全国中考数学压轴题分类解析汇编专题1动点问题

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全国中考数学压轴题分类解析汇编专题1动点问题

‎2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题1:动点问题 ‎25. (2012吉林长春10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=‎8cm,BC=‎4cm,D、E分别为边AB、BC的中点,连结DE,点P从点A出发,沿折线AD-DE-EB运动,到点B停止.点P在AD上以cm/s的速度运动,在折线DE-EB上以‎1cm/s的速度运动.当点P与点A不重合时,过点P作 PQ⊥AC于点Q,以PQ为边作正方形PQMN,使点M落在线段AC上.设点P的运动时间为t(s).‎ ‎(1)当点P在线段DE上运动时,线段DP的长为______cm,(用含t的代数式表示).‎ ‎(2)当点N落在AB边上时,求t的值.‎ ‎(3)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时,设五边形的面积为S(cm²),求S与t的函数关系式.‎ ‎(4)连结CD.当点N于点D重合时,有一点H从点M出发,在线段MN上以‎2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动,直至点P与点E重合时,点H停止往返运动;当点P在线段EB上运动时,点H始终在线段MN的中心处.直接写出在点P的整个运动过程中,点H落在线段CD上时t的取值范围.‎ ‎【答案】解:(1)t-2。‎ ‎(2)当点N落在AB边上时,有两种情况:‎ ‎ ①如图(2)a,当点N与点D重合时,此时点P在DE上,DP=2=EC,即t-2=2,t=4。‎ ‎ ②如图(2)b,此时点P位于线段EB上.‎ ‎∵DE=1 ‎2 AC=4,∴点P在DE段的运动时间为4s,‎ ‎∴PE=t-6,∴PB=BE-PE=8-t,PC=PE+CE=t-4。‎ ‎∵PN∥AC,∴△BNP∽△BAC。∴PN:AC = PB:BC=2,∴PN=2PB=16-2t。‎ 由PN=PC,得16-2t=t-4,解得t=。‎ 综上所述,当点N落在AB边上时,t=4或t=。‎ ‎(3)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时,有两种情况:‎ ‎①当2<t<4时,如图(3)a所示。‎ DP=t-2,PQ=2,∴CQ=PE=DE-DP=4-(t-2)=6-t,AQ=AC-CQ=2+t,AM=AQ-MQ=t。‎ ‎∵MN∥BC,∴△AFM∽△ABC。∴FM:BC = AM:AC=1:2,即FM:AM=BC:AC=1:2。‎ ‎∴FM=AM=t.‎ ‎ ∴‎ ‎ 。‎ ‎②当<t<8时,如图(3)b所示。‎ PE=t-6,∴PC=CM=PE+CE=t-4,AM=AC-CM=12-t,PB=BE-PE=8-t,‎ ‎∴FM=AM=6-t,PG=2PB=16-2t,‎ ‎∴‎ ‎ 。‎ 综上所述,S与t的关系式为:。‎ ‎(4)在点P的整个运动过程中,点H落在线段CD上时t的取值范围是:t=或t=5或 ‎6≤t≤8。‎ ‎【考点】动点问题上,相似形综合题,勾股定理,相似三角形的判定和性质,梯形和三角形的面积。‎ ‎【分析】(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=‎8cm,BC=‎4cm,∴由勾股定理得AB=cm。‎ ‎ ∵D为边AB的中点,∴AD=cm。‎ ‎ 又∵点P在AD上以cm/s的速度运动,∴点P在AD上运动的时间为2s。‎ ‎ ∴当点P在线段DE上运动时,在线段DP上的运动的时间为t-2s。‎ ‎ 又∵点P在DE上以‎1cm/s的速度运动,∴线段DP的长为t-‎2 cm。‎ ‎(2)当点N落在AB边上时,有两种情况,如图(2)所示,利用运动线段之间的数量关系求出时间t的值。‎ ‎(3)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时,有两种情况,如图(3)所示,分别用时间t表示各相关运动线段的长度,然后利用求出面积S的表达式。‎ ‎(4)本问涉及双点的运动,首先需要正确理解题意,然后弄清点H、点P的运动过程:‎ 依题意,点H与点P的运动分为两个阶段,如下图所示:‎ ‎①当4<t<6时,此时点P在线段DE上运动,如图(4)a所示。‎ 此阶段点P运动时间为2s,因此点H运动距离为2.5×2=‎5cm,而MN=2,‎ 则此阶段中,点H将有两次机会落在线段CD上:‎ 第一次:此时点H由M→H运动时间为(t-4)s,运动距离MH=2.5(t-4),‎ ‎∴NH=2-MH=12-2.5t。‎ 又DP=t-2,DN=DP-2=t-4,‎ 由DN=2NH得到:t-4=2(12-2.5t),解得t=。‎ 第二次:此时点H由N→H运动时间为t-4-=(t-4.8)s,运动距离NH=2.5(t-4.8)=2.5t-12,‎ 又DP=t-2,DN=DP-2=t-4,‎ 由DN=2NH得到:t-4=2(2.5t-12),解得t=5。‎ ‎②当6≤t≤8时,此时点P在线段EB上运动,如图(4)b所示。‎ 由图可知,在此阶段,始终有MH=MC,即MN与CD的交点始终为线段MN的中点,即点H。‎ 综上所述,在点P的整个运动过程中,点H落在线段CD上时t的取值范围是:t=或t=5或6≤t≤8。‎ ‎26. (2012黑龙江哈尔滨10分)如图,在平面直角坐标系中,点0为坐标原点,直线y=2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,四边形ABCO是平行四边形,直线y=-x+m经过点C,交x轴于点D.‎ ‎(1)求m的值;‎ ‎(2)点P(0,t)是线段OB上的一个动点(点P不与0,B两点重合),过点P作x轴的平行线,分别交AB,‎0c,DC于点E,F,G.设线段EG的长为d,求d与t之间的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围); (3)在(2)的条件下,点H是线段OB上一点,连接BG交OC于点M,当以OG为直径的圆经过点M时,恰好使∠BFH=∠ABO.求此时t的值及点H的坐标.‎ ‎【答案】解:(1)如图,过点C作CK⊥x轴于K,‎ ‎∵y=2x+4交x轴和y轴于A,B,‎ ‎∴A(-2,0)B(0,4)。∴OA=2,OB=4。‎ ‎∵四边形ABCO是平行四边形,∴BC=OA=2 。‎ 又∵四边形BOKC是矩形,‎ ‎∴OK=BC=2,CK=OB=4。∴C(2,4)。‎ 将C(2,4)代入y=-x+m得,4=-2+m,解得m=6。‎ ‎(2)如图,延长DC交y轴于N,分别过点E,G作x轴的垂线 垂足分别是R,Q,则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形。‎ ‎∴ER=PO=CQ=1。‎ ‎∵,即,∴AR=t。‎ ‎∵y=-x+6交x轴和y轴于D,N,∴OD=ON=6。‎ ‎∴∠ODN=45°。‎ ‎∵,∴DQ=t。‎ 又∵AD=AO+OD=2+6=8,∴EG=RQ=8-t-t=8-t。‎ ‎∴d=-t+8(0<t<4)。‎ ‎(3)如图,∵四边形ABCO是平行四边形,‎ ‎∴AB∥OC。∴∠ABO=∠BOC。‎ ‎∵BP=4-t,‎ ‎∴。‎ ‎∴EP=。‎ 由(2)d=-t+8,∴PG=d-EP=6-t。‎ ‎∵以OG为直径的圆经过点M,∴∠OMG=90°,∠MFG=∠PFO。∴∠BGP=∠BOC。‎ ‎∴。∴,解得t=2。‎ ‎∵∠BFH=∠ABO=∠BOC,∠OBF=∠FBH,∴△BHF∽△BFO。‎ ‎∴,即BF2=BH•BO。‎ ‎∵OP=2,∴PF=1,BP=2。∴。‎ ‎∴=BH×4。∴BH=。∴HO=4-。‎ ‎∴H(0,)。‎ ‎【考点】一次函数综合题,直线上点的坐标与方程的关系,平行四边形和矩形的性质,平行的性质,锐角三角函数定义,勾股定理,圆周角定理,相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据直线y=2x+4求出点A、B的坐标,从而得到OA、OB的长度,再根据平行四边形的对边相等求出BC的长度,过点C作CK⊥x轴于K,从而得到四边形BOKC是矩形,根据矩形的对边相等求出KC的长度,从而得到点C的坐标,然后把点C的坐标代入直线即可求出m的值。‎ ‎(2)延长DC交y轴于N分别过点E,G作x轴的垂线 垂足分别是R,Q则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形,再利用∠BAO的正切值求出AR的长度,利用∠ODN的正切值求出DQ的长度,再利用AD的长度减去AR的长度,再减去DQ的长度,计算即可得解。‎ ‎(3)根据平行四边形的对边平行可得AB∥OC,再根据平行线内错角相等求出∠ABO=∠BOC,用t表示出BP,再根据∠ABO与∠BOC的正切值相等列式求出EP的长度,再表示出PG的长度,然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠OMC=90°,根据直角推出∠BGP=∠BOC,再利用∠BGP与∠BOC的正切值相等列式求解即可得到t的值;先根据加的关系求出∠OBF=∠FBH,再判定△BHF和△BFO相似,根据相似三角形对应边成比例可得,再根据t=2求出OP=2,PF=1,BP=2,利用勾股定理求出BF的长度,代入数据进行计算即可求出BH的值,然后求出HO的值,从而得到点H的坐标。‎ ‎27. (2012湖南永州10分)在△ABC中,点P从B点开始出发向C点运动,在运动过程中,设线段AP的长为y,线段BP的长为x(如图甲),而y关于x的函数图象如图乙所示.Q(1,)是函数图象上的最低点.请仔细观察甲、乙两图,解答下列问题.‎ ‎(1)请直接写出AB边的长和BC边上的高AH的长;‎ ‎(2)求∠B的度数;‎ ‎(3)若△ABP为钝角三角形,求x的取值范围.‎ ‎【答案】解:(1)AB=2;AH=。‎ ‎(2)在Rt△ABH中,AH=,BH=1,tan∠B=,∴∠B=60°。‎ ‎(3)①当∠APB为钝角时,此时可得x<1;‎ ‎②当∠BAP为钝角时,‎ 过点A作AP⊥AB交BC于点P。‎ 则,∴当4<x≤6时,∠BAP为钝角。‎ 综上所述,当x<1或4<x≤6时,△ABP为钝角三角形。‎ ‎【考点】动点问题的函数图象,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】(1)当x=0时,y的值即是AB的长度,故AB=2;,图乙函数图象的最低点的y值是AH的值,故AH=。‎ ‎(2)当点P运动到点H时,此时BP(H)=1,AH=,在Rt△ABH中,可得出∠B的度数。‎ ‎(3)分两种情况进行讨论,①∠APB为钝角,②∠BAP为钝角,分别确定x的范围即可。 ‎ ‎28. (2012湖南衡阳10分)如图,A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动,速度为每秒3个单位长度,点Q由A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O作匀速直线运动,速度为每秒2个单位长度,连接PQ,若设运动时间为t(0<t<)秒.解答如下问题:‎ ‎(1)当t为何值时,PQ∥BO?‎ ‎(2)设△AQP的面积为S,‎ ‎①求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;‎ ‎②若我们规定:点P、Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则新坐标(x2﹣x1,y2﹣y1)称为“向量PQ”的坐标.当S取最大值时,求“向量PQ”的坐标.‎ ‎【答案】解:(1)∵A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),则OB=6,OA=8。‎ ‎∴。‎ 如图①,当PQ∥BO时,AQ=2t,BP=3t,则AP=10﹣3t。‎ ‎∵PQ∥BO,∴,即,解得t=。‎ ‎∴当t=秒时,PQ∥BO。‎ ‎(2)由(1)知:OA=8,OB=6,AB=10.‎ ‎①如图②所示,过点P作PD⊥x轴于点D,则PD∥BO。‎ ‎∴△APD∽△ABO。‎ ‎∴,即,解得PD=6﹣t。‎ ‎∴。‎ ‎∴S与t之间的函数关系式为:S=(0<t<)。‎ ‎∴当t=秒时,S取得最大值,最大值为5(平方单位)。‎ ‎②如图②所示,当S取最大值时,t=,‎ ‎∴PD=6﹣t=3,∴PD=BO。‎ 又PD∥BO,∴此时PD为△OAB的中位线,则OD=OA=4。∴P(4,3)。‎ 又AQ=2t=,∴OQ=OA﹣AQ=,∴Q(,0)。‎ 依题意,“向量PQ”的坐标为(﹣4,0﹣3),即(,﹣3).‎ ‎∴当S取最大值时,“向量PQ”的坐标为(,﹣3)。‎ ‎【考点】动点问题,平行线分线段成比例,二次函数的最值,勾股定理,三角形中位线定理。‎ ‎【分析】(1)如图①所示,当PQ∥BO时,利用平分线分线段成比例定理,列线段比例式,求出t的值。‎ ‎(2)①求S关系式的要点是求得△AQP的高,如图②所示,过点P作过点P作PD⊥x轴于点D,构造平行线PD∥BO,由△APD∽△ABO得 求得PD,从而S可求出.S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数,利用二次函数求极值的方法求出S的最大值。‎ ‎②求出点P、Q的坐标:当S取最大值时,可推出此时PD为△OAB的中位线,从而可求出点P的纵横坐标,又易求Q点坐标,从而求得点P、Q的坐标;求得P、Q的坐标之后,代入“向量PQ”坐标的定义(x2﹣x1,y2﹣y1),即可求解。‎ ‎29. (2012湖南株洲8分)如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=‎5米,AC=‎12米.M点在线段CA上,从C向A运动,速度为‎1米/秒;同时N点在线段AB上,从A向B运动,速度为‎2米/秒.运动时间为t秒.‎ ‎(1)当t为何值时,∠AMN=∠ANM?‎ ‎(2)当t为何值时,△AMN的面积最大?并求出这个最大值.‎ ‎【答案】解:(1)∵从C向A运动,速度为‎1米/秒;同时N点在线段AB上,从A向B运动,速度为‎2米/秒,运动时间为t秒,‎ ‎∴AM=12﹣t,AN=2t。‎ ‎∵∠AMN=∠ANM,∴AM=AN,即12﹣t=2t,解得:t=4 秒。‎ ‎∴当t为4时,∠AMN=∠ANM。 ‎ ‎ (2)如图作NH⊥AC于H,‎ ‎∴∠NHA=∠C=90°。∴NH∥BC。‎ ‎∴△ANH∽△ABC。‎ ‎∴,即。∴NH=。‎ ‎∴。‎ ‎∴当t=6时,△AMN的面积最大,最大值为。‎ ‎【考点】动点问题,相似三角形的判定和性质,二次函数的最值。‎ ‎【分析】(1)用t表示出AM和AN的值,根据AM=AN,得到关于t的方程求得t值即可。‎ ‎ (2)作NH⊥AC于H,证得△ANH∽△ABC,从而得到比例式,然后用t表示出NH,从而计算其面积得到有关t的二次函数求最值即可。‎ ‎30. (2012湖南湘潭10分)如图,在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,AC=AB,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合),过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点.‎ ‎(1)如图1,求证:△PCD∽△ABC;‎ ‎(2)当点P运动到什么位置时,△PCD≌△ABC?请在图2中画出△PCD并说明理由;‎ ‎(3)如图3,当点P运动到CP⊥AB时,求∠BCD的度数.‎ ‎【答案】解:(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°。‎ ‎∵PD⊥CD,∴∠D=90°。∴∠D=∠ACB。‎ ‎∵∠A与∠P是所对的圆周角,∴∠A=∠P,∴△PCD∽△ABC。‎ ‎(2)当PC是⊙O的直径时,△PCD≌△ABC。理由如下:‎ ‎∵AB,PC是⊙O的半径,∴AB=PC。‎ ‎∵△PCD∽△ABC,∴△PCD≌△ABC。‎ 画图如下:‎ ‎(3)∵∠ACB=90°,AC=AB,∴∠ABC=30°。‎ ‎∵△PCD∽△ABC,∴∠PCD=∠ABC=30°。‎ ‎∵CP⊥AB,AB是⊙O的直径,∴。∴∠ACP=∠ABC=30°。‎ ‎∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°。‎ ‎【考点】圆周角定理,全等三角形的判定,垂径定理,相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)由AB是⊙O的直径,根据直径对的圆周角是直角,即可得∠ACB=90°,又由PD⊥CD,可得∠D=∠ACB,又由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可得∠A=∠P,根据有两角对应相等的三角形相似,即可判定:△PCD∽△ABC。‎ ‎(2)由△PCD∽△ABC,可知当PC=AB时,△PCD≌△ABC,利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得。‎ ‎(3)由∠ACB=90°,AC=AB,可求得∠ABC的度数,然后利用相似,即可得∠PCD的度数,又由垂径定理,求得,然后利用圆周角定理求得∠ACP的度数,从而求得答案。‎ ‎31. (2012福建漳州14分)如图,在OABC中,点A在x轴上,∠AOC=60o,OC=‎4cm.OA=‎8cm.动 点P从点O出发,以‎1cm/s的速度沿线段OA→AB运动;动点Q同时从点O出发,以 acm/s的速度沿线段OC→CB运动,其中一点先到达终点B时,另一点也随之停止运动.‎ ‎ 设运动时间为t秒.‎ ‎ (1)填空:点C的坐标是(______,______),对角线OB的长度是_______cm;‎ ‎(2)当a=1时,设△OPQ的面积为S,求S与t的函数关系式,并直接写出当t为何值时,S的值最大? ‎ ‎ (3)当点P在OA边上,点Q在CB边上时,线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似,求a与t的函数关系式,并直接写出t的取值范围.‎ ‎【答案】解:(1)C(2,2),OB=‎4cm。 ‎ ‎ (2)①当0 0 )。 ‎ ‎(1)连接DP ,经过1 秒后,四边形EQDP能够成为平行四边形吗?请说明理由;‎ ‎(2)连接PQ ,在运动过程中,不论t 取何值时,总有线段PQ与线段AB平行。为什么?‎ ‎(3)当t 为何值时,△EDQ为直角三角形。‎ ‎【答案】解:(1)不能。理由如下:‎ ‎ 假设经过t秒时四边形EQDP能够成为平行四边形。‎ ‎ ∵点P的速度为‎1 厘米/秒,点Q 的速度为1 . ‎25 厘米/秒,‎ ‎ ∴AP=t厘米,BQ=1.25t厘米。‎ ‎ 又∵PE∥BC,∴△AEP∽△ADC。∴。‎ ‎∵AC=‎4厘米,BC=‎5厘米,CD=‎3厘米,‎ ‎∴,解得,EP=0.75t厘米。‎ 又∵,‎ ‎∴由EP=QD得,解得。‎ ‎∴只有时四边形EQDP才能成为平行四边形。‎ ‎∴经过1 秒后,四边形EQDP不能成为平行四边形。‎ ‎(2)∵AP=t厘米,BQ=1.25t厘米,AC=‎4厘米,BC=‎5厘米,‎ ‎ ∴。∴。‎ ‎ 又∵∠C=∠C,∴△PQC∽△ABC。∴∠PQC=∠B。∴PQ∥AB。‎ ‎ ∴在运动过程中,不论t 取何值时,总有线段PQ与线段AB平行。‎ ‎(3)分两种情况讨论:‎ ‎①当∠EQD=90°时,显然有EQ=PC=4-t,DQ=1.25t-2‎ 又∵EQ∥AC,∴△EDQ∽△ADC。‎ ‎∴,即,‎ 解得。‎ ‎②当∠QED=90°时,‎ ‎∵∠CDA=∠EDQ,∠QED=∠C=90°,∴△EDQ∽△CDA。‎ ‎∴。‎ Rt△EDQ斜边上的高为4-t,Rt△CDA斜边上的高为2.4,‎ ‎∴,解得t =3.1。‎ 综上所述,当t为2.5秒或3.1秒时,△EDQ为直角三角形。‎ ‎【考点】动点问题,平行四边形的判定,相似三角形的判定和性质,平行的判定,直角三角形的判定。‎ ‎【分析】(1)不能。应用相似三角形的判定和性质,得出只有时四边形EQDP才能成为平行四边形的结果,从而得出经过1 秒后,四边形EQDP不能成为平行四边形的结论。‎ ‎(2)由△PQC∽△ABC得∠PQC=∠B,从而得到在运动过程中,不论t 取何值时,总有线段PQ与线段AB平行的结论。‎ ‎(3)分∠EQD=90°和∠QED=90°两种情况讨论即可。‎ ‎36. (2012河南省11分)如图,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于A,B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3。点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A,B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB与点C,作PD⊥AB于点D ‎(1)求a,b及的值 ‎(2)设点P的横坐标为 ‎ ①用含的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;‎ ‎ ②连接PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的值,使这两个三角形的面积之比为9:10?若存在,直接写出值;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)由,得到x=-2,∴A(-2,0)。‎ ‎ 由,得到x=4,∴B(4,3)。‎ ‎∵经过A、B两点,‎ ‎∴,解得。‎ 设直线AB与y轴交于点E,则E(0,1)。‎ ‎∴根据勾股定理,得AE=。‎ ‎∵PC∥y轴,∴∠ACP=∠AEO。‎ ‎∴。‎ ‎(2)①由(1)可知抛物线的解析式为。‎ ‎ 由点P的横坐标为,得P,C。‎ ‎ ∴PC= 。‎ ‎ 在Rt△PCD中,,‎ ‎ ∵,∴当m=1时,PD有最大值。‎ ‎ ②存在满足条件的值,。‎ ‎【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,平行的性质,锐角三角函数定义,二次函数最值。‎ ‎【分析】(1)求出点A、B的坐标,代入即可求出a,b。由PC∥y轴,得∠ACP=∠AEO,在Rt△AOE中应用锐角三角函数定义即可求得。‎ ‎(2)①用表示出点P、C的坐标,从而表示出PC的长:PC,由锐角三角函数定义得,代入即能用含 的代数式表示线段PD的长。根据二次函数最值求法求得线段PD长的最大值。‎ ‎ ②如图,分别过点D,B作DF⊥PC,BG⊥PC,垂足分别为F,G。‎ ‎ ∵,∴设DP= k,CP=5 k。‎ ‎ ∴根据勾股定理,得DC=k。∴。‎ ‎ 在Rt△PDF中,。‎ ‎ 又BG=4-m,‎ ‎∴。‎ 当时,解得;‎ 当时,解得。‎ ‎37. (2012河北省10分)如图,A(-5,0),B(-3,0),点C在y轴的正半轴上,∠CBO=45°,‎ CD∥AB.∠CDA=90°.点P从点Q(4,0)出发,沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动,运动时时间t秒.‎ ‎(1)求点C的坐标;‎ ‎(2)当∠BCP=15°时,求t的值;‎ ‎(3)以点P为圆心,PC为半径的⊙P随点P的运动而变化,当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,求t的值.‎ ‎【答案】解:(1)∵∠BCO=∠CBO=45°,∴OC=OB=3。‎ 又∵点C在y轴的正半轴上,∴点C的坐标为(0,3)。‎ ‎(2)分两种情况考虑:‎ ‎①当点P在点B右侧时,如图2,‎ 若∠BCP=15°,得∠PCO=30°,故PO=CO•tan30°=。此时t=4+‎ ‎②当点P在点B左侧时,如图3,‎ 由∠BCP=15°,得∠PCO=60°,故OP=COtan60°=3。此时,t=4+3‎ ‎∴t的值为4+或4+3‎ ‎ ‎ ‎(3)由题意知,若⊙P与四边形ABCD的边相切时,有以下三种情况:‎ ‎①当⊙P与BC相切于点C时,有 ‎∠BCP=90°,从而∠OCP=45°,得到OP=3,此时t=1。‎ ‎②当⊙P与CD相切于点C时,有 PC⊥CD,即点P与点O重合,此时t=4。‎ ‎③当⊙P与AD相切时,由题意,得 ‎∠DAO=90°,∴点A为切点,如图4,PC2=PA2=(9-t)2,PO2=(t-4)2。‎ 于是(9-t)2= PO2=(t-4)2,即81-18t+t2=t2-8t+16+9,解得,t=5.6。‎ 综上所述,t的值为1或4或5.6。‎ ‎【考点】动点问题,切线的性质,坐标与图形性质,矩形的性质,勾股定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】(1)由∠CBO=45°,∠BOC为直角,得到△BOC为等腰直角三角形,又OB=3,利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3,然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标。‎ ‎(2)分点P在点B右侧和点P在点B左侧两种情况讨论即可。‎ ‎(3)当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,分三种情况讨论:①当⊙P与BC边相切时,②当⊙P与CD相切于点C时,③当⊙P与CD相切时。‎ ‎38. (2012吉林省10分)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=‎2cm,AC=‎‎4cm ‎.动点P从点A出发,沿AB方向以‎1cm/s的速度向点B运动,动点Q从点B同时出发,沿BA方向以‎1cm/s的速度向点A运动.当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动,以AP为一边向上作正方形APDE,过点Q作QF∥BC,交AC于点F.设点P的运动时间为ts,正方形和梯形重合部分的面积为Scm2.‎ ‎(1)当t= s时,点P与点Q重合;‎ ‎(2)当t= s时,点D在QF上;‎ ‎(3)当点P在Q,B两点之间(不包括Q,B两点)时,求S与t之间的函数关系式.‎ ‎【答案】解:(1)1。‎ ‎(2)。‎ ‎(3)当P、Q重合时,由(1)知,此时t=1;‎ 当D点在BC上时,如答图2所示,此时AP=BQ =t,BP=t,‎ 又∵BP=2-t,∴t=2-t,解得t=。‎ 进一步分析可知此时点E与点F重合。‎ 当点P到达B点时,此时t=2。‎ 因此当P点在Q,B两点之间(不包括Q,B两点)时,其运动过程可分析如下:‎ ‎①当1<t≤时,如答图3所示,此时重合部分为梯形PDGQ。‎ 此时AP=BQ=t,∴AQ=2-t,PQ=AP-AQ=2t-2。‎ 易知△ABC∽△AQF,可得AF=2AQ,EF=2EG。‎ ‎∴EF=AF-AE=2(2-t)-t=4-3t,EG=EF=2-t。‎ ‎∴DG=DE-EG=t-(2-t)=t-2。‎ ‎。‎ ‎②当<t<2时,如答图4所示,此时重合部分为一个多边形。‎ 此时AP=BQ=t,∴AQ=PB=2-t。‎ 易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM,‎ 可得AF=2AQ,PM=2PB,DM=2DN。∴AF=4-2t,PM=4-2t。‎ 又DM=DP-PM=t-(4-2t)=3t-4,∴DN=(3t-4)。‎ 综上所述,当点P在Q,B两点之间(不包括Q,B两点)时,S与t之间的函数关系式为:。‎ ‎【考点】动点问题,正方形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)当点P与点Q重合时,此时AP=BQ=t,且AP+BQ=AB=2,由此得t+t=2,解得t=1(s)。‎ ‎(2)当点D在QF上时,如答图1所示,此时AP=BQ=t.‎ ‎∵QF∥BC,APDE为正方形,∴△PQD∽△ABC。‎ ‎∴DP:PQ=AC:AB=2,则PQ=DP=AP=t。‎ 由AP+PQ+BQ=AB=2,得t+t+t=2,解得:t=。‎ ‎(3)当点P在Q,B两点之间(不包括Q,B两点)时,运动过程可以划分为两个阶段:‎ ‎①当1<t≤ 时,如答图3所示,此时重合部分为梯形PDGQ.先计算梯形各边长,然后利用梯形面积公式求出S。‎ ‎②当<t<2时,如答图4所示,此时重合部分为一个多边形.面积S由关系式“‎ ‎”求出。‎
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