ 所以，‎ 即实数的取值范围为.‎ ‎9．【2018东莞高三二模】选修4-5：不等式选讲 已知，且对任意的恒成立.‎ ‎(Ⅰ)求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)若正实数满足，求证.‎ ‎【答案】(Ⅰ).(Ⅱ) 见解析.‎ 试题解析： (Ⅰ),‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎(Ⅱ)依题意，.‎ 要证，即证,‎ 即证,‎ 即证，此式显然成立，∴原不等式成立.‎ ‎10．【2018黑龙江大庆高三质检二】选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）当时,不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）分类讨论，去掉绝对值，分别求解不等式，进而得到不等式的解集；（Ⅱ）当时，，设，求出在上的最大值，即可求得实数的取值范围.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意知，需解不等式.‎ 当时，上式化为，解得；‎ 当时，上式化为，无解；‎ 当时，①式化为，解得.‎ ‎∴的解集为或.‎ ‎（Ⅱ）当时，，则当，恒成立.‎ 设，则在上的最大值为.‎ ‎∴，即，得.‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎11．【2018陕西咸阳高三二模】已知函数.‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）设，且，求证： .‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎（2）法1：由题意可知 .当且仅当， ， 时取等号，题中的命题得证.‎ 法2：由题意结合柯西不等式有 ，即，命题得证.‎ 试题解析：‎ ‎（1）法1：由知，即.‎ 法2：由三角不等式得，即.‎ 法3：由绝对值不等式的几何意义知，即.‎ ‎（2）法1：∵，‎ ‎∴ ‎ ‎ .‎ 当且仅当，即， ， 时取等号，‎ 即.‎ 法2：∵，‎ ‎∴由柯西不等式得 ，‎ 整理得，‎ 当且仅当，即， ， 时取等号.‎ 点睛：绝对值不等式的解法： ‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎12．【2018新疆维吾尔自治区高三二模】选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（I）当时，解不等式；‎ ‎（II）若的解集为， （， ），求证： .‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 试题解析：‎ ‎（I）当时，不等式化为 ‎∵‎ ‎∴不等式的解集为 ‎（II）根据得 ‎ ‎∵的解集为故，所以，‎ ‎∵， ‎ ‎∴，‎ 当且仅当， 时取等号 ‎∴‎ ‎13．【2018江西高三质监】选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）若的最小值为2，求的值；‎ ‎（2）若对， ，使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ） ，‎ 当且仅当取介于和之间的数时，等号成立， ‎ 故的最小值为， ； ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知的最小值为，‎ 故，使成立， ‎ 即 ， ， . ‎ ‎14．【2018海南高三二模】[选修4-5：不等式选讲]‎ 设函数.‎ ‎（1）若不等式的解集为，求的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ 试题解析：‎ 解：（1）因为，所以，‎ 所以，所以.‎ 因为不等式的解集为，‎ 所以，解得.‎ ‎（2）由（1）得.不等式恒成立，‎ 只需，‎ 所以，即，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎15．【2018河南商丘高三二模】已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：（1）依题意， ‎ 故不等式的解集为. ‎ ‎（2）由（1）可得，当时，取最小值， ‎ 对于恒成立，‎ ‎∴，即， ‎ ‎∴，解之得，‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ ‎16．【2018安徽宣城高三二调】选修4-5：不等式选讲 设函数 ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）结合不等式分类讨论即可求得不等式的解集；（2）利用零点分段求得的最小值，结合题意即可求得实数的取值范围．‎ 试题解析：（1）‎ 当时，显然不成立 当时，平方得： ‎ 综上： ‎ ‎（2）若存在使不等式成立，即的最小值小于等于.‎ ‎∴，则