【数学】2021届一轮复习北师大版(文)第八章 第2讲 空间图形的基本关系与公理学案

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【数学】2021届一轮复习北师大版(文)第八章 第2讲 空间图形的基本关系与公理学案

第2讲 空间图形的基本关系与公理 一、知识梳理 ‎1.空间图形的基本位置关系 ‎(1)空间点与直线的位置关系有两种:点在直线上和点在直线外.‎ ‎(2)空间点与平面的位置关系有两种:点在平面内和点在平面外.‎ ‎(3)空间两条直线的位置关系有三种 共面,直线) 异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线.‎ ‎(4)空间直线与平面的位置关系有三种 ‎①直线在平面内,直线和平面有无数个公共点.‎ ‎②直线和平面相交:直线和平面只有一个公共点.‎ ‎③直线和平面平行:直线和平面没有公共点.‎ ‎(5)空间平面与平面的位置关系有两种 ‎①平行平面:两个平面没有公共点;‎ ‎②相交平面:两个平面不重合,但有公共点.‎ ‎2.空间图形的公理 公理1:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面).‎ 公理2:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内(即直线在平面内).‎ 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.‎ 公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.‎ ‎3.等角定理与异面直线所成的角 ‎(1)等角定理:空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.‎ ‎(2)异面直线所成的角 ‎①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).‎ ‎②范围:.‎ 常用结论 推论1:一条直线和直线外一点确定一个平面;‎ 推论2:两条相交直线确定一个平面;‎ 推论3:两条平行直线确定一个平面.‎ 二、教材衍化 ‎1.下列命题中正确的是(  )‎ A.过三点确定一个平面 B.四边形是平面图形 C.三条直线两两相交则确定一个平面 D.两个相交平面把空间分成四个区域 答案:D ‎2.若直线a不平行于平面α,且a⃘α,则下列结论成立的是(  )‎ A.α内的所有直线与a异面 B.α内不存在与a平行的直线 C.α内存在唯一的直线与a平行 D.α内的直线与a都相交 答案:B 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)若P∈α∩β且l是α,β的交线,则P∈l.(  )‎ ‎(2)三点A,B,C确定一个平面.(  )‎ ‎(3)若直线a∩b=A,则直线a与b能够确定一个平面.(  )‎ ‎(4)若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α,则lα.(  )‎ ‎(5)分别在两个平面内的两条直线是异面直线.(  )‎ 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)×‎ 二、易错纠偏 (1)对异面直线的概念理解有误;‎ ‎(2)对等角定理条件认识不清致误;‎ ‎(3)对平面的性质掌握不熟练,应用不灵活.‎ ‎1.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b(  )‎ A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 解析:选C.假设c∥b,又因为c∥a,所以a∥b,这与a,b是异面直线矛盾,故c与b不可能平行.‎ ‎2.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是(  )‎ A.OB∥O1B1且方向相同 B.OB∥O1B1‎ C.OB与O1B1不平行 D.OB与O1B1不一定平行 解析:选D.两角相等,角的一边平行且方向相同,另一边不一定平行,故选D.‎ ‎3.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 .‎ 解析:EF与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF相交的平面有4个.‎ 答案:4‎ ‎      平面的基本性质(典例迁移)‎ ‎ 如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:E,C,D1,F四点共面.‎ ‎【证明】 如图所示,连接CD1,EF,A1B,‎ 因为E,F分别是AB和AA1的中点,‎ 所以EF∥A1B且EF=A1B.‎ 又因为A1D1BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,‎ 所以A1B∥CD1,所以EF∥CD1,‎ 所以EF与CD1确定一个平面α,‎ 所以E,F,C,D1∈α,‎ 即E,C,D1,F四点共面.‎ ‎【迁移探究】 (变问法)若本例条件不变,如何证明“CE,D1F,DA交于一点”?‎ 证明:如图,由本例知EF∥CD1,且EF=CD1,‎ 所以四边形CD1FE是梯形,‎ 所以CE与D1F必相交,设交点为P,‎ 则P∈CE,且P∈D1F,‎ 又CE平面ABCD,‎ 且D1F平面A1ADD1,‎ 所以P∈平面ABCD,‎ 且P∈平面A1ADD1.‎ 又平面ABCD∩平面A1ADD1=AD,所以P∈AD,‎ 所以CE,D1F,DA三线交于一点.‎ 共面、共线、共点问题的证明方法 ‎(1)证明点或线共面,①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;②将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.‎ ‎(2)证明点共线,①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定的直线上.‎ ‎(3)证明线共点,先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.‎ ‎[提醒] 点共线、线共点等都是应用公理3,证明点为两平面的公共点,即证明点在交线上.‎ ‎ ‎ 如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.‎ ‎(1)求证:E,F,G,H四点共面;‎ ‎(2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.‎ 证明:(1)因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD.‎ 在△BCD中,==,所以GH∥BD,所以EF∥GH.‎ 所以E,F,G,H四点共面.‎ ‎(2)因为EG∩FH=P,P∈EG,EG平面ABC,‎ 所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.‎ 所以P为平面ABC与平面ADC的公共点.‎ 又平面ABC∩平面ADC=AC,‎ 所以P∈AC,所以P,A,C三点共线.‎ ‎      空间两直线的位置关系(师生共研)‎ ‎ (2019·高考全国卷Ⅲ)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则(  )‎ A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线 ‎【解析】 如图,取CD的中点F,连接EF,EB,BD,FN,因为△CDE是正三角形,所以EF⊥CD.设CD=2,则EF=.因为点N是正方形ABCD的中心,所以BD=2,NF=1,BC⊥CD.因为平面ECD⊥平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD,BC⊥平面ECD,所以EF⊥NF,BC⊥EC,所以在Rt△EFN中,EN=2,在Rt△BCE中,EB=2,所以在等腰三角形BDE中,BM=,所以BM≠EN.易知BM,EN是相交直线.故选B.‎ ‎【答案】 B ‎ ‎ ‎1.已知空间三条直线l,m,n,若l与m异面,且l与n异面,则(  )‎ A.m与n异面 B.m与n相交 C.m与n平行 D.m与n异面、相交、平行均有可能 解析:选D.在如图所示的长方体中,m,n1与l都异面,但是m∥n1,所以A,B错误;m,n2与l都异面,且m,n2也异面,所以C错误.故选D.‎ ‎2.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:‎ ‎①直线AM与CC1是相交直线;‎ ‎②直线AM与BN是平行直线;‎ ‎③直线BN与MB1是异面直线;‎ ‎④直线AM与DD1是异面直线.‎ 其中正确的结论是 (注:把你认为正确的结论的序号都填上).‎ 解析:直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故①②错误.‎ 答案:③④‎ ‎      异面直线所成的角(师生共研)‎ ‎ (1)(2020·成都第一次诊断性检测)在各棱长均相等的直三棱柱ABCA1B1C1中,已知M是棱BB1的中点,N是棱AC的中点,则异面直线A1M与BN所成角的正切值为(  )‎ A. B.1 ‎ C. D. ‎(2)四面体ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=1,则EF的长为 .‎ ‎【解析】 (1)如图,取AA1的中点P,连接PN,PB,则由直三棱柱的性质可知A1M∥PB,则∠PBN为异面直线A1M与BN所成的角(或其补角).设三棱柱的棱长为2,则PN=,PB=,BN=,所以PN2+BN2=PB2,所以∠PNB=90°,在Rt△PBN中,tan∠PBN===,故选C.‎ ‎(2)如图,取BC的中点O,连接OE,OF,‎ 因为OE∥AC,OF∥BD,‎ 所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角,而AC,BD所成角为60°,所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.当∠EOF=60°时,EF=OE=OF=.‎ 当∠EOF=120°时,取EF的中点M,则OM⊥EF,‎ EF=2EM=2×=.‎ ‎【答案】 (1)C (2)或 平移法求异面直线所成角的步骤 具体步骤如下:‎ ‎1.(2020·陕西汉中模拟)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,异面直线AC与A1B所成的角为(  )‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.90°‎ 解析:选C.如图,连接CD1,AD1则A1B∥CD1,所以∠ACD1是异面直线AC与A1B所成的角或其补角.易知△ACD1是等边三角形.所以∠ACD1=60°,所以异面直线AC与A1B所成的角为60°.故选C.‎ ‎2.(2020·济南市学习质量评估)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为BC,AD的中点,将四边形CDFE沿EF翻折,使得平面CDFE⊥平面ABEF,则异面直线BD与CF所成角的余弦值为 .‎ 解析:如图,连接DE交FC于点O,‎ 取BE的中点G,连接OG,CG,‎ 则OG∥BD且OG=BD,‎ 所以∠COG为异面直线BD与CF所成的角或其补角.‎ 设正方形ABCD的边长为2,‎ 则CE=BE=1,CF=DE==,‎ 所以CO=CF=.‎ 易得BE⊥平面CDFE,所以BE⊥DE,‎ 所以BD==,‎ 所以OG=BD=.‎ 易知CE⊥平面ABEF,所以CE⊥BE,‎ 又GE=BE=,所以CG==.‎ 在△COG中,由余弦定理得,‎ cos∠COG===,‎ 所以异面直线BD与CF所成角的余弦值为.‎ 答案: 核心素养系列14 直观想象——空间中的“动”与函数 ‎1.直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.‎ ‎2.立体几何中的动态问题主要包括:空间动点轨迹的判断,求轨迹的长度及动角的范围等.‎ ‎ 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有一道著名的“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思为:“今有一个底面为正方形的长方体水池,且底面边长为1丈(注:1丈=10尺),芦苇生长在水的中央,长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引,恰巧与水面齐平(示意图如图所示),问水深、芦苇的长度各是多少?”设∠DEF=θ,则tan=(  )‎ A.3 B.4 ‎ C.5 D.6‎ ‎【解析】 设水深为x(单位:尺),则芦苇长为x+1,故(x+1)2=x2+25,所以x=12,从而tan θ=,所以=,‎ 故tan=或tan=-(舍),‎ 所以tan===5.‎ ‎【答案】 C 本题是立体几何与数学文化、三角函数的交汇,试题设置的新意,充分体现了考纲要求——要注重学科的内在联系和知识的综合性,在知识网络交汇点处设计试题,使其对数学基础知识的考查达到必要的深度.‎ ‎ 如图,四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=4,M是PB上的一个动点(不与P,B重合),过点M作平面α∥平面PAD,截棱锥所得图形的面积为y,若平面α与平面PAD之间的距离为x,则函数y=f(x)的图象是(  )‎ 解析:选C.过点M作MN⊥AB,‎ 交AB于点N,则MN⊥平面ABCD,‎ 过点N作NQ∥AD,交CD于点Q,‎ 过点Q作QH∥PD,‎ 交PC于点H,连接MH,‎ 则平面MNQH是所作的平面α,‎ 由题意得=,‎ 解得MN=4-2x,由=.‎ 即=,‎ 解得QH=(2-x),‎ 过点H作HE⊥NQ,垂足为E,在Rt△HEQ中,EQ==2-x,‎ 所以NE=2-(2-x)=x,‎ 所以MH=x,‎ 所以y=f(x)= ‎=-x2+4(0<x<2).‎ 所以函数y=f(x)的图象如图.故选C.‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定(  )‎ A.与a,b都相交 B.只能与a,b中的一条相交 C.至少与a,b中的一条相交 D.与a,b都平行 解析:选C.若c与a,b都不相交,则c与a,b都平行,根据公理4,知a∥b,与a,b异面矛盾.‎ ‎2.已知直线a和平面α,β,α∩β=l,aα,aβ,且a在α,β 内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是(  )‎ A.相交或平行 B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面 解析:选D.依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.故选D.‎ ‎3.已知空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是(  )‎ A.空间四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 解析:选B.如图所示,易证四边形EFGH为平行四边形.‎ 因为E,F分别为AB,BC的中点,‎ 所以EF∥AC.‎ 又FG∥BD,‎ 所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角.‎ 而AC与BD所成的角为90°,‎ 所以∠EFG=90°,故四边形EFGH为矩形.‎ ‎4.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A.若直线a,b相交,设交点为P,则P∈a,P∈b.又aα,bβ,所以P∈α,P∈β,故α,β相交.反之,若α,β相交,则a,b可能相交,也可能异面或平行.故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.‎ ‎5.(2020·内蒙古集宁一中四模)如图,在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点,若CD=2AB=4,EF⊥BA,则EF与CD所成的角为(  )‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.90°‎ 解析:选A.取CB的中点G,连接EG,FG.则EG∥AB,FG∥CD.所以EF与CD所成的角为∠EFG(或其补角),因为EF⊥AB,所以EF⊥EG.‎ EG=AB=1,FG=CD=2,‎ 所以在Rt△EFG中,sin∠EFG=,所以EF与CD所成的角为30°.故选A.‎ ‎6.已知棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中,M,N分别为CD,AD的中点,则MN与A′C′的位置关系是 .‎ 解析:如图,由题意可知MN∥AC.又因为AC∥A′C′,‎ 所以MN∥A′C′.‎ 答案:平行 ‎7.给出下列四个命题:‎ ‎①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点;‎ ‎②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交,则α与β相交;‎ ‎③若一条直线和两条平行线都相交,则这三条直线共面;‎ ‎④若三条直线两两相交,则这三条直线共面.‎ 其中真命题的序号是 .‎ 解析:①正确,因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面,所以最多有一个公共点.②正确,a,b有交点,则两平面有公共点,则两平面相交.③正确,两平行直线可确定一个平面,又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上,所以过这两交点的直线也在平面内,即三线共面.④错误,这三条直线可以交于同一点,但不在同一平面内.‎ 答案:①②③‎ ‎8.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,则异面直线AP与BD所成的角为 .‎ 解析:如图,将原图补成正方体ABCDQGHP,连接AG,GP,则GP∥BD,所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角,‎ 在△AGP中,AG=GP=AP,‎ 所以∠APG=.‎ 答案: ‎9.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证:D1,H,O三点共线.‎ 证明:如图,连接BD,B1D1,‎ 则BD∩AC=O,‎ 因为BB1DD1,‎ 所以四边形BB1D1D为平行四边形,‎ 又H∈B1D,‎ B1D平面BB1D1D,‎ 则H∈平面BB1D1D,‎ 因为平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1,‎ 所以H∈OD1.即D1,H,O三点共线.‎ ‎10.如图,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求:‎ ‎(1)三棱锥PABC的体积;‎ ‎(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.‎ 解:(1)S△ABC=×2×2=2,‎ 三棱锥PABC的体积为V=S△ABC·PA=×2×2=.‎ ‎(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.‎ 在△ADE中,DE=2,AE=,AD=2,cos∠ADE==.‎ 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是(  )‎ A.直线AC    B.直线AB C.直线CD     D.直线BC 解析:选C.由题意知,D∈l,lβ,所以D∈β,‎ 又因为D∈AB,所以D∈平面ABC,‎ 所以点D在平面ABC与平面β的交线上.‎ 又因为C∈平面ABC,C∈β,‎ 所以点C在平面β与平面ABC的交线上,‎ 所以平面ABC∩平面β=CD.‎ ‎2.如图,已知线段AB垂直于定圆所在的平面,B,C是圆上的两点,H是点B在AC上的射影,当点C运动时,点H运动的轨迹(  )‎ A.是圆 B.是椭圆 C.是抛物线 D.不是平面图形 解析:选A.如图,过点B作圆的直径BD,连接CD,AD,则BC⊥CD,再过点B作BE⊥AD于点E,连接HE,因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.又BC⊥CD,且AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC,所以CD⊥BH.‎ 又BH⊥AC,且AC∩CD=C,所以BH⊥平面ACD,所以BH⊥AD,BH⊥HE.‎ 又注意到过点B与直线AD垂直的直线都在同一个平面内,于是结合点B,E位置,可知,当点C运动时,点H运动的轨迹是以BE为直径的圆.故选A.‎ ‎3.如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.‎ ‎(1)求证:直线EF与BD是异面直线;‎ ‎(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.‎ 解:(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.‎ ‎(2)取CD的中点G,连接EG,FG,则AC∥FG,EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角,即为异面直线EF与BD所成的角.‎ 又因为AC⊥BD,则FG⊥EG.‎ 在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,‎ 求得∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.‎ ‎4.(综合型)如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.‎ ‎(1)证明:E,F,G,H四点共面;‎ ‎(2)m,n满足什么条件时,四边形EFGH是平行四边形?‎ ‎(3)在(2)的条件下,若AC⊥BD,试证明:EG=FH.‎ 解:(1)证明:因为AE∶EB=AH∶HD,所以EH∥BD.‎ 又CF∶FB=CG∶GD,‎ 所以FG∥BD.所以EH∥FG.‎ 所以E,F,G,H四点共面.‎ ‎(2)当EH∥FG,且EH=FG时,四边形EFGH为平行四边形.‎ 因为==,所以EH=BD.‎ 同理可得FG=BD,由EH=FG,得m=n.‎ 故当m=n时,四边形EFGH为平行四边形.‎ ‎(3)证明:当m=n时,AE∶EB=CF∶FB,‎ 所以EF∥AC,‎ 又EH∥BD,‎ 所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角),‎ 因为AC⊥BD,所以∠FEH=90°,‎ 从而平行四边形EFGH为矩形,所以EG=FH.‎
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