北京市中国人民大学附属中学2019届高三下学期第三次调研考试文科数学试题 Word版含解析

北京市中国人民大学附属中学2019届高三下学期第三次调研考试文科数学试题 Word版含解析

- 1 - 北京市中国人民大学附属中学 2019 届高三下第三次调研考 试 文科数学试题 本试卷共 5 页.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、 姓名、试室号和座位号.用 2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂 黑. 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准 使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项. 1.已知 为虚数单位，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用 的周期求解. 【详解】由于 ， 且 的周期为 4， ， 所以原式= . i 2 3 2019i i i i+ + + + i 1 i− 1− )ni n N ∗∈（ 2 3 4 1 1 0i i i i i i+ + + = − − + = )ni n N ∗∈（ 2019=4 504+3⋅ 2 3 1 1i i i i i+ + = − − = − - 2 - 故选 D 【点睛】本题主要考查复数的计算和 的周期性，意在考查学生对这些知识的理解 掌握水平和分析推理能力. 2.已知集合 ，则 中元素的个数为（ ） A. 1 B. 5 C. 6 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】 直接列举求出 A 和 A 中元素的个数得解. 【详解】由题得 ， 所以 A 中元素的个数为 6. 故选 C 【点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析 推理能力. 3.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、 兑八卦），每一卦由三根线组成（ 表示一根阳线， 表示一根阴线），从八卦中任取 一卦，这一卦的三根线中恰有 2 根阳线和 1 根阴线的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 )ni n N ∗∈（ {( , ) | 2, , }A x y x y x y N= + ≤ ∈ A {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}A = 1 8 1 4 3 8 1 2 - 3 - 先算任取一卦的所有等可能结果，再算事件恰有 2 根阳线和 1 根阴线的基本事件，从而利用 古典概型的概率求解计算. 【详解】先算任取一卦的所有等可能结果共 8 卦， 其中恰有 2 根阳线和 1 根阴线的基本事件有 3 卦， ∴概率为 . 故选：C. 【点睛】本题以数学文化为问题背景，考查古典概型，考查阅读理解能力. 4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 x 的值为 1，则输出 S 的值为（　　） A. 64 B. 73 C. 512 D. 585 【答案】B 【解析】 试题分析：运行程序， ，否， ， ，否， ， ，否， ， ，是，输出 . 考点：程序框图. 【此处有视频，请去附件查看】 5.某同学为了模拟测定圆周率，设计如下方案；点 满足不等式组 ，向圆 内均匀撒 粒黄豆，已知落在不等式组所表示的区域内的黄豆数是 ，则圆周 率 为（ ） 3 8 1S = 2x = 1 4 5S = + = 4x = 5 4 9S = + = 8x = 9 64 73S = + = 73S = ( ),D x y 0 0 1 x y x y ≥  ≥  + ≤ 2 2 1x y+ = M N π - 4 - A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】 作出平面区域，根据黄豆落在区域内的概率列方程得出 的值． 【详解】作出点 所在的平面区域如图所示： 黄豆落在 内的概率 ， 即 ，故 ． 故选：D． 【点睛】本题考查利用随机模拟求 ，考查几何概型的概率计算，属于中档题． 6.已知圆锥的顶点为 ，底面圆 的两条直径分别为 和 ，且 ，若平面 平面 .现有以下四个结论： ① 平面 ； 【 N M 2N M 2M N 2 M N π D ∴ AOB∆ AOB O S NP S M ∆= = 圆 1 2 N Mπ = 2 M N π = π S O AB CD AB CD⊥ SAD ∩ SBC l= / /AD SBC - 5 - ② ； ③若 是底面圆周上的动点，则 的最大面积等于 的面积； ④ 与平面 所成的角为 . 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 利用直线与平面的性质判断直线与平面平行，直线与直线的平行，三角形的面积的最值的求 法，直线与平面所成角，判断选项的正误即可． 【 详 解 】 对 ① ， 已 知 圆 锥 的 顶 点 为 ， 底 面 圆 的 两 条 直 径 分 别 为 和 ， 且 ，若平面 平面 ，所以 是正方形．所以 ， 平 面 ，所以 平面 ；故①正确； 对②，因为 ， 平面 ， 、 平面 ， 平面 ，所以 ； 故②正确； 对③，若 是底面圆周上的动点，当 时，则 的最大面积等于 的面积； 当 时， 的最大面积等于两条母线的夹角为 的截面三角形的面积，故③ 不正确； 对④，因为 ， 与平面 所成的角就是 与平面所成角，就是 ；故 ④正确； 综上所述正确的个数为 3 个， 故选：C. / /l AD E SAE∆ SAB∆ l SCD 45° S O AB CD AB CD⊥ SAD ∩ SBC l= ABCD / /AD BC BC ⊂ SBC / /AD SBC l AD ⊂ SAD l BC ⊂ SBC / /AD SBC / /l AD E 90ASB∠ ° SAE∆ SAB∆ 90ASB∠ > ° SAE∆ 90° / /l AD l SCD AD 45ADB∠ = ° - 6 - 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系的综合应用、命题的真假的判断，考查转化与化归 思想，考查空间想象能力. 7.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为 ，且两条曲线在第一象 限的交点为 P， 是以 为底边的等腰三角形，若 ，椭圆与双曲线的离心率 分别为 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：设椭圆与双曲线的半焦距为 利用三角形中边之间的关系得 出 c 的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据 c 的范围即可求出 的取值范围; 设椭圆与双曲线的半焦距为 由题意知 ，且 , ， 1 2PF F∆ 1PF 1 10PF = 1 2,e e 2 1e e− 2( , )3 +∞ 4( , )3 +∞ 2(0, )3 2 4( , )3 3 1 1 2 2c PF r PF r= =， ， ． 2 1e e− 1 1 2 2c PF r PF r= =， ， ． 1 210 2r r c= =， 1 2 2 12r r r r＞ ， ＞ ， 2 10 2 2 10c c c∴ +＜ ， ＞ ， 5 52 c∴ ＜ ＜ 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 10 2 5 2 5 c c c c c c ce ea r r c c a r r c ∴ = =− − − + +双 椭 ＝ ＝ ＝ ； ＝ ＝ - 7 - ，故选 A． 考点：椭圆与双曲线离心率问题． 8.在数学史上，中国古代数学名著《周髀算经》、《九章算术》、《孔子经》、《张邱建算经》等， 对等差级数（数列） 和等比级数（数 列） ，都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾 作出一定的贡献.请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题.数阵 中， 每行的 3 个数依次成等差数列，每列的 3 个数依次成等比数列，若 ，则这 9 个数和的 最小值为（ ） A. 64 B. C. 36 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】 简 单 的 合 情 推 理 、 等 比 数 列 、 等 差 数 列 及 重 要 不 等 式 得 ： 这 9 个 数 的 和 为 ，得解． 【详解】由数阵 中，每行的 3 个数依次成等差数列，每列的 3 个数依次成等 比数列， 设 ， ， 的公比为 ， 因为 ，所以 ， ， 所以这 9 个数的和为 ， 即这 9 个数和的最小值为 36， 2 2 1 2 2 2 2 2 255 5 25 31 c c ce e c c c c ∴ − = − = = >− + − − ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1a a d a d a d a n d+ + + + + + +⋅⋅⋅+ + −   2 3 1na aq aq aq aq −+ + + +⋅⋅⋅+ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a          22 4a = 94 4 43( 4 4 ) 3[4 2 (4 )] 36q qq q + + + ⋅ = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a          12a 22a 32a q 22 4a = 12 4a q = 32 4a q= 4 43( 4 4 ) 3[4 2 (4 )] 36q qq q + + + ⋅ = - 8 - 故选：C． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列中项的性质、基本不等式，考查函数与方程思想、转 化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三个数成等比数列的设法. 第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题：共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9.若双曲线 的一条渐近线经过点 ，则此双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】 双曲线 的渐近线方程为 ，由渐近线过点 ，可得 ，即 ， ，可得 ，故答案为 . 10.若函数 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方 程为______________． 【答案】 【解析】 【分析】 由函数 是奇函数可得 ，得到函数解析式，则可得 ，再求 在 处的 导函数即可得到切线斜率，根据点斜式写出切线方程即可. 【详解】 为奇函数,则 ， ， ， ，又 ， 曲线 在点 处的切线方程为 ,即 . 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，由奇函数求得参数，得到函数解析式是本题解题关 键. 11.已知 ， ， 分别是锐角 的角 ， ， 所对的边，且 ， ，若 ，则 ______； 2 2 2 2 1x y a b − = (3, 4)− 2 2 2 2 1x y a b − = by xa = ± ( )3, 4− 34 b a − = − 4 3b a= 2 2 2 216 5 9 3c a b a a a= + = + = 5 3 ce a = = 5 3 ( ) ( ) 3 21 2f x a x ax x= + + − ( )y f x= ( )( )1, 1f 2 0x y− − = ( )f x 0a = ( )1f ( )f x x 1= ( ) ( ) 3 21 2f x a x ax x= + + − 0a = ( ) 3 2f x x x∴ = − ( ) 2' 3 2f x x= − ( ) 2' 1 3 1 2 1f∴ = × − = ( )1 1f = − ( )y f x= ( )( )1, 1f 1 1y x+ = − 2 0x y− − = a b c ABC∆ A B C 2c = 3C π= ( )sin sin 2sin 2C B A A+ − = a = - 9 - 【答案】 【解析】 【分析】 利用三角函数恒等变换将条件进行化简得 ，由正弦定理，得 ，根据余 弦定理解得 的值． 【详解】 ， 由已知得 ，又 ， ，由正弦定理，得 ． 由 ， ，根据余弦定理得： ，解得： ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用、正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考 查转化思想． 12.数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的最小值为 __________. 【答案】 【解析】 【分析】 由已知求得 ，再由配方法求数列 的最小值． 【详解】由 ，得 ， 当 时， ， 适合上式， ． 2 3 3 sin 2sinB A= 2b a= a sin sin( ) 2sin 2C B A A+ − = ∴ sin( ) sin( ) 4sin cosA B B A A A+ + − = cos 0A > sin 2sinB A∴ = 2b a= 2c = 3C π= 2 2 2 2 24 4 2a b ab a a a= + − = + − 2 3 3a = 2 3 3 { }na n nS 2 1n nS = − 2 7 6n n nb a a= − + 6− 12n na -= 2 7 6n n nb a a= − + 2 1n nS = − 1 1 1a S= = 2n 1 1 1 2 1 2 1 2n n n n n na S S − − −= − = − − + = 1 1a = ∴ 12n na -= - 10 - 则 ． 当 时 ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查数列递推式，考查了由数列的前 项和求数列的通项公式，训练了利用配方 法求函数的最值，是中档题． 13.已知抛物线 上有三个不同的点 ， ， ，抛物线的焦点为 ，且满足 ，若边 所在直线的方程为 ，则 ______； 【答案】8 【解析】 【分析】 将直线的方程代入抛物线的方程，消去 得到关于 的一元二次方程，再结合直线 与抛物线 相交于两个不同的点得到根的判别式大于 0，结合根与系数的关系利用 ， 即可求得 值，从而解决问题． 【详解】由 可得 ． 由△ ，有 ，或 ． 设 ， ， ， ，则 ， 设 ， ，抛物线的焦点为 ，且满足 ， ， ， ， ， ， 点 在抛物线上， ， . 故答案为：8． 【点睛】本题考查向量与解析几何问题的交会、抛物线的焦半径公式，考查函数与方程思想、 2 27 257 6 ( )2 4n n n nb a a a= − + = − − ∴ 4na = 27 25( ) (4 ) 62 4n minb = − − = − 6− n ( )2 2 0y px p= > A B C F 0FA FB FC+ + =    BC 4 20 0x y+ − = p = y x l 0FA FB FC+ + =    p 2 4 20 0 2 x y y px + − =  = 22 20 0y py p+ − = 0> 0p > 160p < − 1(B x 1)y 2(C x 2 )y 1 2 2 py y+ = − 1 2 1 2 (5 ) (5 ) 104 4 8 y y px x∴ + = − + − = + 3(A x 3 )y F 0FA FB FC+ + =    1 1 2 2 3 3( , ) ( , ) ( , ) 02 2 2 p p px y x y x y∴ − + − + − = 1 2 3 3 2 px x x∴ + + = 1 2 3 0y y y+ + = 3 11 108x p∴ = − 3 2 py =  A 2 11( ) 2 ( 10)2 8 p p p∴ = − 8p∴ = - 11 - 转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的坐标运算. 14.若侧面积为 的圆柱有一外接球 O，当球 O 的体积取得最小值时，圆柱的表面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 设圆柱的底面圆的半径为 ，高为 ，则球的半径 ，由圆柱的侧面积，求得 ，得出 ，得到 得最小值，进而求得圆柱的表面积. 【详解】由题意，设圆柱的底面圆的半径为 ，高为 ，则球的半径 . 因为球体积 ，故 最小当且仅当 最小. 圆柱的侧面积为 ，所以 ，所以 ，所以 ， 当且仅当 时，即 时取“=”号，此时 取最小值， 所以 ,圆柱的表面积为 . 【点睛】本题主要考查了球的体积公式，以及圆柱的侧面公式的应用，其中解答中根据几何 体的结构特征，得出求得半径和圆柱的底面半径的关系式，求得圆柱的底面半径是解答的关 键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题. 三、解答题：共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.如图所示，正三角形 的边长为 2， 分别在三边 和 上， 为 的中点， ． （Ⅰ）当 时，求 的大小； （Ⅱ）求 的面积 的最小值及使得 取最小值时 的值． 4π 6π r h 2 2 2 hR r= +（ ） 1 2 h r = 2 2 1R r r = + R r h 2 2 2 hR r= +（ ） 34 3V R π= V R 2 4rhπ π= 2rh = 1 2 h r = 2 2 1 2R r r = + ≥ 2 2 1r r = 1r = R 1 2r h= =， 2 2 1 2 6π π π+ × × = ABC , ,D E F ,AB BC CA D AB ( )90 , 0 90EDF BDE θ θ∠ = ° ∠ = ° < < ° 3tan 2DEF∠ = θ DEF∆ S S θ - 12 - 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）当 时， 取最小值 【解析】 试题分析：本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公 式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能 力．第一问，在 中， ，①，而在 中，利用正弦定理， 用 表示 ，在 中，利用正弦定理，用 表示 ，代入到①式中，再利用两角和 的正弦公式展开，解出 ，利用特殊角的三角函数值求角 ；第二问，将第一问得到的 和 代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦 函数的有界性确定 的最小值． 试题解析：在 中，由正弦定理得 ，在 中， 由正弦定理得 ．由 ，得 ，整理得 ，所以 ． （2） ＝ ． 当 时， 取最小值 ． 考点：1．正弦定理；2．两角和的正弦公式；3．倍角公式． 60θ = ° 45θ = ° S 6 3 3 2 − EDF∆ 3tan 2 DFDEF DE ∠ = = DBE∆ θ DE ADF∆ θ DF tanθ θ DF DE S BDE 0 0 0 sin 60 3 sin(120 ) 2sin(60 ) BDDE θ θ= =− + ADF 0 0 0 sin 60 3 sin(30 ) 2sin(30 ) ADDF θ θ= =+ + 3tan 2DEF∠ = 0 0 sin(60 ) 3 sin(30 ) 2 θ θ + =+ tan 3θ = 60θ = ° 1 ·2S DE DF= 0 0 3 3 8sin(60 )sin(30 ) 2( 3 cos sin )(cos 3sin )θ θ θ θ θ θ =+ + + + 2 2 3 3 2[ 3(cos sin ) 4sin cos ] 2( 3 2sin 2 )θ θ θ θ θ = = + + + 45θ = ° S 3 6 3 3 22( 3 2) −= + - 13 - 【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理、两角和的正弦公式、同角的基本关系、二倍角的 正弦、余弦公式和三角形的面积公式，解题时一定要注意对公式的正确使用，否则很容易失 分．高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变 换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异， 弥补这种结构差异的依据就是三角公式． 16.在数列{an}中，a1＝2，an 是 1 与 anan+1 的等差中项 （1）求证：数列{ }是等差数列，并求{an}的通项公式 （2）求数列{ }的前 n 项和 Sn 【答案】（1）证明见解析，an＝1 ；（2）Sn＝ ． 【解析】 【分析】 （1）由等差数列的中项性质和等差数列的定义、通项公式可得所求； （2）求得 ，运用数列 裂项相消求和，化简可得所求和． 【详解】（1）a1＝2，an 是 1 与 anan+1 的等差中项， 可得 2an＝1+anan+1， 即 an+1 ，an+1﹣1 ， 可得 1， 可得数列{ }是首项和公差均为 1 的等差数列， 即有 n，可得 an＝1 ； （2） ， 的 1 1na − 2 1 nn a 1 n + 1 n n + ( )2 1 1 1 1 1 1nn a n n n n = = −+ + 2 1n n a a −= 1n n a a −= 1 1 1 1 1n na a+ = +− − 1 1na − 1 1na =− 1 n + ( )2 1 1 1 1 1 1nn a n n n n = = −+ + - 14 - 则前 n 项和 Sn＝1 1 ． 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意变形和等差数列的定义和通项公式，考查数 列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题． 17.某市为了引导居民合理用水，居民生活用水实行二级阶梯式水价计量方法，具体如下；第 一阶梯，每户居民每月用水量不超过 12 吨，价格为 4 元/吨；第二阶梯，每户居民用水量超 过 12 吨，超过部分的价格为 8 元/吨，为了了解全是居民月用水量的分布情况，通过抽样获 得了 100 户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照 （全市居民月 用水量均不超过 16 吨）分成 8 组，制成了如图 1 所示的频率分布直方图. (Ⅰ）求频率分布直方图中字母 的值，并求该组的频率； （Ⅱ）通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的中位数 的值（保留两位小数）； （Ⅲ）如图 2 是该市居民张某 2016 年 1~6 月份的月用水费 （元）与月份 的散点图，其拟 合的线性回归方程是 若张某 2016 年 1~7 月份水费总支出为 312 元，试估计张某 7 月份的用水吨数. 1 1 1 1 1 2 2 3 1n n − + − + + − =+ 1 1 1 n n n − =+ + [ ] [ ] ( ]0 2 2 4 14 16， ， ， ， ， ， a m y x 2 33.y x= + - 15 - 【答案】（1） 第四组的频率为 0.2（2）8.15（3）15 【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据小长方形的面积之和为 1，即可求出 a；（Ⅱ）由频率分布直方图估计 样本数据的中位数，规律是：中位数，出现在概率是 0.5 的地方；（Ⅲ）根据回归方程即可求 出答案. 详解：（Ⅰ） ， 第四组的频率为： （Ⅱ）因 所以 （Ⅲ） 且 所以张某 7 月份的用水费为 设张某 7 月份的用水吨数 吨， 则张某 7 月份的用水吨数 15 吨. 点睛：这个题目考查了频率分布直方图的应用，方图中求中位数的方法，即出现在概率是 0.5 的地方，以及回归方程的求法，在频率分布直方图中求平均值，需要将每个长方条的中点值 乘以相应的概率值相加即可. 18.已知四棱台 的上下底面分别是边长为 和 的正方形， 且 底面 ，点 为 的中点. 为 0.10.a = 0.02 0.04 0.08 0.13 0.08 0.03 0.02) 2 1a+ + + + + + + × =（ 0.10.a∴ = 0.1 2 0.2.× = 0.02 2 0.04 2 0.08 2 0.10 2 8) 0.13 0.5,m× + × + × + × + − × =（ 0.5 0.488 8.15.0.13m −= + ≈ ( )1 71 2 3 4 5 6 ,6 2x = + + + + + = 2 33,y x= + 72 33 40.2y∴ = × + = 312-6 40 72.× = x 12 4 48 72× = < 12 4 12) 8 72, 15.x x∴ × + − × = =（ 1 1 1 1ABCD A B C D− 2 4 1 4AA = 1AA ⊥ ABCD P 1DD - 16 - （1）求证： 平面 ； （2）在 边上找一点 ，使 平面 ，并求三棱锥 的体积. 【答案】(1)证明见解析. (2) . 【解析】 分 析 ： (1) 取 中 点 ， 由 平 几 相 似 得 ， 再 由 底 面 得 ，又 是正方形，有 ，因此 平面 ，即得 ， 最后根据线面垂直判定定理得结论，(2) 在 边上取一点 ，使 ，由平几知识得四 边形 是平行四边形，即有 平面 . 设 ，由 （1）得 为高，最后根据锥体体积公式求结果. 详解： （1）取 中点 ，连结 ， ， 在 ，∴ 平面 . ∵ 面 ， 面 ，∴ ，∵ 是正方形，∴ ， 又 平面 ， 平面 ， ， ∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴ . ∵ ， ， ， ∴ ，∴ ，∵ ，∴ ， 1AB ⊥ PBC BC Q / /PQ 1 1A ABB 1Q PBB− 1B BPQV − 6= 1AA M 1BM AB⊥ 1AA ⊥ ABCD 1AA BC⊥ BCD AB BC⊥ BC ⊥ 1 1ABB A 1BC AB⊥ BC Q 3BQ = PMBQ / / / /PQ BM PQ， 1 1A ABB 1AB BM N∩ = 1B N 1AA M BM PM / / / /PM AD BC BM ⊂ PBC 1AA ⊥ ABCD BC ⊂ ABCD 1AA BC⊥ ABCD AB BC⊥ AB ⊂ 1 1ABB A 1AA ⊂ 1 1ABB A 1AB AA A∩ = BC ⊥ 1 1ABB A 1AB ⊂ 1 1ABB A 1BC AB⊥ 1 4AB AA= = 1 1 90BAM B A A∠ = ∠ =  1 1 2AM B A= = 1 1ABM A AB∆ ≅ ∆ 1 1MBA B AA∠ = ∠ 1 1 1 90BAB B AA ∠ = ∠ = 1 90MBA BAB∠ + ∠ =  - 17 - ∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ， ， ∴ 平面 . （2）在 边上取一点 ，使 ， ∵ 为梯形 的中位线， ， ， ∴ ， ，又∵ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ，又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ ， ∵ ， ，∴ ， 设 ，则 .∴ . ∴ . 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. 1BM AB⊥ BM ⊂ PBC BC ⊂ PBC BM BC B∩ = 1AB ⊥ PBC BC Q 3BQ = PM 1 1ADD A 1 1 2A D = 4AD = 3PM = / /PM AD / /BQ AD / /PM BQ PMBQ / /PQ BM BM ⊂ 1 1A ABB PQ ⊄ 1 1A ABB / /PQ 1 1A ABB BC ⊥ 1 1ABB A BM ⊂ 1 1ABB A BQ BM⊥ 1 4AB AA= = 1 1 2AM A B= = 1 2 5BM AB= = 1AB BM N∩ = 4 5 5 AB AMAN BM ⋅= = 1 1 6 5 5B N AB AN= − = 1 1 1 3B BPQ BPQV S B N− ∆= ⋅ 1 1 6 53 2 5 63 2 5 = × × × × = - 18 - (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 19.已知 ，（其中常数 ） （1）当 时，求函数 的极值； （2）若函数 有两个零点 ，求证： . 【答案】（1） 有极小值 ，无极大值；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）求出 a＝e 的函数的导数，求出单调区间，即可求得极值；（2）先证明：当 f（x）≥0 恒成立时，有 0＜a≤e 成立．若 ，则 f（x）＝ex﹣a（lnx+1）≥0 显然成立；若 ，运用参数分离，构造函数通过求导数，运用单调性，结合函数零点存在定理，即可得 证. 【详解】函数 的定义域为 ， （1）当 时， ， ， 在 单调 递增且 当 时， ，所以 在 上单调递减； 当 时， ，则 在 上单调递增， 所以 有极小值 ，无极大值. （2）先证明：当 恒成立时，有 成立 若 ，则 显然成立； 若 ，由 得 ，令 ，则 ， 令 ，由 得 在 上单调递增， ( ) lnxf x e a x a= − − 0a > a e= ( )f x ( )y f x= 1 2 1 2, 0( )x x x x< < 1 2 1 1x x aa < < < < ( )f x (1) 0f = 10 x e ≤＜ 1x e ＞ ( )f x ( )0,+∞ a e= ( ) lnxf x e e x e= − − ( ) x ef x e x ′ = − ( ) x ef x e x ′ = − ( )0,+∞ ( )1 0f ′ = 0 1x< < ( ) ( )1 0f x f′ ′< = ( )f x ( )0,1 1x > ( ) ( )1 0f x f′ ′> = ( )f x ( )1,+∞ ( )f x ( )1 0f = ( ) 0f x ≥ 0 a e< ≤ 10 x e < ≤ ( ) ( )ln 1 0xf x e a x= − + ≥ 1x e > ( ) 0f x ≥ 1 ln xea x ≤ + ( ) 1 ln xeg x x = + ( ) ( )2 1ln 1 1 ln xe x xg x x  + −  = + ′ ( ) 1 1ln 1 ( )h x x xx e = + − > ( ) 2 11 0h x x = + >′ ( )h x 1 ,e  +∞   - 19 - 又∵ ，所以 在 上为负，递减，在 上为正，递增，∴ ，从而 . 因而函数 若有两个零点，则 ，所以 ， 由 得 ，则 ， ∴ 在 上单调递增，∴ ， ∴ 在 上单调递增∴ ，则 ∴ ，由 得 ， 则 ，∴ ，综上 . 【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用， 以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题． 20.如图，抛物线 ： 的焦点为 ，以 为直角顶点的等腰 直角 的三个顶点 ， ， 均在抛物线 上. （1）过 作抛物线 的切线 ，切点为 ，点 到切线 的距离为 2，求抛物线 的 方程； （2）求 面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 ( )1 0h = ( )g x 1 ,1e      ( )1,+∞ ( ) ( )min 1g x g e= = 0 a e< ≤ ( )y f x= a e> ( )1 0f e a= − < ( ) ln ( )af a e a a a a e= − − > ( ) ln 2af a e a= − −′ ( ) 1 1 1 0a af a e e ea e e = − > − > −′ >′ ( ) ln 2af a e a= − −′ ( ),e +∞ ( ) ( ) 23 3 0af a f e e e> = − > −′ >′ ( ) lnaf a e a a a= − − ( ),e +∞ ( ) ( ) 22 2 0ef a f e e e e e> = − > − > ( ) ( )1 0f f a < 21 x a< < a e> 1 1 1 11 1ln ln ln 0a a a af e a a e a a a e a e a ea a   = − − = + − > + − = >   ( ) 11 0f f a   <   1 1 1xa < < 1 2 1 1x x aa < < < < C ( )2 2 0x py p= > F ( )( )1 1 1, 0A x y x ≥ ABC∆ A B C C ( )0, 3Q − C l R F l C ABC∆ 2 4x y= 24p - 20 - 【分析】 （1）设出过点 的抛物线 的切线 的方程，联立抛物线 的方程，消去 得关于 的方程， 利用△ 以及 到切线 的距离，求出 的值即可； （2）由题意设直线 的方程，联立抛物线方程，得关于 的方程，利用根与系数的关系， 以及 ，求得 面积的最小值． 【详解】（1）过点 的抛物线 的切线 ： ， 联立抛物线 ： ，得 ， ，即 . ∵ ， 到切线 的距离为 ， 化简得 ，∴ ， ∵ ，∴ ，得 ， ∴ ，∴抛物线方程为 . （2）已知直线 不会与坐标轴平行，设直线 ： ， 联立抛物线方程得 ， 则 ， ， 同理可得 ； ∵ ，即 ， ∴ ，即 ， ∴ . Q C l C y x 0= F l p AB x | | | |AB AC= ABC∆ ( )0, 3Q − C l 3y kx= − C ( )2 2 0x py p= > 2 2 6 0x pkx p− + = 2 24 4 6 0p k p∆ = − × = 2 6pk = 0, 2 pF      F l 2 32 2 1 p d k + = = + ( ) ( )2 26 16 1p k+ = + ( ) ( )2 16 666 16 1 pp p p + + = + =   0p > 6 0p + > ( )( )2 6 16 8 2 0p p p p+ − = + − = 2p = 2 4x y= AB AB ( )( )1 1 0y y t x x t− = − > ( )2 1 12 2 0x ptx p tx y− + − = 1 2Bx x pt+ = 12Bx pt x= − 1 2 C px xt = − − AB AC= 2 1 12 11 1B Ct x x x xt + − = + − ( )1 1B Ct x x x x− = − 2 1 1 1 p t tx t  −  = + 2 11 BAB t x x= + − ( )2 11 2 2t pt x= + − ( ) ( ) 2 21 1 2 1 t t p t t + + = + - 21 - ∵ （当且仅当 时，等号成立）， （当且仅当 时等号成立）， 故 ， 面积的最小值为 . 【点睛】本题考查抛物线的切线方程、直线与抛物线的位置关系、韦达定理的应用，考查函 数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意基本不等 式应用时要验证等号成立的条件. 2 1 2t t + ≥ 1t = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 t t t t t t t t + + += ≥ =+ + + + + + 1t = 2 2AB p≥ ABC∆ 24p