【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第八章第5讲　直线、平面垂直的判定与性质学案

【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第八章第5讲　直线、平面垂直的判定与性质学案

第 5 讲　直线、平面垂直的判定与性质 [学生用书 P133] 1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面 内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此 平面垂直 Error!⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 Error!⇒a∥b 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个 平面互相垂直 Error!⇒α⊥β 性质定理 两个平面互相垂直， 则一个平面内垂直于 交线的直线垂直于另 一个平面 Error!⇒l⊥α 3.直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面 所成的角，如图，∠PAO 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角． (2)线面角 θ 的范围：θ∈[0，π 2 ]. a．直线垂直于平面，则它们所成的角是直角； b．直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是 0°的角； c．当直线与平面斜交时，它们所成的角是锐角． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则 l⊥α.(　　) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　) (3)直线 a⊥α，b⊥α，则 a∥b.(　　) (4)若 α⊥β，a⊥β⇒a∥α.(　　) (5)若直线 a⊥平面 α，直线 b∥α，则直线 a 与 b 垂直．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ (教材习题改编)下列命题中错误的是(　　) A．如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B．如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C．如果平面 α⊥平面 γ，平面 β⊥平面 γ，α∩β＝l，那么 l⊥平面 γ D．如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 解析：选 D.对于 D，若平面 α⊥平面 β，则平面 α 内的直线可能不垂直于平面 β，即与 平面 β 的关系还可以是斜交、平行或在平面 β 内，其他选项易知均是正确的． (教材习题改编)设 m、n 表示直线，α、β 表示平面，下列命题为真命题的是(　　) A．若 m⊥α，α⊥β，则 m∥β B.m∥α，m⊥β，则 α⊥β C．若 m⊥n，m⊥α，则 n∥α D．m∥α，n∥β，α⊥β，则 m⊥n 解析：选 B.对于 A，m 可以在 β 内，故 A 错； 对于 C，n 可以在 α 内，故 C 错； 对于 D，m 与 n 可以平行，故 D 错． 已知 m 和 n 是两条不同的直线，α 和 β 是两个不重合的平面，那么下面给出的条件 中一定能推出 m⊥β 的是(　　) A．α⊥β 且 m⊥α B.α⊥β 且 m∥α C．m∥n 且 n⊥β D．m⊥n 且 n∥β 解析：选 C.依题意，对于 A，注意到直线 m 可能位于平面 β 内，因此选项 A 不正确； 对于 B，注意到直线 m 可能位于平面 β 内且与它们的交线平行，因此选项 B 不正确；对于 C，由定理“若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”得知， C 正确；对于 D，注意到直线 m 可能位于平面 β 内，因此选项 D 不正确．综上所述，选 C. (教材习题改编)已知 P 为△ABC 所在平面外一点，且 PA，PB，PC 两两垂直，有下 列结论：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的是(　　) A．①②③ B.①②④ C．②③④ D．①②③④ 解析：选 A.如图，因为 PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，且 PB⊂平面 PBC，PC⊂平 面 PBC， 所以 PA⊥平面 PBC， 又 BC⊂平面 PBC，所以 PA⊥BC. 同理可得 PB⊥AC，PC⊥AB.故①②③正确． 　　　　　　与垂直关系有关命题真假的判断 [学生用书 P134] [典例引领] 已知 m，n 是两条不同的直线，α，β 为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若 m⊥α，n⊥β，m⊥n，则 α⊥β； ②若 m∥α，n∥β，m⊥n，则 α∥β； ③若 m⊥α，n∥β，m⊥n，则 α∥β； ④若 m⊥α，n∥β，α∥β，则 m⊥n. 其中所有正确的命题是(　　) A．①④　　　　　　　　 B.②④ C．① D．④ 【解析】　借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面 α，β 互相垂直，如 图(1)所示，故①正确；对于②，平面 α、β 可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③， 平面 α、β 可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由 m⊥α，α∥β 可得 m⊥β，因为 n∥β，所以过 n 作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以 n 与交线 g 平行，因为 m⊥g， 所以 m⊥n，故④正确． 【答案】　A 与线面垂直关系有关命题真假的判断方法 (1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准，甚至无需作图通过空间想象来判 断． (2)寻找反例，只要存在反例，结论就不正确． (3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明．　 [通关练习] 1．设 a，b 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　) A．若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a∥b B．若 a∥α，b⊥β，且 α⊥β，则 a∥b C．若 a⊥α，a∥b，b∥β，则 α⊥β D．若 a⊥b，a⊂α，b⊂β，则 α⊥β 解析：选 C.若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则直线 a 与 b 可能平行或异面，所以 A 错误； 若 a∥α，b⊥β，且 α⊥β， 则直线 a 与 b 可能平行或相交或异面，所以 B 错误； 若 a⊥α，a∥b，b∥β，则 α⊥β，所以 C 正确； 若 a⊥b，a⊂α，b⊂β，则 α 与 β 相交或平行， 所以 D 错误．故选 C. 2．设 a，b 为不重合的两条直线，α，β 为不重合的两个平面，给出下列命题： ①若 a∥α 且 b∥α，则 a∥b； ②若 a⊥α 且 a⊥β，则 α∥β； ③若 α⊥β，则一定存在平面 γ，使得 γ⊥α，γ⊥β； ④若 α⊥β，则一定存在直线 l，使得 l⊥α，l∥β. 上面命题中，所有真命题的序号是________． 解析：①中 a 与 b 也可能相交或异面，故不正确． ②垂直于同一直线的两平面平行，正确． ③中存在 γ，使得 γ 与 α，β 都垂直． ④中只需直线 l⊥α 且 l⊄β 就可以． 答案：②③④ 　　　　　　线面垂直的判定与性质(高频考点) [学生用书 P134] 直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，难度适中，属 中档题．主要命题角度有： (1)证明直线与平面垂直； (2)利用线面垂直的性质证明线线垂直． [典例引领] 角度一　证明直线与平面垂直 如图所示，在四棱锥 P­ABCD 中，AB⊥平面 PAD，AB∥CD，PD＝AD，E 是 PB 的中点，F 是 DC 上的点，且 DF＝1 2AB，PH 为△PAD 中 AD 边上的高． 求证：(1)PH⊥平面 ABCD； (2)EF⊥平面 PAB. 【证明】　(1)因为 AB⊥平面 PAD，PH⊂平面 PAD，所以 PH⊥AB. 因为 PH 为△PAD 中 AD 边上的高，所以 PH⊥AD. 因为 AB∩AD＝A，AB⊂平面 ABCD，AD⊂平面 ABCD，所以 PH⊥平面 ABCD. (2)如图，取 PA 的中点 M，连接 MD，ME.因为 E 是 PB 的中点，所以 ME ═ ∥ 1 2AB. 又因为 DF ═ ∥ 1 2AB. 所以 ME ═ ∥ DF， 所以四边形 MEFD 是平行四边形， 所以 EF∥MD. 因为 PD＝AD，所以 MD⊥PA. 因为 AB⊥平面 PAD，所以 MD⊥AB. 因为 PA∩AB＝A，所以 MD⊥平面 PAB，所以 EF⊥平面 PAB. 角度二　利用线面垂直的性质证明线线垂直 (2017·高考江苏卷) 如图，在三棱锥 A­BCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面 ABD⊥平面 BCD，点 E、F(E 与 A、D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面 ABC； (2)AD⊥AC. 【证明】　(1)在平面 ABD 内，因为 AB⊥AD，EF⊥AD，所以 EF∥AB. 又因为 EF⊄平面 ABC，AB⊂平面 ABC， 所以 EF∥平面 ABC. (2)因为平面 ABD⊥平面 BCD， 平面 ABD∩平面 BCD＝BD， BC⊂平面 BCD，BC⊥BD， 所以 BC⊥平面 ABD. 因为 AD⊂平面 ABD，所以 BC⊥AD. 又 AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面 ABC，BC⊂平面 ABC， 所以 AD⊥平面 ABC. 又因为 AC⊂平面 ABC， 所以 AD⊥AC. 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥ α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因 此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．　 [通关练习] 1．如图所示，在四棱锥 P­ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝ 60°，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．证明： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE. 证明：(1)在四棱锥 P­ABCD 中， 因为 PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， 所以 PA⊥CD.因为 AC⊥CD，PA∩AC＝A， 所以 CD⊥平面 PAC. 而 AE⊂平面 PAC，所以 CD⊥AE. (2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA. 因为 E 是 PC 的中点，所以 AE⊥PC. 由(1)知 AE⊥CD，且 PC∩CD＝C， 所以 AE⊥平面 PCD. 而 PD⊂平面 PCD， 所以 AE⊥PD. 因为 PA⊥底面 ABCD，所以 PA⊥AB. 又因为 AB⊥AD 且 PA∩AD＝A， 所以 AB⊥平面 PAD，而 PD⊂平面 PAD， 所以 AB⊥PD.又因为 AB∩AE＝A， 所以 PD⊥平面 ABE. 2. 如图，在直三棱柱 ABC­A1B1C1 中，已知 AC⊥BC，BC＝CC1.设 AB1 的中点为 D，B1C∩ BC1＝E. 求证：(1)DE∥平面 AA1C1C； (2)BC1⊥AB1. 证明：(1)由题意知，E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1 的中点， 因此 DE∥AC. 又因为 DE⊄平面 AA1C1C，AC⊂平面 AA1C1C， 所以 DE∥平面 AA1C1C. (2)因为棱柱 ABC­A1B1C1 是直三棱柱， 所以 CC1⊥平面 ABC. 因为 AC⊂平面 ABC，所以 AC⊥CC1. 又因为 AC⊥BC，CC1⊂平面 BCC1B1， BC⊂平面 BCC1B1， BC∩CC1＝C， 所以 AC⊥平面 BCC1B1， 又因为 BC1⊂平面 BCC1B1， 所以 BC1⊥AC. 因为 BC＝CC1， 所以矩形 BCC1B1 是正方形， 因此 BC1⊥B1C. 因为 AC⊂平面 B1AC，B1C⊂平面 B1AC，AC∩B1C＝C， 所以 BC1⊥平面 B1AC. 又因为 AB1⊂平面 B1AC， 所以 BC1⊥AB1. 　　　　　　面面垂直的判定与性质 [学生用书 P135] [典例引领] 如图，四棱锥 P­ABCD 中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G， M，N 分别为 PB，AB，BC，PD，PC 的中点． (1)求证：CE∥平面 PAD； (2)求证：平面 EFG⊥平面 EMN. 【证明】　(1)法一：取 PA 的中点 H，连接 EH，DH. 又 E 为 PB 的中点， 所以 EH ═ ∥ 1 2AB. 又 CD ═ ∥ 1 2AB， 所以 EH ═ ∥ CD. 所以四边形 DCEH 是平行四边形， 所以 CE∥DH. 又 DH⊂平面 PAD，CE⊄平面 PAD. 所以 CE∥平面 PAD. 法二：连接 CF.因为 F 为 AB 的中点，所以 AF＝1 2AB. 又 CD＝1 2AB， 所以 AF＝CD. 又 AF∥CD，所以四边形 AFCD 为平行四边形． 因此 CF∥AD. 又 CF⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， 所以 CF∥平面 PAD. 因为 E、F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EF∥PA. 又 EF⊄平面 PAD，PA⊂平面 PAD， 所以 EF∥平面 PAD. 又因为 CF∩EF＝F.故平面 CEF∥平面 PAD. 又因为 CE⊂平面 CEF， 所以 CE∥平面 PAD. (2)因为 E、F 分别为 PB、AB 的中点， 所以 EF∥PA，又 AB⊥PA，所以 AB⊥EF. 同理可得 AB⊥FG. 又 EF∩FG＝F，EF⊂平面 EFG， FG⊂平面 EFG， 因此 AB⊥平面 EFG. 又 M、N 分别为 PD，PC 的中点，所以 MN∥CD. 又 AB∥CD，所以 MN∥AB，所以 MN⊥平面 EFG. 又 MN⊂平面 EMN， 所以平面 EFG⊥平面 EMN. 1.在本例条件下，证明：平面 EMN⊥平面 PAC. 证明：因为 AB⊥PA，AB⊥AC，且 PA∩AC＝A，所以 AB⊥平面 PAC. 又 MN∥CD，CD∥AB，所以 MN∥AB. 所以 MN⊥平面 PAC. 又 MN⊂平面 EMN， 所以平面 EMN⊥平面 PAC. 2.在本例条件下，证明：平面 EFG∥平面 PAC. 证明：因为 E，F，G 分别为 PB，AB，BC 的中点， 所以 EF∥PA，FG∥AC， 又 EF⊄平面 PAC，PA⊂平面 PAC， 所以 EF∥平面 PAC. 同理，FG∥平面 PAC. 又 EF∩FG＝F，所以平面 EFG∥平面 PAC. (1)证明面面垂直的 2 种方法 ①定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面 垂直问题转化为证明平面角为直角的问题. ②定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线， 把问题转化成证明线线垂直加以解决. (2)三种垂直关系的转化 线线垂直判定 性质 线面垂直判定 性质 面面垂直　 [通关练习] 1．如图，在直三棱柱 ABC­A1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1. 求证：(1)直线 DE∥平面 A1C1F； (2)平面 B1DE⊥平面 A1C1F. 证明：(1)在直三棱柱 ABC­A1B1C1 中，A1C1∥AC. 在△ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点， 所以 DE∥AC，于是 DE∥A1C1. 又 DE⊄平面 A1C1F，A1C1⊂平面 A1C1F， 所以直线 DE∥平面 A1C1F. (2)在直三棱柱 ABC­A1B1C1 中，A1A⊥平面 A1B1C1. 因为 A1C1⊂平面 A1B1C1， 所以 A1A⊥A1C1. 又 A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面 ABB1A1，A1B1⊂平面 ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1， 所以 A1C1⊥平面 ABB1A1. 因为 B1D⊂平面 ABB1A1， 所以 A1C1⊥B1D. 又 B1D⊥A1F，A1C1⊂平面 A1C1F，A1F⊂平面 A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以 B1D⊥平面 A1C1F. 因为直线 B1D⊂平面 B1DE， 所以平面 B1DE⊥平面 A1C1F. 2．(2017·高考山东卷)由四棱柱 ABCD­A 1B1C1D1 截去三棱锥 C1­B1CD1 后得到的几何体 如图所示．四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E⊥平面 ABCD. (1)证明：A1O∥平面 B1CD1; (2)设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM⊥平面 B1CD1. 证明：(1)取 B1D1 的中点 O1，连接 CO1，A1O1， 由于 ABCD­A1B1C1D1 是四棱柱， 所以 A1O1∥OC，A1O1＝OC， 因此四边形 A1OCO1 为平行四边形，所以 A1O∥O1C， 又 O1C⊂平面 B1CD1，A1O⊄平面 B1CD1， 所以 A1O∥平面 B1CD1. (2)因为 AC⊥BD，E，M 分别为 AD 和 OD 的中点， 所以 EM⊥BD， 又 A1E⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD， 所以 A1E⊥BD， 所以 EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1， 又 A1E，EM⊂平面 A1EM，A1E∩EM＝E， 所以 B1D1⊥平面 A1EM，又 B1D1⊂平面 B1CD1， 所以平面 A1EM⊥平面 B1CD1. 证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义：a 与 α 内任何直线都垂直⇒a⊥α；　 (2)判定定理 1：Error!⇒l⊥α； (3)判定定理 2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； (4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α， a⊥l⇒a⊥β. 证明面面垂直的方法 (1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. 转化思想：垂直关系的转化 解决空间垂直问题的三个易错点 (1)证明线面垂直时，易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件． (2)面面垂直的判定定理中，直线在平面内且垂直于另一平面易忽视． (3)面面垂直的性质定理在使用时容易忘记平面内一条直线垂直于交线而盲目套用造成 失误． [学生用书 P305(单独成册)] 1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，P 为△ABC 所在平面外一点，PA⊥平面 ABC， 则四面体 P­ABC 中共有直角三角形的个数为(　　) A．4　　　　　　　　 B.3 C．2 D．1 解析：选 A.由 PA⊥平面 ABC 可得△PAC，△PAB 是直角三角形，且 PA⊥BC.又∠ABC ＝90°，所以△ABC 是直角三角形，且 BC⊥平面 PAB，所以 BC⊥PB，即△PBC 为直角三 角形，故四面体 P­ABC 中共有 4 个直角三角形． 2. 如图，在斜三棱柱 ABC­A1B1C1 中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则 C1 在底面 ABC 上的 射影 H 必在(　　) A．直线 AB 上 B.直线 BC 上 C．直线 AC 上 D．△ABC 内部 解析：选 A.由 AC⊥AB，AC⊥BC1，得 AC⊥平面 ABC1. 因为 AC⊂平面 ABC， 所以平面 ABC1⊥平面 ABC. 所以 C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上． 3．(2017·高考全国卷Ⅲ)在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，E 为棱 CD 的中点，则(　　) A．A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 解析：选 C.由正方体的性质，得 A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以 BC1⊥平面 A1B1CD，又 A1E⊂平面 A1B1CD，所以 A1E⊥BC1，故选 C. 4．设 a，b，c 是空间的三条直线，α，β 是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不 成立的是(　　) A．当 c⊥α 时，若 c⊥β，则 α∥β B．当 b⊂α 时，若 b⊥β，则 α⊥β C．当 b⊂α，且 c 是 a 在 α 内的射影时，若 b⊥c，则 a⊥b D．当 b⊂α，且 c⊄α 时，若 c∥α，则 b∥c 解析：选 B.A 的逆命题为：当 c⊥α 时，若 α∥β，则 c⊥β. 由线面垂直的性质知 c⊥β，故 A 正确；B 的逆命题为：当 b⊂α 时，若 α⊥β，则 b⊥β， 显然错误，故 B 错误；C 的逆命题为：当 b⊂α，且 c 是 a 在 α 内的射影时，若 a⊥b，则 b⊥c.由三垂线逆定理知 b⊥c，故 C 正确；D 的逆命题为：当 b⊂α，且 c⊄α 时，若 b∥c， 则 c∥α.由线面平行判定定理可得 c∥α，故 D 正确． 5．设 a，b 是夹角为 30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且 α⊥β”的平面 α， β(　　) A．不存在　　　　　　 B.有且只有一对 C．有且只有两对 D．有无数对 解析：选 D.过直线 a 的平面 α 有无数个，当平面 α 与直线 b 平行时，两直线的垂线与 b 确定的平面 β⊥α，当平面 α 与 b 相交时，过交点作平面 α 的垂线与 b 确定的平面 β⊥α.故 选 D. 6. 如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面 ABC，则在△ABC，△PAC 的边所在的直线中， 与 PC 垂直的直线有__________________；与 AP 垂直的直线有________． 解析：因为 PC⊥平面 ABC， 所以 PC 垂直于直线 AB，BC，AC. 因为 AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C， 所以 AB⊥平面 PAC，又因为 AP⊂平面 PAC， 所以 AB⊥AP，与 AP 垂直的直线是 AB. 答案：AB，BC，AC　AB 7．如图所示，在四棱锥 P­ABCD 中 PA⊥底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上 的一动点，当点 M 满足________时，平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的 条件即可) 解析： 连接 AC，BD，则 AC⊥BD，因为 PA⊥底面 ABCD，所以 PA⊥BD.又 PA∩AC＝A，所 以 BD⊥平面 PAC，所以 BD⊥PC.所以当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时，即有 PC⊥平面 MBD. 而 PC⊂平面 PCD，所以平面 MBD⊥平面 PCD. 答案：DM⊥PC(或 BM⊥PC) 8. 如图，直三棱柱 ABC­A1B1C1 中，侧棱长为 2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D 是 A1B1 的中点，F 是 BB1 上的动点，AB1，DF 交于点 E.要使 AB1⊥平面 C1DF，则线段 B1F 的长为 ________． 解析：设 B1F＝x，因为 AB1⊥平面 C1DF，DF⊂平面 C1DF，所以 AB1⊥DF. 由已知可以得 A1B1＝ 2， 设 Rt△AA1B1 斜边 AB1 上的高为 h，则 DE＝1 2h， 又 2× 2＝h× 22＋（ 2）2， 所以 h＝2 3 3 ，DE＝ 3 3 . 在 Rt△DB1E 中，B1E＝ （ 2 2 ）2－（ 3 3 ）2＝ 6 6 . 由面积相等得 6 6 × x2＋（ 2 2 ）2＝ 2 2 x，得 x＝1 2.即线段 B1F 的长为1 2. 答案：1 2 9. 如图，在多面体 ABCDPE 中，四边形 ABCD 和 CDPE 都是直角梯形，AB∥DC，PE∥ DC，AD⊥DC，PD⊥平面 ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F 是 CE 的中点． (1)求证：BF∥平面 ADP； (2)已知 O 是 BD 的中点，求证：BD⊥平面 AOF. 证明： (1)如图，取 PD 的中点为 G，连接 FG，AG， 因为 F 是 CE 的中点，所以 FG 是梯形 CDPE 的中位线， 因为 CD＝3PE，所以 FG＝2PE， FG∥CD，因为 CD∥AB，AB＝2PE， 所以 AB∥FG，AB＝FG，即四边形 ABFG 是平行四边形，所以 BF∥AG，又 BF⊄平面 ADP， AG⊂平面 ADP，所以 BF∥平面 ADP. (2)延长 AO 交 CD 于 M，连接 BM，FM， 因为 BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O 为 BD 的中点， 所以 ABMD 是正方形，则 BD⊥AM，MD＝2PE. 所以 FM∥PD，因为 PD⊥平面 ABCD， 所以 FM⊥平面 ABCD，所以 FM⊥BD， 因为 AM∩FM＝M，所以 BD⊥平面 AMF， 所以 BD⊥平面 AOF. 10．如图所示，M，N，K 分别是正方体 ABCD­A 1B1C1D1 的棱 AB，CD，C 1D1 的中 点． 求证：(1)AN∥平面 A1MK； (2)平面 A1B1C⊥平面 A1MK. 证明：(1)如图所示，连接 NK.在正方体 ABCD­A 1B1C1D1 中，因为四边形 AA 1D1D， DD1C1C 都为正方形， 所以 AA1∥DD1，AA1＝DD1， C1D1∥CD，C1D1＝CD. 因为 N，K 分别为 CD，C1D1 的中点，所以 DN∥D1K，DN＝D1K， 所以四边形 DD1KN 为平行四边形， 所以 KN∥DD1，KN＝DD1， 所以 AA1∥KN，AA1＝KN， 所以四边形 AA1KN 为平行四边形， 所以 AN∥A1K. 因为 A1K⊂平面 A1MK，AN⊄平面 A1MK， 所以 AN∥平面 A1MK. (2)如图所示，连接 BC1. 在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中， AB∥C1D1，AB＝C1D1. 因为 M，K 分别为 AB，C1D1 的中点， 所以 BM∥C1K，BM＝C1K， 所以四边形 BC1KM 为平行四边形，所以 MK∥BC1. 在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中， A1B1⊥平面 BB1C1C， BC1⊂平面 BB1C1C，所以 A1B1⊥BC1. 因为 MK∥BC1，所以 A1B1⊥MK. 因为四边形 BB1C1C 为正方形， 所以 BC1⊥B1C. 所以 MK⊥B1C. 因为 A1B1⊂平面 A1B1C， B1C⊂平面 A1B1C，A1B1∩B1C＝B1， 所以 MK⊥平面 A1B1C，又因为 MK⊂平面 A1MK， 所以平面 A1B1C⊥平面 A1MK. 1．已知直线 m，l，平面 α，β，且 m⊥α，l⊂β，给出下列命题： ①若 α∥β，则 m⊥l；②若 α⊥β，则 m∥l；③若 m⊥l，则 α⊥β；④若 m∥l，则 α⊥β. 其中正确命题的个数是(　　) A．1 B.2 C．3 D．4 解析：选 B.命题①，若 α∥β，又 m⊥α，所以 m⊥β，又 l⊂β，所以 m⊥l，正确； 命题②，l 与 m 可能相交，也可能异面，错误； 命题③，α 与 β 可能平行，错误； 命题④，因为 m∥l，又 m⊥α，所以 α⊥β，正确． 2．在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面 ABC，PA＝8，则 P 到 BC 的距离是 (　　) A. 5 B.2 5 C．3 5 D．4 5 解析：选 D.如图，取 BC 的中点 D，连接 AD，则 AD⊥BC. 又 PA⊥平面 ABC，根据三垂线定理，得 PD⊥BC. 在 Rt△ABD 中，AB＝5，BD＝3，所以 AD＝4. 在 Rt△PAD 中，PA＝8，AD＝4，所以 PD＝4 5. 3．四棱锥 P­ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥底面 ABCD，则这个四棱锥的五个面 中两两互相垂直的共有________对． 解析：因为 AD⊥AB，AD⊥PA 且 PA∩AB＝A，可得 AD⊥平面 PAB.同理可得 BC⊥平 面 PAB、AB⊥平面 PAD、CD⊥平面 PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面 PAD⊥平面 PAB， 平面 PBC⊥平面 PAB，平面 PCD⊥平面 PAD，平面 PAB⊥平面 ABCD，平面 PAD⊥平面 ABCD，共有 5 对． 答案：5 4. 如图，PA⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AE⊥PC，AF⊥PB， 给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面 PBC，其中正确结论的序 号是________． 解析：①AE⊂平面 PAC，BC⊥AC，BC⊥PA⇒AE⊥BC，故①正确，②AE⊥PC，AE⊥ BC，PB⊂平面 PBC⇒AE⊥PB，AF⊥PB，EF⊂平面 AEF⇒EF⊥PB，故②正确，③若 AF⊥ BC⇒AF⊥平面 PBC，则 AF∥AE 与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确． 答案：①②④ 5. 如图，已知四棱锥 P­ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，底面 ABCD 为菱形，AD＝2，∠DAB ＝60°，E 为 AB 的中点． (1)证明：平面 PCD⊥平面 PDE； (2)若 PD＝ 3AD，求点 E 到平面 PBC 的距离． 解：(1)证明：因为 PD⊥底面 ABCD， 所以 PD⊥AB， 连接 DB，在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°， 所以△DAB 为等边三角形， 又 E 为 AB 的中点， 所以 AB⊥DE，又 PD∩DE＝D， 所以 AB⊥平面 PDE， 因为 CD∥AB，所以 CD⊥平面 PDE， 因为 CD⊂平面 PCD，所以平面 PCD⊥平面 PDE. (2)因为 AD＝2， 所以 PD＝2 3， 在 Rt△PDC 中，PC＝4，同理 PB＝4， 易知 S△PBC＝ 15，S△EBC＝ 3 2 ， 设点 E 到平面 PBC 的距离为 h，连接 EC， 由 VP­EBC＝VE­PBC 得，1 3S△EBC·PD＝1 3S△PBC·h， 所以 h＝ 15 5 . 6. (2017·高考北京卷)如图，在三棱锥 P­ABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝ BC＝2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点． (1)求证：PA⊥BD； (2)求证：平面 BDE⊥平面 PAC； (3)当 PA∥平面 BDE 时，求三棱锥 E­BCD 的体积． 解：(1)证明：因为 PA⊥AB，PA⊥BC， 所以 PA⊥平面 ABC. 又因为 BD⊂平面 ABC， 所以 PA⊥BD. (2)证明：因为 AB＝BC，D 为 AC 的中点， 所以 BD⊥AC. 由(1)知，PA⊥BD， 所以 BD⊥平面 PAC. 所以平面 BDE⊥平面 PAC. (3)因为 PA∥平面 BDE，平面 PAC∩平面 BDE＝DE， 所以 PA∥DE. 因为 D 为 AC 的中点， 所以 DE＝1 2PA＝1，BD＝DC＝ 2. 由(1)知，PA⊥平面 ABC， 所以 DE⊥平面 ABC. 所以三棱锥 E­BCD 的体积 V＝1 6BD·DC·DE＝ 1 3.