2020年山东省德州市中考数学试卷

2020年山东省德州市中考数学试卷

2020 年山东省德州市中考数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正 确的选项选出来．每小题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1．（4 分）| 2020 | 的结果是 ( ) A． 1 2020 B．2020 C． 1 2020  D． 2020 2．（4 分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( ) A． B． C． D． 3．（4 分）下列运算正确的是 ( ) A． 6 5 1a a  B． 2 3 5a a a C． 2 2( 2 ) 4a a   D． 6 2 3a a a  4．（4 分）如图 1 是用 5 个相同的正方体搭成的立体图形．若由图 1 变化至图 2，则三视图 中没有发生变化的是 ( ) A．主视图 B．主视图和左视图 C．主视图和俯视图 D．左视图和俯视图 5．（4 分）为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况， 调查结果如下表： 一周做饭次数 4 5 6 7 8 人数 7 6 12 10 5 那么一周内该班学生的平均做饭次数为 ( ) A．4 B．5 C．6 D．7 6．（4 分）如图，小明从 A 点出发，沿直线前进 8 米后向左转 45，再沿直线前进 8 米，又 向左转 45照这样走下去，他第一次回到出发点 A 时，共走路程为 ( ) A．80 米 B．96 米 C．64 米 D．48 米 7．（4 分）函数 ky x  和 2( 0)y kx k    在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 ( ) A． B． C． D． 8．（4 分）下列命题： ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； ③一个角为 90 且一组邻边相等的四边形是正方形； ④对角线相等的平行四边形是矩形． 其中真命题的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 9．（4 分）若关于 x 的不等式组 2 2 4 2 3 3 2 x x x x a        的解集是 2x  ，则 a 的取值范围是 ( ) A． 2a… B． 2a   C． 2a  D． 2a„ 10．（4 分）如图，圆内接正六边形的边长为 4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的 面积为 ( ) A． 24 3 4 B．12 3 4 C． 24 3 8 D． 24 3 4 11．（4 分）二次函数 2y ax bx c   的部分图象如图所示，则下列选项错误的是 ( ) A．若 1( 2, )y ， 2(5, )y 是图象上的两点，则 1 2y y B． 3 0a c  C．方程 2 2ax bx c    有两个不相等的实数根 D．当 0x… 时， y 随 x 的增大而减小 12．（4 分）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第 10 个这样的图 案需要黑色棋子的个数为 ( ) A．148 B．152 C．174 D．202 二、填空题：本大题共 6 小题，共 24 分，只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分． 13．（4 分） 27 3  ． 14．（4 分）若一个圆锥的底面半径是 2cm ，母线长是 6cm ，则该圆锥侧面展开图的圆心角 是 度． 15．（4 分）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是 ( 2,1) ，以原点 O 为位似中心，把线段 OA 放大为原来的 2 倍，点 A 的对应点为 A ．若点 A 恰在某一反比例函数图象上，则该反比例 函数解析式为 ． 16．（4 分）菱形的一条对角线长为 8，其边长是方程 2 9 20 0x x   的一个根，则该菱形的 周长为 ． 17．（4 分）如图，在 4 4 的正方形网格中，有 4 个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意 1 个 白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴 对称图形的概率是 ． 18．（4 分）如图，在矩形 ABCD 中， 3 2AB   ， 3AD  ．把 AD 沿 AE 折叠，使点 D 恰 好落在 AB 边上的 D 处，再将 AED  绕点 E 顺时针旋转 ，得到△ A ED ，使得 EA 恰好 经过 BD 的中点 F ． A D  交 AB 于点G ，连接 AA ．有如下结论：① A F 的长度是 6 2 ； ②弧 D D  的长度是 5 3 12  ；③△ A AF  △ A EG ；④△ AA F EGF ∽ ．上述结论中，所有 正确的序号是 ． 三、解答题：本大题共 7 小题，共 78 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤． 19．（8 分）先化简： 2 1 2 4( )2 4 4 x x x x x x x       ，然后选择一个合适的 x 值代入求值． 20．（10 分）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数） 进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下： （1）本次比赛参赛选手共有 人，扇形统计图中“ 79.5 ~ 89.5”这一范围的人数占总参 赛人数的百分比为 ； （2）补全图 2 频数直方图； （3）赛前规定，成绩由高到低前 40% 的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为 88 分， 试判断他能否获奖，并说明理由； （4）成绩前四名是 2 名男生和 2 名女生，若从他们中任选 2 人作为该校文艺晚会的主持人， 试求恰好选中 1 男 1 女为主持人的概率． 21．（10 分）如图，无人机在离地面 60 米的 C 处，观测楼房顶部 B 的俯角为 30 ，观测楼 房底部 A 的俯角为 60，求楼房的高度． 22．（12 分）如图，点 C 在以 AB 为直径的 O 上，点 D 是半圆 AB 的中点，连接 AC ，BC ， AD ， BD ．过点 D 作 / /DH AB 交 CB 的延长线于点 H ． （1）求证：直线 DH 是 O 的切线； （2）若 10AB  ， 6BC  ，求 AD ， BH 的长． 23．（12 分）小刚去超市购买画笔，第一次花 60 元买了若干支 A 型画笔，第二次超市推荐 了 B 型画笔，但 B 型画笔比 A 型画笔的单价贵 2 元，他又花 100 元买了相同支数的 B 型画 笔． （1）超市 B 型画笔单价多少元？ （2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用 B 型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后， 超市给出以下优惠方案：一次购买不超过 20 支，则每支 B 型画笔打九折；若一次购买超过 20 支，则前 20 支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的 B 型画笔 x 支，购买费用为 y 元，请写出 y 关于 x 的函数关系式． （3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用 270 元购买 B 型画笔，则能购买多少支 B 型画 笔？ 24．（12 分）问题探究： 小红遇到这样一个问题：如图 1， ABC 中， 6AB  ， 4AC  ， AD 是中线，求 AD 的取值 范围．她的做法是：延长 AD 到 E ，使 DE AD ，连接 BE ，证明 BED CAD   ，经过推 理和计算使问题得到解决． 请回答：（1）小红证明 BED CAD   的判定定理是： ； （2） AD 的取值范围是 ； 方法运用： （3）如图 2， AD 是 ABC 的中线，在 AD 上取一点 F ，连结 BF 并延长交 AC 于点 E ，使 AE EF ，求证： BF AC ． （4）如图 3，在矩形 ABCD 中， 1 2 AB BC  ，在 BD 上取一点 F ，以 BF 为斜边作 Rt BEF ， 且 1 2 EF BE  ，点 G 是 DF 的中点，连接 EG ， CG ，求证： EG CG ． 25．（14 分）如图 1，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是 (0, 2) ，在 x 轴上任取一点 M ， 连接 AM ，分别以点 A 和点 M 为圆心，大于 1 2 AM 的长为半径作弧，两弧相交于 G ，H 两 点，作直线 GH ，过点 M 作 x 轴的垂线 l 交直线 GH 于点 P ．根据以上操作，完成下列问 题． 探究： （1）线段 PA 与 PM 的数量关系为 ，其理由为： ． （2）在 x 轴上多次改变点 M 的位置，按上述作图方法得到相应点 P 的坐标，并完成下列表 格： M 的坐标  ( 2,0) (0,0) (2,0) (4,0)  P 的坐标  (0, 1) (2, 2)  猜想： （3）请根据上述表格中 P 点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图 2 中连接起来；观察画出 的曲线 L ，猜想曲线 L 的形状是 ． 验证： （4）设点 P 的坐标是 ( , )x y ，根据图 1 中线段 PA 与 PM 的关系，求出 y 关于 x 的函数解析 式． 应用： （5）如图 3，点 ( 1, 3)B  ， (1, 3)C ，点 D 为曲线 L 上任意一点，且 30BDC   ，求点 D 的纵坐标 Dy 的取值范围． 2020 年山东省德州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正 确的选项选出来．每小题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1．（4 分）| 2020 | 的结果是 ( ) A． 1 2020 B．2020 C． 1 2020  D． 2020 【解答】解：| 2020 | 2020  ； 故选： B ． 2．（4 分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( ) A． B． C． D． 【解答】解： A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项不合题意； B 、是中心对称图形但不是轴对称图形．故此选项符合题意； C 、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故此选项不合题意； D 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项不合题意． 故选： B ． 3．（4 分）下列运算正确的是 ( ) A． 6 5 1a a  B． 2 3 5a a a C． 2 2( 2 ) 4a a   D． 6 2 3a a a  【解答】解： 6 5a a a  ，因此选项 A 不符合题意； 2 3 5a a a ，因此选项 B 符合题意； 2 2( 2 ) 4a a  ，因此选项 C 不符合题意； 6 2 6 2 4a a a a   ，因此选项 D 不符合题意； 故选： B ． 4．（4 分）如图 1 是用 5 个相同的正方体搭成的立体图形．若由图 1 变化至图 2，则三视图 中没有发生变化的是 ( ) A．主视图 B．主视图和左视图 C．主视图和俯视图 D．左视图和俯视图 【解答】解：图 1 主视图第一层三个正方形，第二层左边一个正方形；图 2 主视图第一层三 个正方形，第二层右边一个正方形；故主视图发生变化； 左视图都是第一层两个正方形，第二层左边一个正方形，故左视图不变； 俯视图都是底层左边是一个正方形，上层是三个正方形，故俯视图不变． 不改变的是左视图和俯视图． 故选： D ． 5．（4 分）为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况， 调查结果如下表： 一周做饭次数 4 5 6 7 8 人数 7 6 12 10 5 那么一周内该班学生的平均做饭次数为 ( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解： 4 7 5 6 6 12 7 10 8 5 67 6 12 10 5x              （次 ) ， 故选： C ． 6．（4 分）如图，小明从 A 点出发，沿直线前进 8 米后向左转 45，再沿直线前进 8 米，又 向左转 45照这样走下去，他第一次回到出发点 A 时，共走路程为 ( ) A．80 米 B．96 米 C．64 米 D．48 米 【解答】解：根据题意可知，他需要转 360 45 8  次才会回到原点， 所以一共走了8 8 64  （米 ) ． 故选： C ． 7．（4 分）函数 ky x  和 2( 0)y kx k    在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 ( ) A． B． C． D． 【解答】解：在函数 ky x  和 2( 0)y kx k    中， 当 0k  时，函数 ky x  的图象在第一、三象限，函数 2y kx   的图象在第一、二、四象限， 故选项 A 、 B 错误，选项 D 正确， 当 0k  时，函数 ky x  的图象在第二、四象限，函数 2y kx   的图象在第一、二、三象限， 故选项 C 错误， 故选： D ． 8．（4 分）下列命题： ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； ③一个角为 90 且一组邻边相等的四边形是正方形； ④对角线相等的平行四边形是矩形． 其中真命题的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①一组对边平行且这组对边相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题； ②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题； ③一个角为 90 且一组邻边相等的平行四边形是正方形，原命题是假命题； ④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题； 故选： B ． 9．（4 分）若关于 x 的不等式组 2 2 4 2 3 3 2 x x x x a        的解集是 2x  ，则 a 的取值范围是 ( ) A． 2a… B． 2a   C． 2a  D． 2a„ 【解答】解：解不等式组 2 2 4 2 3 3 2 x x x x a        ① ② ， 由①可得： 2x  ， 由②可得： x a ， 因为关于 x 的不等式组 2 2 4 2 3 3 2 x x x x a        的解集是 2x  ， 所以， 2a… ， 故选： A ． 10．（4 分）如图，圆内接正六边形的边长为 4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的 面积为 ( ) A． 24 3 4 B．12 3 4 C． 24 3 8 D． 24 3 4 【解答】解：设正六边形的中心为 O ，连接 OA ， OB ． 由题意， 4OA OB AB   ， 2 2360 4 84 4 3360 4 3AOBAmB OABS S S           弓形 扇形 ，   21 86 6 2 4 3 24 3 42 3AmBS S S                 阴 弓形半圆 ， 故选： A ． 11．（4 分）二次函数 2y ax bx c   的部分图象如图所示，则下列选项错误的是 ( ) A．若 1( 2, )y ， 2(5, )y 是图象上的两点，则 1 2y y B． 3 0a c  C．方程 2 2ax bx c    有两个不相等的实数根 D．当 0x… 时， y 随 x 的增大而减小 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 1x  ， 0a  ， 点 ( 1,0) 关于直线 1x  的对称点为 (3,0) ， 则抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为 (3,0) ，点 1( 2, )y 与 1(4, )y 是对称点， 当 1x  时，函数 y 随 x 增大而减小， 故 A 选项不符合题意； 把点 ( 1,0) ， (3,0) 代入 2y ax bx c   得： 0a b c   ①， 9 3 0a b c   ②， ① 3  ②得：12 4 0a c  ， 3 0a c   ， 故 B 选项不符合题意； 当 2y   时， 2 2y ax bx c     ， 由图象得：纵坐标为 2 的点有 2 个， 方程 2 2ax bx c    有两个不相等的实数根， 故 C 选项不符合题意； 二次函数图象的对称轴为 1x  ， 0a  ， 当 1x„ 时， y 随 x 的增大而增大； 当 1x… 时， y 随 x 的增大而减小； 故 D 选项符合题意； 故选： D ． 12．（4 分）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第 10 个这样的图 案需要黑色棋子的个数为 ( ) A．148 B．152 C．174 D．202 【解答】解：根据图形，第 1 个图案有 12 枚棋子， 第 2 个图案有 22 枚棋子， 第 3 个图案有 34 枚棋子，  第 n个图案有 22(1 2 2) 2( 1) 7 4n n n n        枚棋子， 故第 10 个这样的图案需要黑色棋子的个数为 210 7 10 4 100 70 4 174       （枚 ) ． 故选： C ． 二、填空题：本大题共 6 小题，共 24 分，只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分． 13．（4 分） 27 3  2 3 ． 【解答】解：原式 3 3 3 2 3   ． 故答案为： 2 3 ． 14．（4 分）若一个圆锥的底面半径是 2cm ，母线长是 6cm ，则该圆锥侧面展开图的圆心角 是 120 度． 【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是： 2 2 4 ( )cm   ， 设圆心角的度数是 n 度．则 6 4180 n   ， 解得： 120n  ． 故答案为：120． 15．（4 分）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是 ( 2,1) ，以原点 O 为位似中心，把线段 OA 放大为原来的 2 倍，点 A 的对应点为 A ．若点 A 恰在某一反比例函数图象上，则该反比例 函数解析式为 8y x  ． 【解答】解：点 A 的坐标是 ( 2,1) ，以原点 O 为位似中心，把线段 OA 放大为原来的 2 倍， 点 A 的对应点为 A ， A  坐标为： ( 4,2) 或 (4, 2) ， A 恰在某一反比例函数图象上， 该反比例函数解析式为： 8y x  ． 故答案为： 8y x  ． 16．（4 分）菱形的一条对角线长为 8，其边长是方程 2 9 20 0x x   的一个根，则该菱形的 周长为 20 ． 【解答】解：如图所示： 四边形 ABCD 是菱形， AB BC CD AD    ， 2 9 20 0x x   ， 因式分解得： ( 4)( 5) 0x x   ， 解得： 4x  或 5x  ， 分两种情况： ①当 4AB AD  时， 4 4 8  ，不能构成三角形； ②当 5AB AD  时， 5 5 8  ， 菱形 ABCD 的周长 4 20AB  ． 故答案为：20． 17．（4 分）如图，在 4 4 的正方形网格中，有 4 个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意 1 个 白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴 对称图形的概率是 1 6 ． 【解答】解：如图所示：当分别将 1，2 位置涂黑，构成的黑色部分图形是轴对称图形， 故新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是： 2 1 12 6  ． 故答案为： 1 6 ． 18．（4 分）如图，在矩形 ABCD 中， 3 2AB   ， 3AD  ．把 AD 沿 AE 折叠，使点 D 恰 好落在 AB 边上的 D 处，再将 AED  绕点 E 顺时针旋转 ，得到△ A ED ，使得 EA 恰好 经过 BD 的中点 F ． A D  交 AB 于点G ，连接 AA ．有如下结论：① A F 的长度是 6 2 ； ②弧 D D  的长度是 5 3 12  ；③△ A AF  △ A EG ；④△ AA F EGF ∽ ．上述结论中，所有 正确的序号是 ①②④ ． 【解答】解：把 AD 沿 AE 折叠，使点 D 恰好落在 AB 边上的 D 处， 90D AD E DAD        ， AD AD ， 四边形 ADED 是矩形， 又 3AD AD  ， 四边形 ADED 是正方形， 3AD AD D E DE      ， 2 6AE AD  ， 45EAD AED     ， 2D B AB AD     ， 点 F 是 BD 中点， 1D F  ， 2 2 3 1 2EF D E D F       ， 将 AED  绕点 E 顺时针旋转 ， 6AE A E   ， D ED    ， 45EA D EAD      ， 6 2A F   ，故①正确； 1 3tan 33 D FFED D E     ， 30FED   30 45 75       ， 弧 D D  的长度 75 3 5 3 180 12     ，故②正确； AE A E ， 75AEA   ， 52.5EAA EA A      ， 7.5A AF   ， AA F EA G    ， AA E EA G    ， 120AFA EA G      ， △ AA F 与△ A GE 不全等，故③错误； D E D E  ， EG EG ， Rt △ ED G Rt  △ ( )ED G HL ， D GE D GE    ， 105AGD A AG AA G         ， 52.5D GE AA F      ， 又 AFA EFG   ， AFA EFG ∽ ，故④正确， 故答案为：①②④． 三、解答题：本大题共 7 小题，共 78 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤． 19．（8 分）先化简： 2 1 2 4( )2 4 4 x x x x x x x       ，然后选择一个合适的 x 值代入求值． 【解答】解： 2 1 2 4( )2 4 4 x x x x x x x       2( 1) ( 2)( 2) ( 2)[ ]( 2) ( 2) 4 x x x x x x x x x x         24 ( 2) ( 2) 4 x x x x x     2x x  ， 把 1x  代入 2 1 2 1x x x     ． 20．（10 分）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数） 进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下： （1）本次比赛参赛选手共有 50 人，扇形统计图中“ 79.5 ~ 89.5”这一范围的人数占总 参赛人数的百分比为 ； （2）补全图 2 频数直方图； （3）赛前规定，成绩由高到低前 40% 的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为 88 分， 试判断他能否获奖，并说明理由； （4）成绩前四名是 2 名男生和 2 名女生，若从他们中任选 2 人作为该校文艺晚会的主持人， 试求恰好选中 1 男 1 女为主持人的概率． 【解答】解：（1）本次比赛参赛选手共有： (8 4) 24% 50   （人 ) ， “ 59.5 ~ 69.5 ”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为 2 3 100% 10%50    ， 79.5 ~ 89.5 ”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为100% 24% 10% 30% 36%    ； 故答案为：50， 36% ； （2） “ 69.5 ~ 79.5 ”这一范围的人数为 50 30% 15  （人 ) ，  “ 69.5 ~ 74.5 ”这一范围的人数为15 8 7  （人 ) ，  “ 79.5 ~ 89.5”这一范围的人数为 50 36% 18  （人 ) ，  “ 79.5 ~ 84.5”这一范围的人数为18 8 10  （人 ) ； 补全图 2 频数直方图： （3）能获奖．理由如下： 本次比赛参赛选手 50 人， 成绩由高到低前 40% 的参赛选手人数为 50 40% 20  （人 ) ， 又 88 84.5 ， 能获奖； （4）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中恰好选中 1 男 1 女的结果数为 8， 所以恰好选中 1 男 1 女的概率 8 2 12 3   ． 21．（10 分）如图，无人机在离地面 60 米的 C 处，观测楼房顶部 B 的俯角为 30 ，观测楼 房底部 A 的俯角为 60，求楼房的高度． 【解答】解：过 B 作 BE CD 交 CD于 E ， 由题意得， 30CBE   ， 60CAD   ， 在 Rt ACD 中， tan tan60 3CDCAD AD      ， 60 20 3 3 AD   ， 20 3BE AD   ， 在 Rt BCE 中， 3tan tan30 3 CECBE BE      ， 320 3 203CE    ， 60 20 40ED CD CE      ， 40AB ED   （米 ) ， 答：楼房的高度为 40 米． 22．（12 分）如图，点 C 在以 AB 为直径的 O 上，点 D 是半圆 AB 的中点，连接 AC ，BC ， AD ， BD ．过点 D 作 / /DH AB 交 CB 的延长线于点 H ． （1）求证：直线 DH 是 O 的切线； （2）若 10AB  ， 6BC  ，求 AD ， BH 的长． 【解答】（1）证明：连接 OD ， AB 为 O 的直径，点 D 是半圆 AB 的中点， 1 902AOD AOB     ， / /DH AB ， 90ODH   ， OD DH  ， 直线 DH 是 O 的切线； （2）解：连接 CD ， AB 为 O 的直径， 90ADB ACB     ， 点 D 是半圆 AB 的中点，   AD DB ， AD DB  ， ABD 是等腰直角三角形， 10AB  ， 210sin 10sin 45 10 5 22AD ABD        ， 10AB  ， 6BC  ， 2 210 6 8AC    ， 四边形 ABCD 是圆内接四边形， 180CAD CBD     ， 180DBH CBD     ， CAD DBH   ， 由（1）知 90AOD  ， 45OBD   ， 45ACD   ， / /DH AB ， 45BDH OBD     ， ACD BDH   ， ACD BDH ∽ ，  AC AD BD BH  ，  8 5 2 5 2 BH  ， 解得： 25 4BH  ． 23．（12 分）小刚去超市购买画笔，第一次花 60 元买了若干支 A 型画笔，第二次超市推荐 了 B 型画笔，但 B 型画笔比 A 型画笔的单价贵 2 元，他又花 100 元买了相同支数的 B 型画 笔． （1）超市 B 型画笔单价多少元？ （2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用 B 型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后， 超市给出以下优惠方案：一次购买不超过 20 支，则每支 B 型画笔打九折；若一次购买超过 20 支，则前 20 支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的 B 型画笔 x 支，购买费用为 y 元，请写出 y 关于 x 的函数关系式． （3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用 270 元购买 B 型画笔，则能购买多少支 B 型画 笔？ 【解答】解：（1）设超市 B 型画笔单价为 a元，则 A 型画笔单价为 ( 2)a  元． 根据题意得， 60 100 2a a  ， 解得 5a  ． 经检验， 5a  是原方程的解． 答：超市 B 型画笔单价为 5 元； （2）由题意知， 当小刚购买的 B 型画笔支数 20x„ 时，费用为 0.9 5 4.5y x x   ， 当小刚购买的 B 型画笔支数 20x  时，费用为 0.9 5 20 0.8 5( 20) 4 10y x x        ． 所以， y 关于 x 的函数关系式为 4.5 (1 20) 4 10( 20) x xy x x     „ „ （其中 x 是正整数）； （3）当 4.5 270x  时，解得 60x  ， 60 20 ， 60x  不合题意，舍去； 当 4 10 270x   时，解得 65x  ，符合题意． 答：若小刚计划用 270 元购买 B 型画笔，则能购买 65 支 B 型画笔． 24．（12 分）问题探究： 小红遇到这样一个问题：如图 1， ABC 中， 6AB  ， 4AC  ， AD 是中线，求 AD 的取值 范围．她的做法是：延长 AD 到 E ，使 DE AD ，连接 BE ，证明 BED CAD   ，经过推 理和计算使问题得到解决． 请回答：（1）小红证明 BED CAD   的判定定理是： SAS ； （2） AD 的取值范围是 ； 方法运用： （3）如图 2， AD 是 ABC 的中线，在 AD 上取一点 F ，连结 BF 并延长交 AC 于点 E ，使 AE EF ，求证： BF AC ． （4）如图 3，在矩形 ABCD 中， 1 2 AB BC  ，在 BD 上取一点 F ，以 BF 为斜边作 Rt BEF ， 且 1 2 EF BE  ，点 G 是 DF 的中点，连接 EG ， CG ，求证： EG CG ． 【解答】解：（1） AD 是中线， BD CD  ， 又 ADC BDE   ， AD DE ， ( )BED CAD SAS   ， 故答案为： SAS ； （2） BED CAD   ， 4AC BE   ， 在 ABE 中， AB BE AE AB BE    ， 2 2 10AD   ， 1 5AD   ， 故答案为：1 5AD  ； （3）如图 2，延长 AD 至 H ，使 AD DH ，连接 BH ， AD 是 ABC 的中线， BD CD  ， 又 ADC BDH   ， AD DH ， ( )ADC HDB SAS   ， AC BH  ， CAD H   ， AE EF ， EAF AFE   ， H BFH   ， BF BH  ， AC BF  ； （4）如图 3，延长 CG 至 N ，使 NG CG ，连接 EN ，CE ， NF ， 点 G 是 DF 的中点， DG GF  ， 又 NGF DGC   ， CG NG ， ( )NGF CGD SAS   ， CD NF  ， CDB NFG   ，  1 2 AB AB AD BC   ， 1 2 EF BE  ， 1tan 2ADB   ， 1tan 2EBF  ， ADB EBF   ， / /AD BC ， ADB DBC   ， EBF DBC   ， 2EBC DBC   ， 90EBF EFB     ， 90DBC BDC     ， EFB BDC NFG     ， 180EBF EFB DBC BDC         ， 2 180DBC EFB NFG        ， 又 180NFG BFE EFN       ， 2EFN DBC   ， EBC EFN   ，  1 2 AB CD EF BC BC BE    ，且 CD NF ，  BE EF BC NF  BEC FEN ∽ ， BEC FEN   ， 90BEF NEC     ， 又 CG NG ， 1 2EG NC  ， EG GC  ． 25．（14 分）如图 1，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是 (0, 2) ，在 x 轴上任取一点 M ， 连接 AM ，分别以点 A 和点 M 为圆心，大于 1 2 AM 的长为半径作弧，两弧相交于 G ，H 两 点，作直线 GH ，过点 M 作 x 轴的垂线 l 交直线 GH 于点 P ．根据以上操作，完成下列问 题． 探究： （1）线段 PA 与 PM 的数量关系为 PA PM ，其理由为： ． （2）在 x 轴上多次改变点 M 的位置，按上述作图方法得到相应点 P 的坐标，并完成下列表 格： M 的坐标  ( 2,0) (0,0) (2,0) (4,0)  P 的坐标  (0, 1) (2, 2)  猜想： （3）请根据上述表格中 P 点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图 2 中连接起来；观察画出 的曲线 L ，猜想曲线 L 的形状是 ． 验证： （4）设点 P 的坐标是 ( , )x y ，根据图 1 中线段 PA 与 PM 的关系，求出 y 关于 x 的函数解析 式． 应用： （5）如图 3，点 ( 1, 3)B  ， (1, 3)C ，点 D 为曲线 L 上任意一点，且 30BDC   ，求点 D 的纵坐标 Dy 的取值范围． 【解答】解：（1）分别以点 A 和点 M 为圆心，大于 1 2 AM 的长为半径作弧，两弧相交于G ， H 两点， GH 是 AM 的垂直平分线， 点 P 是 GH 上一点， PA PM  （线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）， 故答案为： PA PM ，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； （2）当点 ( 2,0)M  时，设点 ( 2, )P a ， ( 0)a  PA PM ， 2 2( 2 0) ( 2)a a      ， 2a   ， 点 ( 2, 2)P   ， 当点 (4,0)M 时，设点 (4, )P b ， ( 0)b  PA PM ， 2 2(4 0) ( 2)b b     ， 5b   ， 点 (4, 5)P  ， 故答案为： ( 2, 2)  ， (4, 5) ； （3）依照题意，画出图象， 猜想曲线 L 的形状为抛物线， 故答案为：抛物线； （4） PA PM ，点 P 的坐标是 ( , )x y ， ( 0)y  ， 2 2( 0) ( 2)y x y     ， 21 14y x    ； （5）点 ( 1, 3)B  ， (1, 3)C ， 2BC  ， 2 2( 1 0) ( 3 0) 2OB       ， 2 2(1 0) ( 3 0) 2OC      ， BC OB OC   ， BOC 是等边三角形， 60BOC   ， 如图 3，以 O 为圆心， OB 为半径作圆 O ，交抛物线 L 与点 E ，连接 BE ， CE ， 30BEC  ， 设点 ( , )E m n ， 点 E 在抛物线上， 21 14n m    ， 2OE OB  ，  2 2( 0) ( 0) 2m n    ， 1 2 2 3n   ， 2 2 2 3n   （舍去）， 如图 3，可知当点 D 在点 E 下方时， 30BDC   ， 点 D 的纵坐标 Dy 的取值范围为 2 2 3Dy   ．