山东省淄博市第七中学2020届高三一模考试数学试卷

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山东省淄博市第七中学2020届高三一模考试数学试卷

数学试卷 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ l.已知集合,则 A.{1,2} B.{1,-2} C.{-1,2} D.{-1,-2}‎ ‎2.复数的实部与虚部相等,其中为虚数单位,则实数 A.3 B. C. D.‎ ‎3.设,命题“存在m>0,使方程有实根”的否定是 A.任意m>0,使方程无实根 B.任意m≤0,使方程有实根 C.存在m>0,使方程无实根 D.存在m≤0,使方程有实根 ‎4. 的展开式中的系数是,则实数m=‎ A.2 B.1 C. D.‎ ‎5.函数上为增函数,则的值可以是 A.0 B. C. D.‎ ‎6.若圆锥轴截面面积为,母线与底面所成角为60°,则体积为 A. B. C. D. ‎ ‎7.‎2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”,某医院开展扶贫日“送医下乡”‎ 医疗义诊活动,现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中,医生甲被指定分配到医院A,医生乙只能分配到医院A或医院B,医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院,其他两名医生分配到哪所医院都可以,若每所医院至少分配一名医生,则不同的分配方案共有 A.18种 B.20种 C.22种 D.24种 ‎8.在中,,若,则实数 A. B. C. D. ‎ 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。‎ ‎9.已知抛物线上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和,则p的值可以是 A.2 B.6 C.4 D.8‎ ‎10.在正方体中,P,Q分别为棱BC和棱的中点,则下列说法正确的是 A. 平面AQP B.平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形 C. 平面AQP D.异面直线QP与所成的角为 ‎11.居民消费价格指数(Consumer Price Index,简称CPI),是度量居民生活消费品和服务价格水平随着时间变动的相对数,综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况.下图为国家统计局于2020年4月公布的2019年3月至2020年3月CPI数据同比和环比涨跌幅折线图:‎ ‎(注:同比=,同比涨跌幅=,环比=,环比涨跌幅=)‎ 则下列说法正确的是 A.2019年12月与2018年12月CPI相等 B.2020年3月比2019年3月CPI上涨4.3%‎ C.2019年7月至2019年11月CPI持续增长 D.2020年1月至2020年3月CPI持续下降 ‎12.已知函数是R上的奇函数,对于任意,都有成立,当时,,给出下列结论,其中正确的是 A. ‎ B.点是函数的图象的一个对称中心 C.函数在上单调递增 D.函数在上有3个零点 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.曲线在点处的切线方程是___________.‎ ‎14.记为数列的前项和,若,则___________.‎ ‎15.如图,分别是双曲线的左、右顶点,以实轴为直径的半圆交其中一条渐近线于点M,直线交另一条渐近线于点N,若,则___________,若为双曲线右焦点,则的周长为_________.(本题第一空2分,第二空3分)‎ ‎16.某校为了解家长对学校食堂的满意情况,分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分,其频数分布表如下:‎ 根据评分,将家长的满意度从低到高分为三个等级:‎ 假设两个年级家长的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取1名家长,记事件A:“高一家长的满意度高于高二家长的满意度等级”,则事件A发生的概率为__________.‎ 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(10分)等差数列中,分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数不在下表的同一列.‎ ‎(1)请选择一个可能的组合,并求数列的通项公式;‎ ‎(2)记(1)中您选择的的前项和为,判断是否存在正整数k,使得成等比数列,若有,请求出k的值;若没有,请说明理由.‎ ‎18.(12分)‎ 如图,在直线,,点M在线段AB上.‎ ‎(1)若,求CM的长;‎ ‎(2)点N是线段CB上一点,,求BM+BN的值.‎ ‎19.(12分)‎ 如图所示,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,为PC的中点,F为棱BC上的一点。‎ ‎(1)证明:面面ABCD;‎ ‎(2)当F为BC中点时,求二面角余弦值.‎ ‎20.(12分)‎ 根据国家统计局数据,1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元,实际增长了242倍多,综合国力大幅提升.‎ 将年份1978,1988,1998,2008,2018分别用1,2,3,4,5代替,并表示为t;y表示全国GDP总量,表中.‎ ‎(1)根据数据及统计图表,判断(其中e=2.718…为自然对数的底数)哪一个更适宜作为全国GDP总量y关于t的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由),并求出y关于t的回归方程;‎ ‎(2)使用参考数据,估计2020年的全国GDP总量.‎ 线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:‎ ‎.‎ 参考数据:‎ ‎21.(12分)‎ 已知椭圆的短轴长为,左右焦点分别为,点B是椭圆上位于第一象限的任一点,且当时,.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若椭圆C上点A与点B关于原点O对称,过点B作BD垂直于x轴,垂足为D,连接AD并延长交C于另一点M,交y轴于点N.‎ ‎(i)求面积最大值;(ii)证明:直线AB与BM斜率之积为定值.‎ ‎22.(12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)当时,不等式恒成立,求的最小值;‎ ‎(2)设数列,其前n项和为,证明:.‎ 数学试题参考答案及评分标准 一、单英选择题:1-8 CBAC DDBD 二、多项选择题:9.AC 10.ABD 11.BC 12.AB 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分 ‎13.;14. ;15.3、;‎16.0.42‎.‎ 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(10分)‎ 解:(1)由题意可知:有两种组合满足条件:‎ ‎①,此时等差数列,……………………2分 所以其通项公式为 . …………………………4分 ‎②,此时等差数列,,……………………2分 所以其通项公式为. ……………………………4分 ‎(2)若选择①,. ………………………………5分 则.……………………………………6分 若成等比数列,则,…………………………………………7分 即,整理,得,‎ ‎ ………………………………9分 此方程无正整数解,故不存在正整数k,使成等比数列.…………………10分 若选择②,, ……………………………5分 则, ……………………………6分 若成等比数列,则, ……………………………7分 即,整理得,因为k为正整数,所以k=6.‎ ‎ ……………………………9分 故存在正整数,使成等比数列. …………………………10分 ‎18.(12分)‎ 解:(1)在中,已知,由正弦定理,得 ‎,……………………………………………………………2分 于是,解得.…………………………………………4分 ‎(2)因为,所以,‎ 解得 . ……………………………………6分 在中,由余弦定理得,‎ ‎,‎ ‎ ……………………………………9分 即,‎ ‎,………………………………………………11分 故. ……………………………………………………………12分 ‎19.(12分)‎ 证明:(1)因为底面ABCD为正方形,所以AD=AB=8‎ 又因为,满足,‎ 所以 又面ABCD,面ABCD,‎ ‎,‎ 所以面ABCD. …………………………4分 又因为面PAF,所以,面面ABCD.………………………………………5分 ‎(2)由(1)知AB,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,以AB,AD,AP分别为轴建系如图所示,‎ 则则,‎ 所以,…………7分 设面ANF法向量为,则由,‎ 令;…………………………………9分 同理可得,面PBC的法向量为,………………………………………10分 所以,‎ 所以二面角余弦值为.……………………………………………12分 ‎20.(12分)‎ 解:(1)根据数据及图表可以判断,‎ 更适宜作为全国GDP总量y关于t的回归方程. …………………………2分 对两边取自然对数得,令,‎ 得. …………………………………………3分 因为, ………………………………………5分 所以,………………………………………7分 所以z关于t的线性回归方程为,‎ 所以y关于t的回归方程为. ………………………8分 ‎(2)将代入,其中,…………10分 于是2020年的全国GDP总量约为:万亿元.…………………12分 ‎21.(12分)‎ 解:(1)设,由,得.‎ 将代入,得,………………………2分 由,解得,………………………………………………………………3分 所以椭圆C的标准方程为. ……………………………………………4分 ‎(2)设,则 ‎(i)易知ON为的中位线,所以,‎ 所以,………………………………………5分 又满足,所以 ‎,得,……………………………………6分 故,当且仅当,即时取等号,‎ 所以面积最大值为. …………………………………………………………7分 ‎(ii)记直线AB斜率为,则直线AD斜率为,所以直线AD方程为. ………………………………………8分 由,得,……………………9分 由韦达定理得,所以,代入直线AD方程,得,…………………………………………………………………11分 于是,直线BM斜率,‎ 所以直线AB与BM斜率之积为定值. ………………………………………12分 ‎22.(12分)‎ 解:(1)由,得.………2分 当时,方程的,因式在区间上恒为负数.所以时,,函数在区间上单调递减.又,所以函数在区间上恒成立; ……………………3分 当时,方程有两个不等实根,且满足,‎ 所以函数的导函数在区间上大于零,函数在区间上单增,又,所以函数在区间上恒大于零,不满足题意; ………………………………………………………………4分 当时,在区间,函数在区间上恒为正数,所以在区间上恒为正数,不满足题意;…………5分 综上可知:若时,不等式恒成立,的最小值为. …………6分 ‎(2)由第(1)知:若时,. …………7分 若,则,即 成立. …………………………………………8分 将换成,得成立,即 ‎,‎ 以此类推,得,……………………‎ 上述各式相加,得 ‎, ……………………10分 又, …………………………11分 所以. ……………………………12分
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