云南省昆明市第一中学2020届高三第五次检测 数学（文）试题（扫描版含答案）

云南省昆明市第一中学2020届高三第五次检测 数学（文）试题（扫描版含答案）

·1· 2020 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B A B D A C B C C B 1. 解析：因为 ( )31 i 2 2iz = - = - - ，所以 2 2iz = - + 选 A. 2. 解析：因为集合 { }0,1A = ， { }0,1A B = ，则 B AÍ ，所以集合 B 可能的情况有{ }0 ，{ }1 ，{ }0,1 ，Æ， 共有 4 个.选 D. 3. 解析：因为 2 1 cos4 1 1( ) sin 2 cos4 2 2 2 xf x x x- = = = - ，所以 ( )f x 的最小正周期 2 4 2 T p p = = ，选 B． 4. 解析: 由 1 3 b a = 得： 2 2 2 2 2 2 11 9 b c a e a a - = = - = ，所以 10 3 e = ，选 A． 5. 解析：该几何体是由一个底面半径为1，高为3的半圆锥，和一个底面为等腰直角三角形，高为3的三棱 锥组成，所以该几何体的体积为： 21 1 1 1= ( 1 3 ( 2 1 3 1 3 2 3 2 2 V p p´ × × ´ + ´ ´ ´ ´ = +） ） ，选 B． 6. 解析： 1 2 1 3 3 3 BD BA AD BA AC BA BC= + = + = + ,所以 2 3 l = ， 1 3 m = ， 2 1 1 3 3 3 l m- = - = ，选 D. 7. 解析：画出可行域如下，可知当直线经过点 ( )1 3， 或者 ( )0，4 时取得 最大值 4，选 A. 8. 解析：由 logay x= 在 ( )0 + ¥， 上单调递减，得 0 1a< < ，由 1( ) 1 3 y a x= - - 在 (0 )+¥， 单调递减，得 1 0 3 a- < ，即 1 3 a > ，由减函 数的定义，有 1( ) 1 1 log 1 3 aa- ´ - £ ，解得 2 3 a ³ - ，所以 a 的范围是 1( 1) 3 ， ，选 C. 9. 解析： 1i = 时， ( )10 2 1 1 2 1S = + ´ + - = - ； 2i = 时， ( ) ( ) ( ) ( )22 1 2 2 1 2 1 4 1S = - + ´ + - = - + + ； 3i = 时， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32 1 4 1 2 3 1 2 1 4 1 6 1S = - + + + ´ + - = - + + + - ； …… 6i = 时， ( ) ( ) ( ) ( )2 1 4 1 6 1 12 1 2 4 12 42S = - + + + - + + + = + + + = ，所以输出 42，选 B. 10. 解析：对于 A： ( ) 2 2 2 2 2 22 2 2 2 f x x x x x = + = + + - + + 2 2 2³ - 中， 2 2 22 2 x x + = + 的等号不成立，A 错； 当 0m = 时 2 1 0mx mx+ + ³ 也成立，B 错；当 1 3 x = ， 2y = 时 1xy < 也成立，又原命题与逆否命题真假性 一致，所以 D 错；选 C. 11. 解析：两次抽取共有25结果，抽得的第 2 张卡片上的数字小于第一张卡片上的数字的共有10种，所以概 率为 10 2= 25 5 ，选 C. 12. 解析：双曲线的两个焦点分别为（ 4,0- ），（ 4,0 ），则这两点刚好是两圆的圆心，由几何性质知， 1 3PM PF£ + , 2 1PN PF³ - ,所以 1 23 1 6PM PN PF PF- £ + - + = ,选 B. 二、填空题 13. 解析：因为 ( ) 2sin cos 5 sin( )f x x x x j= - = - ，（其中 1tan 2 j = ），所以 ( )f x 的最大值为 5 ． 14. 解析：由已知可得 1 5x + < ，解得： 5 1 5x- < + < ，即 6 4x- < < ，所以 x 的取值范围是 ( )6 4- ， . 15. 解析：因为 2 2 2PA PB AB+ = ，所以PA PB^ ，同理得：PC PA^ ， PC PB^ ， 因此，以 PA， PB， PC 为同一顶点出发的正方体的八个顶点在球O的表面上， 所以 2 2 2 24 12R PA PB PC= + + = ，所以球O的表面积为12p ． 16. 解析：设 =2AB x， =BC y ，则 = =AD BD x ,在△ ACD和△BCD中由余弦定理得，cos cosADC BDCÐ =- Ð , 所以 2 2 2 24 4 4 4 4 x x x y x x + - + - = - ，所以 2 2 1 4 8 x y + = ，设 =2cosx a ，则 =2 2 siny a ，所以周长为 =8cos 2 2 sin 6 2 sin( )l a a a j+ = + ， tan 2 2j = ，检验存在a ，使得 max =6 2l ，所以最大值为6 2 . 三、解答题 （一）必考题 17. 解：（1）设{ }na 的公比为 q ，若 1q = ，则 4 1 24 10S a S= ¹ ，所以 1q ¹ 由 4 210S S= ，得 4 2 1 1(1 ) (1 )10 1 1 a q a q q q - - = ´ - - ， 21 10q+ = ， 2 9q = ， 3q = ± ， 当 3q = 时， 13n na -= ，当 3q = - 时， 1( 3)n na -= - . ………6 分 ·2· E A1 B1 A C B D C1 （2）当 13n na -= 时， 1 3 364 1 3 m mS - = = - ，解得 6m = ， 当 1( 3)n na -= - 时， 1 ( 3) 364 1 ( 3) m mS - - = = - - ， ( 3) 1455m- = - ，m 无正整数解， 所以 6m = . ………12 分 18. （1）证明：因为 1 1 1ABC A B C- 为直三棱柱， 所以 BC ∥ 1 1B C ，且 1 1BC B C= ，又因为四边形 ABCD为平行四边形， 所以 BC ∥ AD ，且 BC AD= ，所以 AD ∥ 1 1C B ，且 1 1AD C B= ， 所以四边形 1 1ADC B 为平行四边形，所以 A， D ， 1C ， 1B 四点共面； 因为 1AA AC= ，又 1AA ^平面 ABCD， 所以 1AA AC^ ，所以四边形 1 1A ACC 为 正方形，连接 1AC 交 1A C 于 E ， 所以 1 1AC AC^ ，在 ADCD 中， 2CD AD= ， 60ADCÐ = ， 由余弦定理得 2 2 2 2 cos60AC AD CD AD CD= + - × ， 所以 3AC AD= ，所以 2 2 2CD AC AD= + ，所以 AD AC^ ，又 1AA AD^ ， 所以 AD ^平面 1 1A ACC ，所以 1AD A C^ ， 又因为 !AD AC A= ，所以 1AC ^平面 11ADC B ； 所以 1 1AC DC^ . ………6分 （2）解：由（1）知： 1AC ^平面 1 1ADC B ， 在 Rt △ DAC 中，由已知得 3AC = ，所以 2 3 6 2 2 CE ´ = = ， 所以四棱锥 1 1C ADC B- 的体积 1 1 1 3 V AD AC CE= × × = ； 因为 BC ∥ AD ，所以点M 到平面 1 1ADC B 的距离为定值， 即为点C 到平面 1 1ADC B 的距离 6 2 CE = . ………12 分 19. 解：（1）0.005 10 0.010 0 0.025 10 10 0.020 10 1a´ + ´ + ´ + ´ + ´ = ，解得 0.040a = ．……3 分 由频率分布直方图，该品种花苗综合评分的平均值估计为 55 0.05 65 0.1 75 0.25 85 0.4 95 0.02=81x = ´ + ´ + ´ + ´ + ´ ．………6 分 （2）频率分布直方图，优质花苗的频率为 (0.04 0.02) 10 0.6+ ´ = ，则样本中优质花苗的株数为 60 株，列 联表如下表所示： 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 20 30 50 乙培育法 40 10 50 合计 60 40 100 可得 2 2 100(20 10 30 40) 16.667 6.635 60 40 50 50 K ´ - ´ = » > ´ ´ ´ ． 所以，有 99%的把握认为优质花苗与培育方法有关系．………12 分 20. 解：(1) 设 ( , )M x y ，由条件可知 2 2 2 2 ( 1) 2 2( 2) x y x y - + = - + ，即 2 2 2 22( 1) 2 ( 2)x y x y- + = - + ， 所以曲线 2 2: 2E x y+ = .………4分 (2)当 PQ所在直线斜率不存在时，其方程为： 2x = ± ， 此时 2 2PQ = ， 当 PQ所在直线斜率存在时，设其方程为： y kx m= + ， 设 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y ， ( )0,0O 到直线 PQ的距离d r= ，即 2 2 1 m k = + ，所以 2 22 2m k= + . 直线 PQ与椭圆C 联立 2 2 1 6 3 x y y kx m ì + =ï í ï = +î ，得 ( )2 2 22 1 4 2 6 0k x kmx m+ + + - = ， 所以 1 2 2 2 1 2 2 4 2 1 2 6 2 1 mkx x k mx x k -ì + =ïï + í -ï =ï +î ， ·3· 所以 ( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 1 2 1 2 2 2 16 4(2 1)(2 6)1 4 ( 1) (2 1) k m k mPQ k x x x x k k é ù- + -é ù= + + - = + ê úë û +ë û ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 48 8 24 4 1( 1) 2 2( 1) (2 1) (2 1) k m kk k k k é ù- + + = + = +ê ú+ +ë û ，令 22 1 1t k= + ³ ， ( ]1 0,1 t Î 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 1 1 12( 1) 2 (2 1) k t tz k k t t t + + - - = + = = + + + ， 因为 ( ]1 0,1 t Î ，所以 92 4 z é ùÎ ê úë û ， ， 所以 2 2 3PQ é ùÎ ë û， ，所以 2 3 22, 2 2OPQS PQ é ù = Îê ú ë û V .………12 分 21. 解：（1）因为 ( )' e 1xu x = - 为增函数，又 ( )' 0 0u = ， 当 0x < 时， ( )' 0u x < ，当 0x > 时， ( )' 0u x > ， 故 ( )u x 在 ( ,0)-¥ 上单调递减，在 (0, )+¥ 上单调递增， 则 ( ) ( )0 0u x u³ = ，故当且仅当 0x = 时， ( )u x 取得最小值0 ； ………6 分 （2） ( ) ( )' e 2e 2x xf x x= - - ，构造函数 ( ) 2e 2xg x x= - - ，则 ( )' 2e 1xg x = - ， 又 ( )'g x 在R 上单调递增，且 ( )' ln 2 0g - = ， 故当 ln 2x < - 时， '( ) 0g x < ，当 ln 2x > - 时， '( ) 0g x > ， 则 ( )g x 在 ( , ln 2)-¥ - 上单调递减，在 ( ln 2, )- +¥ 上单调递增， 又 ( )0 0g = ， ( ) 2 22 0 e g - = > ， ( ) 21 1 0 e g - = - < ， 结合零点存在性定理知，存在唯一实数 0 ( 2, 1)x Î - - ，使得 ( )0 0g x = ， 当 0x x< 时， ( )' 0f x > ，当 0 0x x< < 时， ( )' 0f x < ，当 0x > 时， ( )' 0f x > ， 故 ( )f x 在 ( )0, x-¥ 单调递增，在 ( )0 , 0x 单调递减，在 ( )0,+¥ 单调递增， 故 ( )f x 存在唯一极大值点 0x ，因为 ( ) 0 0 02e 2 0xg x x= - - = ，所以 0 0e 1 2 x x = + ， 故 ( ) ( ) ( ) ( )0 0 2 22 0 0 0 0 0 0 1 1 1e 1 e 1 1 1 1 2 2 4 4 4 x x x xf x x x xæ ö æ ö= - + = + - + + = - + <ç ÷ ç ÷ è ø è ø . ………12 分 （二）选考题：第 22、23 题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。 22. 解: （1）由直线 l 的参数方程可知，直线 l 的倾斜角为 5 6 p ；将圆C 的极坐标方程 4cos( ) 3 p r q= - 化简得 2cos 2 3sinr q q= + ，两边乘 r 得， 2 2 cos 2 3 sinr r q r q= + ，将 2 2 2x yr = + ， cos xr q = ， sin yr q = 代入并化简整理可得圆C 的直角坐标方程为 2 2( 1) ( 3) 4x y- + - = . ………5分 （2） 设 1 2cos ( ) 3 2sin x y q q q = +ìï í = +ïî 为参数 ， 则 3x y+ = 2 3sin 2cos 4 4sin( ) 4 6 p q q q+ + = + + ，由 1 sin( ) 1 6 p q- £ + £ 可得， 0 3 8x y£ + £ ，即 3 [0,8]x y+ Î . ………10分 23. 解: （1） 当 1a = 时, ( ) 1 3f x x x= + + - ， 即 2 2( 1) ( ) 4( 1 3) 2 2( 3) x x f x x x x - + £ -ì ï= - < <í ï - ³î 当 1x £ - 时， 由 2 2 5x- + < 解得 3 2 x > - ， 所以 3 1 2 x- < £ - ； 当 1 3x- < < 时， 不等式恒成立， 所以 1 3x- < < ； 当 3x ³ 时，由2 2 5x - < 解得 7 2 x < ；所以 73 2 x£ < . 综上，不等式 ( ) 5f x < 的解集为 3 7 2 2 x xì ü - < <í ý î þ . ………5分 （2） 因为 2( ) 2 5f x x a x a= + + + - 2 22 5 2 5x a x a a a³ + - - + = - + ， 所以， 2 2 5 5a a- + < , 解得0 2a< < . ………10分