【数学】2019届高考一轮复习北师大版理9-9直线与圆锥曲线的位置关系学案
第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定
(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
方程ax2＋bx＋c＝0的解
l与C1的交点
a＝0
b＝0
无解(含l是双曲线的渐近线)
无公共点
b≠0
有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)
一个交点
a≠0
Δ＞0
两个不相等的解
两个交点
Δ＝0
两个相等的解
一个交点
Δ＜0
无实数解
无交点
(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．
2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|
＝
＝|y1－y2|
＝.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切．( )
(2)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交．( )
(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( )
(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( )
(5)过点(2，4)的直线与椭圆＋y2＝1只有一条切线．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是( )
A．k＞－ B．k＜
C．k＞或k＜－ D．－＜k＜
解析：选D.由双曲线渐近线的几何意义知
－＜k＜.
过点的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B两点，O为坐标原点，则·的值为( )
A．－ B．－
C．－4 D．无法确定
解析：选B.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx－，代入抛物线方程得2x2＋2kx－1＝0，由此得
所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝(k2＋1)·x1x2－k(x1＋x2)＋＝－(k2＋1)－k·(－k)＋＝－.故选B.
已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于____________．
解析：由消去y得ax2－x＋1＝0，
所以解得a＝.
答案：
斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为____________．
解析：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.
则x1＋x2＝－t，x1x2＝.
所以|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝·，
当t＝0时，|AB|max＝.
答案：
直线与圆锥曲线的位置关系
[典例引领]
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1)在C1上．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．
【解】 (1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，
所以c＝1.
将点P(0，1)代入椭圆方程＋＝1，
得＝1，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，
设直线l的方程为y＝kx＋m，
由消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
因为直线l与椭圆C1相切，
所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.
整理得2k2－m2＋1＝0.①
由消去y并整理得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.因为直线l与抛物线C2相切，
所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，
整理得km＝1.②
综合①②，解得或
所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.
直线与圆锥曲线位置关系的判断方法
直线与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，设其判别式为Δ，
(1)Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交；
(2)Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；
(3)Δ＜0⇔直线与圆锥曲线相离．
[提醒] 注意讨论二次项系数是否为零．
[通关练习]
1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有________条．
解析：结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．
答案：3
2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点．
解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，
整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)
＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3
0，即m>－1时，x1，2＝2±2.
从而|AB|＝|x1－x2|＝4.
由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.
所以直线AB的方程为y＝x＋7.
弦长的计算方法
求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解．
[提醒] 两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．
[通关练习]
1．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，则弦AB的长为________．
解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．
由方程组消去y，整理得3x2－5x＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根与系数的关系，得
x1＋x2＝，x1x2＝0.
则|AB|＝
＝
＝ ＝.
答案：
2．(2018·太原市模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AB|＝6，则△AOB的面积为____________．
解析：因为抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1，0)，当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝4，不满足题意，所以设直线AB的方程为y＝k(x－1)，与y2＝4x联立，消去x得ky2－4y－4k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝，因为|AB|＝|y1－y2|＝6，所以4＝6，解得k＝±，所以|y1－y2|＝＝2，所以△AOB的面积为×1×2＝.
答案：
中点弦问题
[典例引领]
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
【解】 (1)由题意有＝，＋＝1，
解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为＋＝1.
(2)证明：法一：设直线l：y＝kx＋b1(k≠0，b1≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b1代入＋＝1，得
(2k2＋1)x2＋4kb1x＋2b－8＝0.
故xM＝＝，yM＝k·xM＋b1＝.
于是直线OM的斜率kO M＝＝－，即kO M·k＝－.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，
则＋＝1，①
＋＝1，②
①－②得＋＝0，
即·＝－.
又y1＋y2＝2y0，x1＋x2＝2x0，所以·kAB＝－.
即kOM·kAB＝－.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值－.
处理中点弦问题常用的求解方法
[提醒] 中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．
[通关练习]
1．若点(3，1)是抛物线y2＝2px(p＞0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.设过点(3，1)的直线交抛物线y2＝2px(p＞0)于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则，
由①－②得y－y＝2p(x1－x2)，即＝，由题意知kAB＝2，且y1＋y2＝2，故kAB＝＝2，所以p＝y1＋y2＝2.
2．(2018·山西阳泉质检)椭圆mx2＋ny2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选A.法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
所以kOM＝＝，kAB＝＝－1，
由AB的中点为M可得x1＋x2＝2x0，
y1＋y2＝2y0.
由A，B在椭圆上，可得
两式相减可得m(x1－x2)(x1＋x2)＋n(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
则m(x1－x2)·2x0－n(x1－x2)·2y0＝0，
整理可得＝，故选A.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
联立方程，
可得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
所以x1＋x2＝，
y1＋y2＝2－(x1＋x2)＝.
由中点坐标公式可得，
x0＝＝，y0＝＝.
因为M与坐标原点的直线的斜率为，
所以＝＝＝.故选A.
求解与弦有关问题的两种方法
(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x或y)成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系．
(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，
设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定
点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．
易错防范
判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点
(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1，) B．(1，]
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
则由题意得>2，
所以e＝＝>＝.
2．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )
A．有且只有一条 B．有且只有两条
C．有且只有三条 D．有且只有四条
解析：选B.若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB为y＝k(x－)，代入抛物线y2＝2x得，k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，因为A、B两点的横坐标之和为2.所以k＝±.所以这样的直线有两条．
3．(2018·安徽皖南八校联考)若直线ax＋by－3＝0与圆x2＋y2＝3没有公共点，设点P的坐标为(a，b)，则过点P的一条直线与椭圆＋＝1的公共点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
解析：选C.由题意得，圆心(0，0)到直线ax＋by－3＝0的距离为＞，所以a2＋b2＜3.
又a，b不同时为零，所以0＜a2＋b2＜3.
由0＜a2＋b2＜3，可知|a|＜，|b|＜，由椭圆的方程知其长半轴长为2，短半轴长为，
所以P(a，b)在椭圆内部，
所以过点P的一条直线与椭圆＋＝1的公共点有2个，故选C.
4．(2018·江西九江模拟)过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于C，若|AF|＝6，＝λ，则λ的值为( )
A. B.
C. D．3
解析：选D.设A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，则x1＋2＝6，解得x1＝4，y1＝4，直线AB的方程为y＝2(x－2)，令x＝－2，得C(－2，－8)，联立方程解得B(1，－2)，所以|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，所以λ＝3.
5．(2018·江西五市八校模拟)已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b<0)的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－，则的值为( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选A.由双曲线ax2＋by2＝1知其渐近线方程为ax2＋by2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有ax＋by＝0①，ax＋by＝0②，由①－②得a(x－x)＝－b(y－y)．即a(x1＋x2)(x1－x2)＝－b(y1＋y2)(y1－y2)，由题意可知x1≠x2，且x1＋x2≠0，所以·＝－，设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM＝＝＝＝－，又知kAB＝－1，所以－×(－1)＝－，所以＝－，故选A.
6．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线l的倾斜角为60°，
则直线l的方程为y－0＝，
即y＝x－p，联立抛物线方程，
消去y并整理，得12x2－20px＋3p2＝0，
则x1＝p，x2＝p，
则＝＝3.
答案：3
7．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知双曲线E：－＝1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则l的方程为____________．
解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有，两式相减得＝，即＝×.又线段AB的中点坐标是，因此x1＋x2＝2×＝1，y1＋y2＝(－1)×2＝－2，＝－，＝－，即直线AB的斜率为－，直线l的方程为y＋1＝－，即2x＋8y＋7＝0.
答案：2x＋8y＋7＝0
8．(2018·福建四地六校模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过点F与抛物线C交于A，B两点，且|AB|＝6，若AB的垂直平分线交x轴于P点，则P点的坐标为____________．
解析：由抛物线y2＝4x，得p＝2，易知直线l的斜率存在，设经过点F的直线l：y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝k(x－1)代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝2＋，利用抛物线定义得，x1＋x2＝|AB|－p＝6－2＝4，即2＋＝4，所以k＝±，因为AB中点坐标为(2，k)，所以AB的垂直平分线方程为y－k＝－·(x－2)，令y＝0，得x＝4，
即P点的坐标为(4，0)．
答案：(4，0)
9．已知点Q是抛物线C1：y2＝2px(p>0)上异于坐标原点O的点，过点Q与抛物线C2：y＝2x2相切的两条直线分别交抛物线C1于点A，B.若点Q的坐标为(1，－6)，求直线AB的方程及弦AB的长．
解：由Q(1，－6)在抛物线y2＝2px上，可得p＝18，
所以抛物线C1的方程为y2＝36x.
设抛物线C2的切线方程为y＋6＝k(x－1)．
联立消去y，得2x2－kx＋k＋6＝0，
Δ＝k2－8k－48.
由于直线与抛物线C2相切，故Δ＝0，
解得k＝－4或k＝12.
由得A；
由得B.
所以直线AB的方程为12x－2y－9＝0，弦AB的长为2.
10．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率为.过F1的直线l0交C于P，Q两点，且△PQF2的周长为8.
(1)求椭圆C的方程；
(2)圆＋(y－2)2＝与x轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)，过点M任作一条直线与椭圆C相交于A，B两点，连接AN，BN，求证∠ANM＝∠BNM.
解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．因为离心率为，所以 ＝，解得＝，即a2＝2b2.
又△PQF2的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝(|PF1|＋|PF2|)＋(|QF1|＋|QF2|)＝2a＋2a＝4a，
所以4a＝8，即a＝2，b＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：把y＝0代入＋(y－2)2＝，解得x＝1或x＝4，
即点M(1，0)，N(4，0)．
①当AB⊥x轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM＝∠BNM.
②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y＝k(x－1)．
联立消去y，
得(k2＋2)x2－2k2x＋k2－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
所以kAN＋kBN＝＋＝＋＝.
因为(x1－1)(x2－4)＋(x2－1)(x1－4)＝2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝－＋8＝＝0，
所以kAN＋kBN＝0，所以∠ANM＝∠BNM.
综上所述，∠ANM＝∠BNM.
1．(2018·河北石家庄二中模拟)已知直线l1与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)交于A，B两点，且AB中点M的横坐标为b，纵坐标不为0，过M且与直线l1垂直的直线l2过双曲线C的右焦点，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由题意知直线l1与l2的斜率存在且都不为0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(b，yM)，
由，得－＝0.
又则可得a2＝bc，
即a4＝(c2－a2)c2，有e4－e2－1＝0，得e2＝，
所以e＝ .
2．(2018·贵州贵阳模拟)已知双曲线x2－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x2－x1的最小值为( )
A．2 B．2
C．4 D．3
解析：选A.因为l与圆相切，
所以原点到直线的距离d＝＝1，
所以m2＝1＋k2，
由得(1－k2)x2－2mkx－(m2＋1)＝0，
所以
所以k2＜1，所以－1＜k＜1，由于x1＋x2＝，
所以x2－x1＝＝＝，
因为0≤k2＜1，
所以当k2＝0时，x2－x1取最小值2.故选A.
3．(2018·北京模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线－x2＝1的焦点重合，过点P(4，0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求·的取值范围．
解：(1)由题意知e＝＝，
所以e2＝＝＝，
所以a2＝b2.
因为双曲线－x2＝1的焦点坐标为(0，±)，
所以b＝，所以a2＝4，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线l的倾斜角为0°时，不妨令A(－2，0)，B(2，0)，则·＝－4，
当直线l的倾斜角不为0°时，设其方程为x＝my＋4，
由⇒(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0，
由Δ>0⇒(24m)2－4×(3m2＋4)×36>0⇒m2>4，
设A(my1＋4，y1)，B(my2＋4，y2)．
因为y1＋y2＝－，y1y2＝，
所以·＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝m2y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＋y1y2＝－4，
因为m2>4，所以·∈.
综上所述，·的取值范围为.
4．(2018·福建省普通高中质量检查)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋y2＝1(a＞1)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上异于长轴端点的动点，∠F1PF2的角平分线交x轴于点M.当P在x轴上的射影为F2时，M恰为OF2的中点．
(1)求C的方程；
(2)过点F2引PF2的垂线交直线l：x＝2于点Q，试判断除点P外，直线PQ与C是否有其他公共点？说明理由．
解：(1)设|F1F2|＝2c，则c2＝a2－1，不妨设P在x轴上方(如图)．
当P在x轴上的射影为F2时，P，F1，F2(c，0)，
所以直线PF1的方程为x－2acy＋c＝0.
因为|OF2|＝2|OM|，所以|OM|＝|MF2|＝，
所以点M的坐标为.
则点M到直线PF1的距离为
d＝＝ .
因为PM平分∠F1PF2，PF2⊥F1F2，所以d＝|MF2|，即＝，化简得a2c2＝2，
所以a2(a2－1)＝2，解得a2＝2.所以C的方程为＋y2＝1.
(2)除点P外，直线PQ与C无其他公共点．
理由如下：
如图，设P(x0，y0)(y0≠0)，则＋y＝1，即y＝1－.
设Q(2，yQ)，则＝(－1，－yQ)，＝(1－x0，－y0)，由QF2⊥PF2，得·＝0，
所以x0－1＋y0yQ＝0，即yQ＝.
所以kPQ＝＝＝＝－，
所以直线PQ的方程为y－y0＝－(x－x0)，
即2y0y－2y＝－x0x＋x即x0x＋2y0y－2＝0.
由，得(x＋2y)y2－4y0y＋(2－x)＝0，
即y2－2y0y＋y＝0.
因为Δ＝(2y0)2－4y＝0，
所以除点P外，直线PQ与C无其他公共点．
