四川省成都市青羊区中考数学二诊试卷含答案解析word

四川省成都市青羊区中考数学二诊试卷含答案解析word

‎2016年四川省成都市青羊区中考数学二诊试卷 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．下列各数中，最小的数是（　　）‎ A． B．0 C．﹣1 D．﹣3‎ ‎2．计算2x2•（﹣3x3）的结果是（　　）‎ A．﹣6x5B．6x5C．﹣2x6D．2x6‎ ‎3．如图，装修工人向墙上钉木条．若∠2=110°，要使木条b与a平行，则∠1的度数等于（　　）‎ A．55° B．70° C．90° D．110°‎ ‎4．不等式5+2x＜1的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．自成都地铁4号线开通以来，成都地铁1、2、4号线线网客流增加明显，再遇到春季糖酒会、桃花节、通勤客流等三股主要客流汇集，2016年3月25日，成都地铁再创单日线网客流历史新高，达到1738200乘次，用科学记数法表示1738200为（保留三个有效数字）（　　）‎ A．1.74×106B．1.73×106C．17.4×105D．17.3×105‎ ‎6．下列如图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．一组数据3、5、8、3、4的众数与中位数分别是（　　）‎ A．3，8 B．3，3 C．3，4 D．4，3‎ ‎8．同学们玩过滚铁环吗？当铁环的半径是30cm，手柄长40cm．当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50cm时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为（　　）‎ A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 ‎9．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）‎ A．3000x2=5000 B．3000（1+x）2=5000‎ C．3000（1+x%）2=5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000‎ ‎10．正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后，B点到达的位置坐标为（　　）‎ A．（﹣2，2） B．（4，1） C．（3，1） D．（4，0）‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎11．点M（2，﹣3）关于y轴对称的对称点N的坐标是　　　　　　．‎ ‎12．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是　　　　　　°．‎ ‎13．一个不透明的布袋中，放有3个白球，5个红球，它们除颜色外完全相同，从中随机摸取1个，摸到红球的概率是　　　　　　．‎ ‎14．如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=的图象交于A、B两点，则四边形MAOB的面积为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共14小题，满分104分）‎ ‎15．（1）计算：|﹣3|+•tan30°﹣﹣0+（﹣）﹣2‎ ‎（2）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来．‎ ‎16．化简，求值：，其中m=．‎ ‎17．如图所示，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为53°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？‎ ‎（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）‎ ‎18．某校七年级有200名学生参加了全国中小学生安全知识竞赛初赛，为了了解本校初赛的成绩情况，从中抽取了50名学校，将他们的初赛成绩（得分为整数，满分100分）分成五组：‎ 第一组49.5﹣59.5；第二组59.5﹣69.5；第三组69.5﹣79.5；第四组79.5﹣89.5；第五组89.5﹣100.5．统计后得到如图所示的频数分布直方图（部分）．观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）第四组的频数为　　　　　　（直接写答案）；‎ ‎（2）若将得分转化为等级，规定：得分低于59.5分评为“D”，59.5﹣69.5分评分“C”，69.5﹣89.5分评为“B”，89.5﹣100.5分评为“A”，那么这200名参加初赛的学生中，参赛成绩评为“D”的学生约有　　　　　　个（直接填空答案）．‎ ‎（3）若将抽取出来的50名学生中成绩落在第四、第五组的学生组成一个培训小组，再从这个培训小组中随机挑选2名学生参加决赛，用列表法或画树状图法求：挑选的2名学生的初赛成绩恰好都在90分以上的概率．‎ ‎19．如图，点P的坐标为（2，），过点P作x轴的平行线交y轴于点A，作PB⊥AP交反比例函数y=（x＞0）于点B，连结AB．已知tan∠BAP=．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）求直线AB的解析式．‎ ‎20．如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．‎ ‎（1）证明：BD是⊙O的切线．‎ ‎（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为16，cos∠BFA=，那么，你能求出△ACF的面积吗？若能，请你求出其面积；若不能，请说明理由．‎ ‎21．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根为m、n，则m2﹣3mn+n2=　　　　　　．‎ ‎22．如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行　　　　　　分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．‎ ‎23．已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“关联”抛物线，直线AC′为抛物线p的“关联”直线．若一条抛物线的“关联”抛物线和“关联”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为　　　　　　．‎ ‎24．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为　　　　　　．‎ ‎25．如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH，④AD2=OD•DH中，正确的是　　　　　　．‎ ‎26．今年清明假期，小王组织朋友取九寨沟三日游，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人640元，且提供的服务完全相同．针对组团三日游的游客，甲旅行社表示，每人都按8.5折收费；乙旅行设表示，若人数不超过20人，每人都按9折收费；超过20人，则超出部分每人按7.5折收费．假设组团参加甲、乙两家旅行社三日游的人数均为x人．‎ ‎（1）请分别写出甲、乙两家旅行设收取组团三日游的总费用y（元）与x（人）之间函数关系式．‎ ‎（2）若小王组团参加三日游的人数共有25人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助小王选择收取总费用较少的一家．‎ ‎27．如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图2所示）．将纸片△AC1D1沿直线D2B（A→B方向）平移（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当D1与点B重合时，停止平移．在平移的过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P．‎ ‎（1）当△AC1D1平移到如图3所示位置时，猜想D1E与D2F的数量关系，并说明理由．‎ ‎（2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1和△BC2D2重复部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；‎ ‎（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x，使得重复部分面积等于原△ABC纸片面积的？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎28．已知抛物线y=（a＞0）与x轴交于A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．‎ ‎（1）若抛物线过点D（2，﹣2），求实数a的值．‎ ‎（2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点E，使AE+CE最小，求出点E的坐标．‎ ‎（3）在第一象限内，抛物线上是否存在点M，使得以A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年四川省成都市青羊区中考数学二诊试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．下列各数中，最小的数是（　　）‎ A． B．0 C．﹣1 D．﹣3‎ ‎【考点】有理数大小比较．‎ ‎【分析】根据有理数大小比较的法则依次判断即可：①正数都大于0； ②负数都小于0；③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小．‎ ‎【解答】解：根据有理数大小比较的法则可直接判断出：﹣3＜﹣1＜0＜，即D＜C＜B＜A．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．计算2x2•（﹣3x3）的结果是（　　）‎ A．﹣6x5B．6x5C．﹣2x6D．2x6‎ ‎【考点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式．‎ ‎【分析】根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案．‎ ‎【解答】解：2x2•（﹣3x3），‎ ‎=2×（﹣3）•（x2•x3），‎ ‎=﹣6x5．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．如图，装修工人向墙上钉木条．若∠2=110°，要使木条b与a平行，则∠1的度数等于（　　）‎ A．55° B．70° C．90° D．110°‎ ‎【考点】平行线的性质．‎ ‎【分析】由已知木条b与a平行，所以得到∠3=∠2，又∠3+∠1=180°，从而求出∠1的度数．‎ ‎【解答】解：已知a∥b，‎ ‎∴∠3=∠2=110°，‎ 又∠3+∠1=180°，‎ ‎∴∠1=180°﹣∠3=180°﹣110°=70°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．不等式5+2x＜1的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．‎ ‎【分析】先解不等式得到x＜﹣2，根据数轴表示数的方法得到解集在﹣2的左边．‎ ‎【解答】解：5+2x＜1，‎ 移项得2x＜﹣4，‎ 系数化为1得x＜﹣2．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．自成都地铁4号线开通以来，成都地铁1、2、4号线线网客流增加明显，再遇到春季糖酒会、桃花节、通勤客流等三股主要客流汇集，2016年3月25日，成都地铁再创单日线网客流历史新高，达到1738200乘次，用科学记数法表示1738200为（保留三个有效数字）（　　）‎ A．1.74×106B．1.73×106C．17.4×105D．17.3×105‎ ‎【考点】科学记数法与有效数字．‎ ‎【分析】根据科学记数法的表示方法：a×10n，有效数字是从第一个不为零的数字起都是有效数字，可得答案．‎ ‎【解答】解：用科学记数法表示1738200为1.74×106，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．下列如图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．‎ ‎【解答】解：人站在几何体的正面，从上往下看，正方形个数从左到右依次为1，1，2，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．一组数据3、5、8、3、4的众数与中位数分别是（　　）‎ A．3，8 B．3，3 C．3，4 D．4，3‎ ‎【考点】众数；中位数．‎ ‎【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．‎ ‎【解答】解：把这组数据从小到大排列：3、3、4、5、8，‎ ‎3出现了2次，出现的次数最多，则众数是3．‎ 处于中间位置的那个数是4，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是4；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．同学们玩过滚铁环吗？当铁环的半径是30cm，手柄长40cm．当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50cm时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为（　　）‎ A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】根据题意画出相应的图形，由三角形ABC的三边，利用勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°，根据垂直定义得到AC与BC垂直，再利用切线的定义：过半径外端点且与半径垂直的直线为圆的切线，得到AC为圆B的切线，可得出此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切．‎ ‎【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：‎ 由已知得：BC=30cm，AC=40cm，AB=50cm，‎ ‎∵BC2+AC2=302+402=900+1600=2500，AB2=502=2500，‎ ‎∴BC2+AC2=AB2，‎ ‎∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，‎ ‎∴AC为圆B的切线，‎ 则此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）‎ A．3000x2=5000 B．3000（1+x）2=5000‎ C．3000（1+x%）2=5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．‎ ‎【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元”，可以分别用x表示2012以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．‎ ‎【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x，‎ 则2013的教育经费为：3000×（1+x）万元，‎ ‎2014的教育经费为：3000×（1+x）2万元，‎ 那么可得方程：3000×（1+x）2=5000．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后，B点到达的位置坐标为（　　）‎ A．（﹣2，2） B．（4，1） C．（3，1） D．（4，0）‎ ‎【考点】坐标与图形变化-旋转．‎ ‎【分析】利用网格结构找出点B绕点D顺时针旋转90°后的位置，然后根据平面直角坐标系写出点的坐标即可．‎ ‎【解答】解：如图，点B绕点D顺时针旋转90°到达点B′，‎ 点B′的坐标为（4，0）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎11．点M（2，﹣3）关于y轴对称的对称点N的坐标是　（﹣2，﹣3）　．‎ ‎【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．‎ ‎【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．‎ ‎【解答】解：点M（2，﹣3）关于y轴对称的对称点N的坐标是（﹣2，﹣3），‎ 故答案为：（﹣2，﹣3）．‎ ‎　‎ ‎12．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是　140　°．‎ ‎【考点】多边形内角与外角．‎ ‎【分析】根据多边形的内角和公式即可得出结果．‎ ‎【解答】解：∵九边形的内角和=（9﹣2）•180°=1260°，‎ 又∵九边形的每个内角都相等，‎ ‎∴每个内角的度数=1260°÷9=140°．‎ 故答案为：140．‎ ‎　‎ ‎13．一个不透明的布袋中，放有3个白球，5个红球，它们除颜色外完全相同，从中随机摸取1个，摸到红球的概率是　　．‎ ‎【考点】概率公式．‎ ‎【分析】先求出球的总个数，再用红球的个数÷球的总个数可得红球的概率．‎ ‎【解答】解：∵口袋中有3个白球，5个红球，‎ ‎∴共有8个球，‎ ‎∴摸到红球的概率是；‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=的图象交于A、B两点，则四边形MAOB的面积为　8　．‎ ‎【考点】反比例函数系数k的几何意义．‎ ‎【分析】设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），根据反比例函数y=的图象过A，B两点，所以ab=2，cd=2，进而得到S△AOC=|ab|=1，S△BOD=|cd|=1，S矩形MCDO=3×2=6，根据四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO，即可解答．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），‎ ‎∵反比例函数y=的图象过A，B两点，‎ ‎∴ab=2，cd=2，‎ ‎∴S△AOC=|ab|=1，S△BOD=|cd|=1，‎ ‎∵点M（﹣3，2），‎ ‎∴S矩形MCDO=3×2=6，‎ ‎∴四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO=1+1+6=8，‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ 三、解答题（共14小题，满分104分）‎ ‎15．（1）计算：|﹣3|+•tan30°﹣﹣0+（﹣）﹣2‎ ‎（2）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来．‎ ‎【考点】实数的运算；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．‎ ‎【分析】（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用立方根定义计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；‎ ‎（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．‎ ‎【解答】解：（1）原式=3+×﹣2﹣1+9=3+1﹣3+9=10；‎ ‎（2），‎ 由①得：x≤5，‎ 由②得：x＞2，‎ 则不等式组的解集为2＜x≤5．‎ ‎　‎ ‎16．化简，求值：，其中m=．‎ ‎【考点】分式的化简求值．‎ ‎【分析】先根据分式的混合运算法则把分式化简，再把m=代入求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：原式=，‎ ‎=，‎ ‎=，‎ ‎=，‎ ‎=，‎ ‎=．‎ ‎∴当m=时，原式=．‎ ‎　‎ ‎17．如图所示，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为53°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？‎ ‎（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用．‎ ‎【分析】如图所示，在△ABC中，BC⊥AC，AB=3，∠CAB=53°，故有AC=3cos53°≈3×0.6=1.8，CD≈3+0.5﹣1.8=1.7，即BE=CD=1.7m．‎ ‎【解答】解：设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处．过点A，B的铅垂线分别为AD，BE，点D，E在地面上，过B作BC⊥AD于点C．‎ 在Rt△ABC中，AB=3，∠CAB=53°，‎ ‎∵cos53°=，‎ ‎∴AC=3cos53°≈3×0.6=1.8（m），‎ ‎∴CD≈3+0.5﹣1.8=1.7（m），‎ ‎∴BE=CD≈1.7（m），‎ 答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为1.7m．‎ ‎　‎ ‎18．某校七年级有200名学生参加了全国中小学生安全知识竞赛初赛，为了了解本校初赛的成绩情况，从中抽取了50名学校，将他们的初赛成绩（得分为整数，满分100分）分成五组：‎ 第一组49.5﹣59.5；第二组59.5﹣69.5；第三组69.5﹣79.5；第四组79.5﹣89.5；第五组89.5﹣100.5．统计后得到如图所示的频数分布直方图（部分）．观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）第四组的频数为　2　（直接写答案）；‎ ‎（2）若将得分转化为等级，规定：得分低于59.5分评为“D”，59.5﹣69.5分评分“C”，69.5﹣89.5分评为“B”，89.5﹣100.5分评为“A”，那么这200名参加初赛的学生中，参赛成绩评为“D”的学生约有　64　个（直接填空答案）．‎ ‎（3）若将抽取出来的50名学生中成绩落在第四、第五组的学生组成一个培训小组，再从这个培训小组中随机挑选2名学生参加决赛，用列表法或画树状图法求：挑选的2名学生的初赛成绩恰好都在90分以上的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率）分布直方图．‎ ‎【分析】（1）由抽取了50名学生，结合直方图，即可求得第四组的频数；‎ ‎（2）利用样本即可估算总体，即可求得答案；‎ ‎（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与挑选的2名学生的初赛成绩恰好都在90分以上的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）第四组的频数为：50﹣16﹣20﹣10﹣2=2，‎ 故答案为：2；‎ ‎（2）参赛成绩评为“D”的学生约有：200×=64（个）；‎ 故答案为：64；‎ ‎（3）画树状图得：‎ ‎∵共有12种等可能的结果，挑选的2名学生的初赛成绩恰好都在90分以上的有2种情况，‎ ‎∴挑选的2名学生的初赛成绩恰好都在90分以上的概率为： =．‎ ‎　‎ ‎19．如图，点P的坐标为（2，），过点P作x轴的平行线交y轴于点A，作PB⊥AP交反比例函数y=（x＞0）于点B，连结AB．已知tan∠BAP=．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）求直线AB的解析式．‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】（1）由点P的坐标可得出A点的坐标以及线段AP的长度，通过解直角三角形可求出BP的长度，结合点P的坐标即可得出B点的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；‎ ‎（2）设直线AB的解析式y=ax+b．结合A、B点的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式．‎ ‎【解答】解：（1）∵点P的坐标为（2，），‎ ‎∴AP=2，点A的坐标为（0，）．‎ 在Rt△ABP中，∠APB=90°，tan∠BAP=，AP=2，‎ ‎∴BP=AP•tan∠BAP=2×=3，‎ ‎∴点B的坐标为（2，）．‎ ‎∵点B（2，）在反比例函数y=（x＞0）图象上，‎ ‎∴=，解得：k=9．‎ ‎（2）设直线AB的解析式y=ax+b，‎ 则有，解得：．‎ ‎∴直线AB的解析式为y=x+．‎ ‎　‎ ‎20．如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．‎ ‎（1）证明：BD是⊙O的切线．‎ ‎（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为16，cos∠BFA=，那么，你能求出△ACF的面积吗？若能，请你求出其面积；若不能，请说明理由．‎ ‎【考点】切线的判定．‎ ‎【分析】（1）BD是⊙O的切线．先连接OB，由于AC是直径，那么∠ABC=90°，得到∠BAC+∠C=90°，由OA=OB，得到∠BAC=∠OBA，证明∠OBD=90°，根据切线的判定定理证明；‎ ‎（2）由于cos∠BFA=，那么=，证明△EBF∽△CAF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）BD是⊙O的切线，‎ 理由：如右图所示，连接OB，‎ ‎∵AC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ ‎∴∠BAC+∠C=90°，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴∠BAC=∠OBA，‎ ‎∴∠OBA+∠C=90°，‎ ‎∵∠ABD=∠C，‎ ‎∴∠ABD+∠OBA=90°，即∠OBD=90°，‎ ‎∴DB是⊙O的切线；‎ ‎（2）在Rt△ABF中，‎ ‎∵cos∠BFA=，‎ ‎∴=，‎ ‎∵∠E=∠C，∠EBF=∠FAC，‎ ‎∴△EBF∽△CAF，‎ ‎∴S△BFE：S△AFC=（）2=，‎ ‎∵△BEF的面积为16，‎ ‎∴△ACF的面积为36．‎ ‎　‎ ‎21．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根为m、n，则m2﹣3mn+n2=　31　．‎ ‎【考点】根与系数的关系．‎ ‎【分析】由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，将所求式子利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两个根，‎ ‎∴m+n=4，mn=﹣3，‎ 则m2﹣3mn+n2=（m+n）2﹣5mn=16+15=31．‎ 故答案为：31．‎ ‎　‎ ‎22．如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行　15　分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．‎ ‎【分析】过M作AB的垂线，设垂足为N．由题易知∠MAB=30°，∠MBN=60°；则∠BMA=∠BAM=30°，得BM=AB．由此可在Rt△MBN中，根据BM（即AB）的长求出BN的长，进而可求出该船需要继续航行的时间．‎ ‎【解答】解：作MN⊥AB于N．‎ 易知：∠MAB=30°，∠MBN=60°，‎ 则∠BMA=∠BAM=30°．‎ 设该船的速度为x，则BM=AB=0.5x．‎ Rt△BMN中，∠MBN=60°，‎ ‎∴BN=BM=0.25x．‎ 故该船需要继续航行的时间为0.25x÷x=0.25小时=15分钟．‎ ‎　‎ ‎23．已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“关联”抛物线，直线AC′为抛物线p的“关联”直线．若一条抛物线的“关联”抛物线和“关联”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为　y=x2﹣2x﹣3　．‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点．‎ ‎【分析】先求出y=x2+2x+1和y=2x+2的交点C′的坐标为（1，4），再求出“关联”抛物线y=x2+2x+1的顶点A坐标（﹣1，0），接着利用点C和点C′关于x轴对称得到C（1，﹣4），则可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式．‎ ‎【解答】解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，‎ ‎∴A点坐标为（﹣1，0），‎ 解方程组，‎ 得或，‎ ‎∴点C′的坐标为（1，4），‎ ‎∵点C和点C′关于x轴对称，‎ ‎∴C（1，﹣4），‎ 设原抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，‎ 把A（﹣1，0）代入得4a﹣4=0，解得a=1，‎ ‎∴原抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．‎ 故答案为：y=x2﹣2x﹣3．‎ ‎　‎ ‎24．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为　24　．‎ ‎【考点】一次函数综合题．‎ ‎【分析】根据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵直线y=kx﹣3k+4=k（x﹣3）+4，‎ ‎∴k（x﹣3）=y﹣4，‎ ‎∵k有无数个值，‎ ‎∴x﹣3=0，y﹣4=0，解得x=3，y=4，‎ ‎∴直线必过点D（3，4），‎ ‎∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，‎ ‎∵点D的坐标是（3，4），‎ ‎∴OD=5，‎ ‎∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），‎ ‎∴圆的半径为13，‎ ‎∴OB=13，‎ ‎∴BD=12，‎ ‎∴BC的长的最小值为24；‎ 故答案为：24．‎ ‎　‎ ‎25．如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH，④AD2=OD•DH中，正确的是　①②③④　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．‎ ‎【分析】由菱形ABCD中，AB=AC，易证得△ABC是等边三角形，则可得∠B=∠EAC=60°，由SAS即可证得△ABF≌△CAE；则可得∠BAF=∠ACE，利用三角形外角的性质，即可求得∠AHC=120°；在HD上截取HK=AH，连接AK，易得点A，H，C，D四点共圆，则可证得△AHK是等边三角形，然后由AAS即可证得△AKD≌△AHC，则可证得AH+CH=DH；易证得△OAD∽△AHD，由相似三角形的对应边成比例，即可得AD2=OD•DH．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=BC，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴AB=BC=AC，‎ 即△ABC是等边三角形，‎ 同理：△ADC是等边三角形 ‎∴∠B=∠EAC=60°，‎ 在△ABF和△CAE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABF≌△CAE（SAS）；‎ 故①正确；‎ ‎∴∠BAF=∠ACE，‎ ‎∵∠AEH=∠B+∠BCE，‎ ‎∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°；‎ 故②正确；‎ 在HD上截取HK=AH，连接AK，‎ ‎∵∠AHC+∠ADC=120°+60°=180°，‎ ‎∴点A，H，C，D四点共圆，‎ ‎∴∠AHD=∠ACD=60°，∠ACH=∠ADH，‎ ‎∴△AHK是等边三角形，‎ ‎∴AK=AH，∠AKH=60°，‎ ‎∴∠AKD=∠AHC=120°，‎ 在△AKD和△AHC中，‎ ‎，‎ ‎∴△AKD≌△AHC（AAS），‎ ‎∴CH=DK，‎ ‎∴DH=HK+DK=AH+CH；‎ 故③正确；‎ ‎∵∠OAD=∠AHD=60°，∠ODA=∠ADH，‎ ‎∴△OAD∽△AHD，‎ ‎∴AD：DH=OD：AD，‎ ‎∴AD2=OD•DH．‎ 故④正确．‎ 故答案为：①②③④．‎ ‎　‎ ‎26．今年清明假期，小王组织朋友取九寨沟三日游，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人640元，且提供的服务完全相同．针对组团三日游的游客，甲旅行社表示，每人都按8.5折收费；乙旅行设表示，若人数不超过20人，每人都按9折收费；超过20人，则超出部分每人按7.5折收费．假设组团参加甲、乙两家旅行社三日游的人数均为x人．‎ ‎（1）请分别写出甲、乙两家旅行设收取组团三日游的总费用y（元）与x（人）之间函数关系式．‎ ‎（2）若小王组团参加三日游的人数共有25人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助小王选择收取总费用较少的一家．‎ ‎【考点】一次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）根据甲乙两家旅行社的收费标准列出式子即可．‎ ‎（2）利用（1）的结论代入计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）y甲=544x，‎ y乙=，‎ 即y乙=．‎ ‎（2）x=25时，y甲=13600，y乙=13920，‎ ‎∴甲比较便宜．‎ ‎　‎ ‎27．如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2‎ 两个三角形（如图2所示）．将纸片△AC1D1沿直线D2B（A→B方向）平移（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当D1与点B重合时，停止平移．在平移的过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P．‎ ‎（1）当△AC1D1平移到如图3所示位置时，猜想D1E与D2F的数量关系，并说明理由．‎ ‎（2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1和△BC2D2重复部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；‎ ‎（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x，使得重复部分面积等于原△ABC纸片面积的？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】几何变换综合题．‎ ‎【分析】（1）根据AD1=BD2就可以证明AD2=BD1，根据等角对等边证明AD2=D2F，D1E=D1B即可．‎ ‎（2）由于△AC1D1与△BC2D2重叠部分为不规则图形，所以将其面积转化为S△BC2D2﹣S△BED1﹣S△FC2P，再求各三角形的面积即可．‎ ‎（3）先假设存在x的值使得y=S△ABC，再求出△ABC的面积，然后根据（2）所求y=﹣x2+x（0≤x≤5）建立等量关系，通过根的判别式来判定是否有这样的x值存在．‎ ‎【解答】解：（1）D1E=D2F．理由如下：‎ ‎∵C1D1∥C2D2，‎ ‎∴∠C1=∠AFD2．‎ 又∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，‎ ‎∴DC=DA=DB，即C1D1=C2D2=BD2=AD1‎ ‎∴∠C1=∠A，‎ ‎∴∠AFD2=∠A ‎∴AD2=D2F．‎ 同理：BD1=D1E．‎ 又∵AD1=BD2，‎ ‎∴AD2=BD1．‎ ‎∴D1E=D2F．‎ ‎（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，‎ ‎∴由勾股定理，得AB=10．‎ 即AD1=BD2=C1D1=C2D2=5‎ 又∵D2D1=x，‎ ‎∴D1E=BD1=D2F=AD2=5﹣x．‎ ‎∴C2F=C1E=x 在△BC2D2中，C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高，为．‎ 设△BED1的BD1边上的高为h，‎ 由探究，得△BC2D2∽△BED1，‎ ‎∴=．‎ ‎∴h=．S△BED1=×BD1×h=（5﹣x）2‎ 又∵∠C1+∠C2=90°，‎ ‎∴∠FPC2=90度．‎ 又∵∠C2=∠B，sinB=，cosB=．‎ ‎∴PC2=x，PF=x，S△FC2P=PC2×PF=x2‎ 而y=S△BC2D2﹣S△BED1﹣S△FC2P=S△ABC﹣（5﹣x）2﹣x2‎ ‎∴y=﹣x2+x（0≤x≤5）．‎ ‎（3）不存在．‎ 当y=S△ABC时，即﹣x2+x=9，‎ 整理得6x2﹣40x+75=0．‎ ‎∵△=1600﹣4×6×75=﹣200＜0，‎ ‎∴该方程无解，即对于（2）中的结论不存在这样的x，使得重复部分面积等于原△ABC纸片面积的．‎ ‎　‎ ‎28．已知抛物线y=（a＞0）与x轴交于A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．‎ ‎（1）若抛物线过点D（2，﹣2），求实数a的值．‎ ‎（2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点E，使AE+CE最小，求出点E的坐标．‎ ‎（3）在第一象限内，抛物线上是否存在点M，使得以A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）将点D坐标代入抛物线解析式中即可；‎ ‎（2）用两点之间线段最短，确定出AE+CE最小时，点E的位置即可；‎ ‎（3）根据△ABC的特点分析出存在满足条件的点，经过简单的计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线过点D（2，﹣2），‎ ‎∴×4+（﹣1）×2﹣2=﹣2，‎ ‎∴a=4，‎ ‎（2）如图1，‎ ‎∵点A，B是抛物线与x轴的交点，‎ ‎∴点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，‎ ‎∴连接BC交对称轴于点E，‎ ‎∵a=4，‎ 抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2，‎ ‎∴点C（0，﹣2），D（4，0），对称轴x=1‎ ‎∴CD解析式为y=x﹣2，‎ ‎∴E（1，﹣）；‎ ‎（3）如图2‎ 由（2）有，抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2，‎ ‎∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣2），‎ ‎∴AB=6，AC=2，BC=2，‎ ‎∴△ABC是锐角三角形，‎ 点M在x轴上方的抛物线上时，△AMB为钝角三角形，‎ ‎∴点M在x轴下方的抛物线上，‎ ‎∵抛物线的顶点到x轴的距离为，‎ ‎∴△ABM和△ACB中最大的边都是AB，‎ ‎∴△BMA∽△ACB，‎ ‎∵AB=AB，‎ ‎∴△BMA≌△ACB，‎ ‎∴M（2，﹣2）‎ ‎∴存在点M，M坐标为（2，﹣2）．‎ ‎　‎ ‎2016年6月30日