内蒙古赤峰市中考数学试卷及答案word解析版

内蒙古赤峰市中考数学试卷及答案word解析版

内蒙古赤峰市2014年中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎1．（3分）（2014•赤峰）有理数﹣3的相反数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎﹣3‎ C．‎ D．‎ ‎﹣‎ 考点：‎ 相反数．‎ 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．‎ 解答：‎ 解：﹣3的相反数是3．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了相反数的意义．只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2014•赤峰）下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单几何体的三视图 分析：‎ 主视图是从几何体的正面看所得到的图形，根据主视图所看的方向，写出每个图形的主视图及可选出答案．‎ 解答：‎ 解：A、主视图是长方形，故此选项错误；‎ B、主视图是长方形，故此选项错误；‎ C、主视图是三角形，故此选项正确；‎ D、主视图是正方形，中间还有一条线，故此选项错误；‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2014•赤峰）赤峰市改革开放以来经济建设取得巨大成就，2013年全市GDP总值为1686.15亿元，将1686.15亿元用科学记数法表示应为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎168615×102元 B．‎ ‎16.8615×104元 C．‎ ‎1.68615×108元 D．‎ ‎1.68615×1011元 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：1686.15亿=1686 1500 0000=1.68615×1011，‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2014•赤峰）下面是扬帆中学九年八班43名同学家庭人口的统计表：‎ 家庭人口数（人）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2‎ 学生人数（人）‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎3‎ 这43个家庭人口的众数和中位数分别是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎5，6‎ B．‎ ‎3，4‎ C．‎ ‎3，5‎ D．‎ ‎4，6‎ 考点：‎ 众数；中位数 分析：‎ 利用众数及中位数的定义解答即可．‎ 解答：‎ 解：数据3出现了15次，故众数为3；‎ ‎43人的中位数应该是排序后的第22个学生的家庭人数，、‎ 故中位数为家庭人数为4人，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了众数及中位数的知识，解题的关键是了解其定义，难度较小．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2014•赤峰）如图，把一块含有30°角（∠A=30°）的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1=40°，那么∠AFE=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎50°‎ B．‎ ‎40°‎ C．‎ ‎20°‎ D．‎ ‎10°‎ 考点：‎ 平行线的性质；三角形的外角性质 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由四边形CDEF为矩形，得到EF与DC平行，利用两直线平行同位角相等求出∠AGE的度数，根据∠AGE为三角形AGF的外角，利用外角性质求出∠AFE的度数即可．‎ 解答：‎ 解：∵四边形CDEF为矩形，‎ ‎∴EF∥DC，‎ ‎∴∠AGE=∠1=40°，‎ ‎∵∠AGE为△AGF的外角，且∠A=30°，‎ ‎∴∠AFE=∠AGE﹣∠A=10°．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2014•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，CD⊥AB．若∠DAB=65°，则∠BOC=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎25°‎ B．‎ ‎50°‎ C．‎ ‎130°‎ D．‎ ‎155°‎ 考点：‎ 圆周角定理；垂径定理 分析：‎ 由CD⊥AB．若∠DAB=65°，可求得∠D的度数，又由圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，继而求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵CD⊥AB．∠DAB=65°，‎ ‎∴∠ADC=90°﹣∠DAB=25°，‎ ‎∴∠AOC=2∠ADC=50°，‎ ‎∴∠BOC=180°﹣∠AOC=130°．‎ 故C．‎ 点评：‎ 此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2014•赤峰）化简结果正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ab B．‎ ‎﹣ab C．‎ a2﹣b2‎ D．‎ b2﹣a2‎ 考点：‎ 约分．‎ 分析：‎ 首先将分式的分子因式分解，进而约分求出即可．‎ 解答：‎ 解：==﹣ab．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了约分，正确分解因式是解题关键．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2014•赤峰）如图，一根长5米的竹杆AB斜立于墙AC的右侧，底端B与墙角C的距离为3米，当竹杆顶端A下滑x米时，底端B便随着向右滑行y米，反映y与x变化关系的大致图象是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 动点问题的函数图象．‎ 分析：‎ 利用勾股定理列式求出AC，再根据勾股定理列式表示出y与x的函数关系式，然后判断出函数图象即可得解．‎ 解答：‎ 解：由勾股定理得，AC===4m，‎ 竹杆顶端A下滑x米时，底端B便随着向右滑行y米后，‎ AC=4﹣x，BC=3+y，‎ 所以，y+3==，‎ 所以，y=﹣3，‎ 当x=0时，y=0，‎ 当A下滑到点C时，x=4，y=2，‎ 由函数解析式可知y与x的变化不是直线变化．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了勾股定理，列出y与x的函数关系式是解题的关键，难点在于正确区分A、B选项．‎ ‎　‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎9．（3分）（2014•赤峰）化简：2x﹣x=　x　．‎ 考点：‎ 合并同类项．‎ 分析：‎ 利用合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，直接得出答案．‎ 解答：‎ 解：2x﹣x=x．‎ 故答案为：x．‎ 点评：‎ 此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2014•赤峰）一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是　　．‎ 考点：‎ 几何概率 分析：‎ 根据矩形的性质求出阴影部分占整个面积的，进而得出答案．‎ 解答：‎ 解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的，‎ ‎∴一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是：．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2014•赤峰）下列四个汽车图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图标有　1　个．‎ 考点：‎ 中心对称图形；轴对称图形．‎ 分析：‎ 根据中心对称图形定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，可分析出答案．‎ 解答：‎ 解：第一个图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；‎ 第二个图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；‎ 第三个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不合题意；‎ 第三个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不合题意．‎ 故答案为：1．‎ 点评：‎ 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2014•赤峰）如图，E的矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AEF，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点．若∠AEB=55°，求∠DAF=　20　°．‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）‎ 分析：‎ ‎：由△ABE沿AE折叠到△AEF，得出∠BAE=∠FAE，由∠AEB=55°，∠ABE=90°，求出∠BAE，利用∠DAF=∠BAD﹣∠BAE﹣∠FAE求解．‎ 解答：‎ 解：∵△ABE沿AE折叠到△AEF，‎ ‎∴∠BAE=∠FAE，‎ ‎∵∠AEB=55°，∠ABE=90°，‎ ‎∴∠BAE=90°﹣55°=35°，‎ ‎∴∠DAF=∠BAD﹣∠BAE﹣∠FAE=90°﹣35°﹣35°=20°．‎ 故答案为：20‎ 点评：‎ 本题主要考查了折叠问题，解题的关键是利用折叠图形的角相等求解．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2014•赤峰）如图，反比例函数y=（k＞0）的图象与以原点（0，0）为圆心的圆交于A，B两点，且A（1，），图中阴影部分的面积等于　　．（结果保留π）‎ 考点：‎ 反比例函数图象的对称性；扇形面积的计算 分析：‎ 根据反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形可得：图中两个阴影面积的和等于扇形OAB的面积，又知A（1，），即可求出圆的半径．‎ 解答：‎ 解：如图，∵A（1，），‎ ‎∴∠AOD=60°，OA=2．‎ 又∵点A、B关于直线y=x对称，‎ ‎∴∠AOB=2（60°﹣45°）=30°．‎ 又∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形，‎ ‎∴S阴影=S扇形AOB==．‎ 故答案是：．‎ 点评：‎ 本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2014•赤峰）如图所示，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点（2，2），“炮”位于点（﹣1，2），写出“兵”所在位置的坐标　（﹣2，3）　．‎ 考点：‎ 坐标确定位置 分析：‎ 以“马”的位置向左2个单位，向下2个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出兵的坐标即可．‎ 解答：‎ 解：建立平面直角坐标系如图，‎ 兵的坐标为（﹣2，3）．‎ 故答案为：（﹣2，3）．‎ 点评：‎ 本题考查了坐标确定位置，确定出原点的位置并建立平面直角坐标系是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2014•赤峰）直线l过点M（﹣2，0），该直线的解析式可以写为　y=x+2　．（只写出一个即可）‎ 考点：‎ 一次函数的性质．‎ 专题：‎ 开放型．‎ 分析：‎ 设该直线方程为y=kx+b（k≠0）．令k=1，然后把点M的坐标代入求得b的值．‎ 解答：‎ 解：设该直线方程为y=kx+b（k≠0）．令k=1，把点M（﹣2，0）代入，得 ‎0=﹣2+b=0，‎ 解得 b=2，‎ 则该直线方程为：y=x+2．‎ 故答案是：y=x+2（答案不唯一，符合条件即可）．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数的性质．一次函数图象上所有点的坐标都满足直线方程．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2014•赤峰）平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是　800　个．‎ 考点：‎ 规律型：图形的变化类．‎ 分析：‎ 仔细观察图形发现第一个图形有2×12=2个小菱形；第二个图形有2×22=8个小菱形；第三个图形有2×32=18个小菱形；由此规律得到通项公式，然后代入n=20即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：第一个图形有2×12=2个小菱形；‎ 第二个图形有2×22=8个小菱形；‎ 第三个图形有2×32=18个小菱形；‎ ‎…‎ 第n个图形有2n2个小菱形；‎ 第20个图形有2×202=800个小菱形；‎ 故答案为：800．‎ 点评：‎ 本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形的变化，并找到图形的变化规律．‎ ‎　‎ 三、解答题（共10小题，满分102分）‎ ‎17．（6分）（2014•赤峰）计算：（π﹣）0+﹣8sin45°﹣（）﹣1．‎ 考点：‎ 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：原式=1+4﹣8×﹣4‎ ‎=﹣3．‎ 点评：‎ 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）（2014•赤峰）求不等式组的正整数解．‎ 考点：‎ 一元一次不等式组的整数解．‎ 分析：‎ 先解每一个不等式，求出不等式组的解集，再求出正整数解即可．‎ 解答：‎ 解：由①得4x+4+3＞x 解得x＞﹣，‎ 由②得3x﹣12≤2x﹣10，‎ 解得x≤2，‎ ‎∴不等式组的解集为﹣＜x≤2．‎ ‎∴正整数解是1、2．‎ 点评：‎ 此题主要考查了不等式组的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．‎ ‎　‎ ‎19．（10分）（2014•赤峰）如图，已知△ABC中AB=AC．‎ ‎（1）作图：在AC上有一点D，延长BD，并在BD的延长线上取点E，使AE=AB，连AE，作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠E=∠ACF．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；作图—复杂作图 专题：‎ 作图题；证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）以A为圆心，以AB长为半径画弧，与BD的延长线的交点即为点E，再以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AC、AE相交，然后以这两点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，两弧相交于一点，过点A与这一点作出射线与BE的交点即为所求的点F；‎ ‎（2）求出AE=AC，根据角平分线的定义可得∠EAF=∠CAF，再利用“边角边”证明△AEF和△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠E=∠ACF．‎ 解答：‎ ‎（1）解：如图所示；‎ ‎（2）证明：∵AB=AC，AE=AB，‎ ‎∴AE=AC，‎ ‎∵AF是∠EAC的平分线，‎ ‎∴∠EAF=∠CAF，‎ 在△AEF和△ACF中，，‎ ‎∴△AEF≌△ACF（SAS），‎ ‎∴∠E=∠ACF．‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的判断与性质，等腰三角形的性质，作一条线段等于已知线段，角平分线的作法，确定出全等三角形的条件是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）（2014•赤峰）自从中央公布“八项规定”以来，光明中学积极开展“厉行节约，反对浪费”活动，为此，学校学生会对九年八班某日午饭浪费饭菜情况进行调查，调查内容分为四种：A．饭和菜全部吃光；B．有剩饭但菜吃光；C．饭吃光但菜有剩；D．饭和菜都有剩．学生会根据统计结果，绘制了如图两个统计图，根据统计图提供的信息回答下列问题：‎ ‎（1）九年八班共有多少名学生？‎ ‎（2）计算图2中B所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；‎ ‎（3）光明中学有学生2000名，请估计这顿午饭有剩饭的学生人数，按每人平均剩10克米饭计算，这顿午饭将浪费多少千克米饭？‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．‎ 分析：‎ ‎（1）用A的人数除以相对应的百分比就是总学生数；‎ ‎（2）B的人数=总人数﹣A的人数﹣C的人数﹣D的人数，B所在扇形的圆心角的度数为：×360°=72°，再根据B的人数为10，补全条形统计图；‎ ‎（3）先求出这顿午饭有剩饭的学生人数为：2000×=600（人），再用人数乘每人平均剩10克米饭，把结果化为千克．‎ 解答：‎ 解：（1）九年八班共有学生数为：30÷60%=50（人）；‎ ‎（2）B有剩饭但菜吃光的人数为：50﹣30﹣5﹣5=10（人），‎ B所在扇形的圆心角的度数为：×360°=72°，‎ 补全条形统计图如图1：‎ ‎（3）这顿午饭有剩饭的学生人数为：2000×=600（人），‎ ‎600×10=6000（克）=6（千克）．‎ 点评：‎ 本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及样本估计总数，解题的关键是能把条形统计图和扇形统计图结合起来解决问题．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）（2014•赤峰）位于赤峰市宁城的“大明塔”是我国辽代的佛塔，距今已有1千多年的历史．如图，王强同学为测量大明塔的高度，在地面的点E处测得塔基BC上端C的仰角为30°，他又沿BE方向走了26米，到达点F处，测得塔顶端A飞仰角为52°，已知塔基是以OB为半径的圆内接正八边形，B点在正八边形的一个顶点上，塔基半径OB=18米，塔基高BC=11米，求大明塔的高OA（结果保留到整数，≈1.73，tan52°≈1.28）．‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 分析：‎ 在直角△CBE中利用三角函数首先求得EC的长，则OF即可求解，然后在直角△AOF中，利用三角函数即可求解．‎ 解答：‎ 解：∵在直角△CBE中，∠CEB=30°，BC=11，‎ ‎∴EC=22，‎ 则EB==11≈19，‎ ‎∵在直角△AOF中，∠AFO=52°，OF=18+19+26=63，‎ ‎∴OA=OF•tan∠AFO≈63×1.28=81（米）．‎ 答：大明塔高约81米．‎ 点评：‎ 本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2014•赤峰）某养殖专业户计划购买甲、乙两种牲畜，已知乙种牲畜的单价是甲种牲畜单价的2倍多200元，买3头甲种牲畜和1头乙种牲畜共需5700元．‎ ‎（1）甲、乙两种牲畜的单价各是多少元？‎ ‎（2）若购买以上两种牲畜50头，共需资金9.4万元，求甲、乙两种牲畜各购买多少头？‎ ‎（3）相关资料表明：甲、乙两种牲畜的成活率分别为95%和99%，若使这50头牲畜的成活率不低于97%且购买的总费用最低，应如何购买？‎ 考点：‎ 一次函数的应用；一元一次方程的应用 分析：‎ ‎（1）设甲种牲畜的单价是x元，列方程3x+2x+200=5700，求出甲种牲畜的单价，再求出乙种牲畜的单价即可．‎ ‎（2）设购买甲种牲畜y头，列方程1100y+（50﹣y）=94000求出甲种牲畜购买20头，乙种牲畜购买30头，‎ ‎（3）设费用为m，购买甲种牲畜n头，则m=1100n+240（50﹣n）=﹣1300n+120000依题意得：n+（50﹣n）≥×50，据m随n的增大而减小，求得n=25时，费用最低．‎ 解答：‎ 解：（1）设甲种牲畜的单价是x元，依题意得，‎ ‎3x+2x+200=5700‎ 解得：x=1100‎ 乙种牲畜的单价是：2x+200=2400元，‎ 即甲种牲畜的单价是1100元，乙种牲畜的单价是2400元．‎ ‎（2）设购买甲种牲畜y头，依题意得，‎ ‎1100y+（50﹣y）=94000‎ 解得y=20，‎ ‎50﹣20=30，‎ 即甲种牲畜购买20头，乙种牲畜购买30头．‎ ‎（3）设费用为m，购买甲种牲畜n头，‎ 则m=1100n+240（50﹣n）=﹣1300n+120000‎ 依题意得：n+（50﹣n）≥×50，‎ 解得：n≤25，‎ k=﹣1300＜0，m随n的增大而减小，‎ ‎∵当n=25时，费用最低，所以各购买25头时满足条件．‎ 点评：‎ 本题主要考查了一次函数的应用，理解题意，抓住题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）（2014•赤峰）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（﹣4，6），双曲线y=（x＜0）的图象经过BC的中点D，且于AB交于点E．‎ ‎（1）求反比例函数解析式和E点坐标；‎ ‎（2）若F是OC上一点，且以∠OAF和∠CFD为对应角的△FDC、△AFO相似，求F点的坐标．‎ 考点：‎ 反比例函数综合题．‎ 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）由ABCD为矩形，D为BC中点，根据B坐标确定出D坐标，代入反比例解析式求出中k的值，确定出反比例解析式，将x=﹣4代入反比例解析式求出y的值，确定出E坐标即可；‎ ‎（2）如图所示，设F（0，y），根据以∠OAF和∠CFD为对应角的△FDC、△AFO相似，列出比例式，求出y的值，即可确定出F坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，D为BC中点，B（﹣4，6），‎ ‎∴D（﹣2，6），‎ 设反比例函数解析式为y=，‎ 将D（﹣2，6）代入得：k=﹣12，‎ ‎∴反比例解析式为y=﹣，‎ 将x=﹣4代入反比例解析式得：y=3，‎ 则E（﹣4，3）；‎ ‎（2）设F（0，y），如图所示，连接DF，AF，‎ ‎∵∠OAF=∠DFC，△AOF∽△FDC，‎ ‎∴=，即=，‎ 整理得：y2﹣6y+8=0，即（y﹣2）（y﹣4）=0，‎ 解得：y1=2，y2=4，‎ 则F坐标为（0，2）或（0，4）．‎ 点评：‎ 此题属于反比例函数综合题，涉 及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，相似三角形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2014•赤峰）如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．‎ ‎（1）探究猜想：‎ ‎①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？‎ ‎②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？‎ ‎③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．‎ ‎（2）拓展应用：‎ 如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．‎ 考点：‎ 平行线的性质 专题：‎ 阅读型；分类讨论．‎ 分析：‎ ‎（1）①根据图形猜想得出所求角度数即可；‎ ‎②根据图形猜想得出所求角度数即可；‎ ‎③猜想得到三角关系，理由为：延长AE与DC交于F点，由AB与DC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再利用外角性质及等量代换即可得证；‎ ‎（2）分四个区域分别找出三个角关系即可．‎ 解答：‎ 解：（1）①∠AED=70°；‎ ‎②∠AED=80°；‎ ‎③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC，‎ 证明：延长AE交DC于点F，‎ ‎∵AB∥DC，‎ ‎∴∠EAB=∠EFD，‎ ‎∵∠AED为△EDF的外角，‎ ‎∴∠AED=∠EDF+∠EFD=∠EAB+∠EDC；‎ ‎（2）根据题意得：‎ 点P在区域①时，∠EPF=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；‎ 点P在区域②时，∠EPF=∠PEB+∠PFC；‎ 点P在区域③时，∠EPF=∠PEB﹣∠PFC；‎ 点P在区域④时，∠EPF=∠PFC﹣∠PEB．‎ 点评：‎ 此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）（2014•赤峰）阅读下列材料：‎ 如图1，圆的概念：在平面内，线段PA绕它固定的一个端点P旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．就是说，到某个定点等于定长的所有点在同一个圆上，圆心在P（a，b），半径为r的圆的方程可以写为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，如：圆心在P（2，﹣1），半径为5的圆方程为：（x﹣2）2+（y+1）2=25‎ ‎（1）填空：‎ ‎①以A（3，0）为圆心，1为半径的圆的方程为　（x﹣3）2+y2=1　；‎ ‎②以B（﹣1，﹣2）为圆心，为半径的圆的方程为　（x+1）2+（y+2）2=3　．‎ ‎（2）根据以上材料解决下列问题：‎ 如图2，以B（﹣6，0）为圆心的圆与y轴相切于原点，C是⊙B上一点，连接OC，作BD⊥OC垂足为D，延长BD交y轴于点E，已知sin∠AOC=．　　‎ ‎①连接EC，证明EC是⊙B的切线；‎ ‎②在BE上是否存在一点P，使PB=PC=PE=PO？若存在，求P点坐标，并写出以P为圆心，以PB为半径的⊙P的方程；若不存在，说明理由． ‎ 考点：‎ 圆的综合题 分析：‎ ‎（1）根据阅读材料中的定义求解；‎ ‎（2）①根据垂径定理由BD⊥OC得到CD=OD，则BE垂直平分OC，再根据线段垂直平分线的性质得EO=EC，则∠EOC=∠ECO，‎ 加上∠BOC=∠BCO，易得∠BOE=∠BCE=90°，然后根据切线的判定定理得到EC是⊙B的切线；‎ ‎②由∠BOE=∠BCE=90°，根据圆周角定理得点C和点O偶在以BE为直径的圆上，即当P点为BE的中点时，满足PB=PC=PE=PO，利用同角的余角相等得∠BOE=∠AOC，则sin∠BOE=sin∠AOC=，在Rt△BOE中，利用正弦的定义计算出BE=10，利用勾股定理计算出OE=8，则E点坐标为（0，8），于是得到线段AB的中点P的坐标为（﹣3，4），PB=5，然后写出以P（﹣3，4）为圆心，以5为半径的⊙P的方程．‎ 解答：‎ ‎（1）解：①以A（3，0）为圆心，1为半径的圆的方程为（x﹣3）2+y2=1；‎ ‎②以B（﹣1，﹣2）为圆心，为半径的圆的方程为（x+1）2+（y+2）2=3；‎ 故答案为（x﹣3）2+y2=1；（x+1）2+（y+2）2=3；‎ ‎（1）①证明：∵BD⊥OC，‎ ‎∴CD=OD，‎ ‎∴BE垂直平分OC，‎ ‎∴EO=EC，‎ ‎∴∠EOC=∠ECO，‎ ‎∵BO=BC，‎ ‎∴∠BOC=∠BCO，‎ ‎∴∠EOC+∠BOC=∠ECO+∠BCO，‎ ‎∴∠BOE=∠BCE=90°，‎ ‎∴BC⊥CE，‎ ‎∴EC是⊙B的切线；‎ ‎②存在．‎ ‎∵∠BOE=∠BCE=90°，‎ ‎∴点C和点O偶在以BE为直径的圆上，‎ ‎∴当P点为BE的中点时，满足PB=PC=PE=PO，‎ ‎∵B点坐标为（﹣6，0），‎ ‎∴OB=6，‎ ‎∵∠AOC+∠DOE=90°，∠DOE+∠BEO=90°，‎ ‎∴∠BOE=∠AOC，‎ ‎∴sin∠BOE=sin∠AOC=，‎ 在Rt△BOE中，sin∠BOE=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BE=10，‎ ‎∴OE==8，‎ ‎∴E点坐标为（0，8），‎ ‎∴线段AB的中点P的坐标为（﹣3，4），PB=5，‎ ‎∴以P（﹣3，4）为圆心，以5为半径的⊙P的方程为（x+3）2+（y﹣4）2=25．‎ 点评：‎ 本题了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、切线的判定定理、圆周角定理和等腰三角形的性质；阅读理解能力也是本题考查的重点；会运用锐角三角函数的定义和勾股定理进行几何计算．‎ ‎　‎ ‎26．（14分）（2014•赤峰）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；‎ ‎（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；‎ ‎（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题 分析：‎ ‎（1）有抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，则可设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．由与y轴交于点C（0，﹣3），则代入易得解析式，顶点易知．‎ ‎（2）求△BCM面积与△ABC面积的比，由两三角形不为同高或同底，所以考虑求解求出两三角形面积再作比即可．因为S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC，S△ABC=•AB•OC，则结论易得．‎ ‎（3）由四边形为平行四边形，则对边PQ、AC平行且相等，过Q点作x轴的垂线易得Q到x轴的距离=OC=3，又（1）得抛物线解析式，代入即得Q点横坐标，则Q点可求．‎ 解答：‎ 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），‎ ‎∵抛物线过点（0，3），‎ ‎∴﹣3=a（0+1）（0﹣3），‎ ‎∴a=1，‎ ‎∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，‎ ‎∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，‎ ‎∴M（1，4）．‎ ‎（2）如图1，连接BC、BM、CM，作MD⊥x轴于D，‎ ‎∵S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC ‎=•（3+4）•1+•2﹣4﹣•3•3‎ ‎=+﹣=3‎ S△ABC=•AB•OC=•4•3=6，‎ ‎∴S△BCM：S△ABC=3：6=1：2．‎ ‎（3）存在，理由如下：‎ ‎①如图2，当Q在x轴下方时，作QE⊥x轴于E，‎ ‎∵四边形ACQP为平行四边形，‎ ‎∴PQ平行且相等AC，‎ ‎∴△PEQ≌△AOC，‎ ‎∴EQ=OC=3，‎ ‎∴﹣3=x2﹣2x﹣3，‎ 解得 x=2或x=0（与C点重合，舍去），‎ ‎∴Q（2，﹣3）．‎ ‎②如图3，当Q在x轴上方时，作QF⊥x轴于F，‎ ‎∵四边形ACPQ为平行四边形，‎ ‎∴QP平行且相等AC，‎ ‎∴△PFQ≌△AOC，‎ ‎∴FQ=OC=3，‎ ‎∴3=x2﹣2x﹣3，‎ 解得 x=1+或x=1﹣，‎ ‎∴Q（1+，3）或（1﹣，3）．‎ 综上所述，Q点为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数图象与性质、平行四边形及坐标系中求不规则图形面积等基础考点，难度适中，适合学生练习．‎