2020-2021学年初三数学上册同步练习：公式法解一元二次方程

2020-2021学年初三数学上册同步练习：公式法解一元二次方程

2020-2021 学年初三数学上册同步练习：公式法解一元二次方程 1．在 Rt A B C 中， 90ABC   ， :BC2:3AB ， 5AC  ，则 AB =（ ）． A． 52 B． 10 C． 5 D． 15 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可设 2AB x ， 3B C x ，根据勾股定理列出关于 x 的方程，解方程求出 x 的值，进而 可得答案. 【详解】 解：如图，设 ， ，根据勾股定理，得： 222 3 2 5xx ，解得 5x  ，∴ 10AB = . 故选 B. 【点评】本题考查了勾股定理和简单的一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握勾股定理是解题的 关键. 2．已知方程  2 00axca 有实数根，则 a 与 c 的关系是（ ）. A． 0c = B． 或 、 异号 C． 或 、 同号 D． 是 的整数倍 【答案】B 【解析】 【分析】将原方程化为 2 a= cx 的形式，根据 2x0 可判断出正确答案。 【详解】 原方程可化为 ，∵ ，∴ c 0a时方程才有实数解。当 c=0 时， 2 0=x 有实数根；当 a、c 异 号时， ，方程有实数解。故选 B。 【点评】形如 2 =ax 的一元二次方程当 a≥0 时方程有实数解。 3．如果一直角三角形的三边为 a，b，c，∠B=90°，那么关于 x 的方程 a（x2﹣1）﹣2cx+b（x2+1）=0 的根 的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理，确立 a2+c2=b2，化简根的判别式，判断根的情况就是判断△ 与 0 的大小关系． 【详解】 ∵∠B=90° ∴a2+c2=b2 化简原方程为：（a+b）x2-2cx+b-a=0 ∴△=4c2-4（b2-a2）=4c2-4c2=0 ∴方程有两个相等实数根 故选：A． 【点评】考查了一元二次方程根的情况与判别式△ 的关系：（1）△ ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2） △ =0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△ ＜0⇔方程没有实数根. 4．若一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0 有实数根，则 k 的取值范围是( ) A．k≤ 3 2 B．k＜ C．k≤ 且 k≠1 D．k≥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△ ≥0，即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解之即可得出 k 的取值范围． 【详解】 解：∵一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0 有实数根， ∴ 2(2)4(1)(3)0kkk=--+? 且 10k  ， 解得：k≤ 且 k≠1． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△ ≥0， 列出关于 k 的一元一次不等式组是解题的关键． 5．定义：如果一元二次方程푎푥2 + 푏푥 + 푐 = 0(푎 ≠ 0)满足푎 − 푏 + 푐 = 0，那么我们称这个方程为“美丽”方 程．已知푎푥2 + 푏푥 + 푐 = 0(푎 ≠ 0)是“美丽”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A．푎 = 푏 = 푐 B．푎 = 푏 C．푏 = 푐 D．푎 = 푐 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得出方程푎푥2 + 푏푥 + 푐 = 0(푎 ≠ 0)有 x=-1，再判断即可． 【详解】 把 x=−1 代入方程푎푥2 + 푏푥 + 푐 = 0(푎 ≠ 0)得出 a−b+c=0， ∴b=a+c， ∵方程有两个相等的实数根， ∴△=푏2 − 4푎푐 = (푎 + 푐)2 − 4푎푐=(푎 − 푐)2 = 0， ∴a=c， 故选 D． 【点评】此题考查根的判别式，解题关键在于利用有两个相等的实数根. 6．如果点 A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是 4，那么 a=_____________． 【答案】 4 2 3 ． 【解析】 【分析】根据两点之间的距离公式，列出无理方程，求解即可． 【详解】 解：因为点 A(3，4)，B(5，a)两点之间的距离是 4， 所以 22(35)(4)4 a ， 即 24 (4 ) 16a   ， 2(4)12a， 423a  ， 4 2 3a  ． 故答案为： ． 【点评】本题考查两点之间的距离公式，解无理方程，解一元二次方程．能利用两点之间的距离公式列出 无理方程是解决此题的关键． 7．已知 a，b，c 分别是△ ABC 的三边长，那么方程 2 ()0 4 ccxabx＋ ＋ ＋ ＝ 的根的情况是________________． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】求出方程对应的判别式，根据三角形三边关系得到 0 ，即可得出结论. 【详解】 解：一元二次方程对应的判别式 222()4() 4 cabcabc ， ∵在三角形中，两边之和大于第三边，即 a b c， ∴ 22( ) 0a b c   ，即 ， ∴方程 2 ()0 4 ccxabx 有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根. 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根的情况与判别式△ 的关系：（1）△ ＞0⇔方程有两个不 相等的实数根；（2）△ ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△ ＜0⇔方程没有实数根． 8．设 A 是方程 x2- 2003 x-520=0 的所有根的绝对值之和,则 A2=________. 【答案】4083 【解析】 【分析】根据公式法 x= 2 4 2 bbc a a 得到 x= 20034083 2  ，再根据题意得到 2003 4083 2003 4083 22  ，计算即可得到答案. 【详解】 由公式法得 x= ，则 = 2003408340832003 408322 ，所以 A2=4083. 【点评】本题考查公式法求一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求一元二次方程. 9．关于 x 的方程 2( ) 1 0 ( 0)bx b   的根是_________________． 【答案】无解或者 x=±1 b . 【解析】 【分析】先移项，然后利用直接开平方法解方程即可． 【详解】 解：∵（bx）2-1=0 ∴（bx）2=1 ∴bx=±1 ①当 b=0 时，该方程无解． ②当 b＞0 时，x=± 1 b 综上所述，当 b=0 时原方程无解；当 b＞0 时方程的解是 x=± ． 故答案是：无解或者 x=± ． 【点评】考查了解一元二次方程的解法-直接开平方法．形如 x2=p 或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程 可采用直接开平方的方法解． 10．已知关于 x 的方程 x2－2x－m＝0 没有实数根，试判断关于 x 的方程 x2＋2mx＋m(m＋1)＝0 的根的情 况． 【答案】方程 x2＋2mx＋m(m＋1)＝0 有两个不相等的实数根，理由见解析 【解析】 【分析】首先根据已知方程无实根可得 Δ1<0，可求出 m 的取值范围，再计算新方程的判别式，结合 m 的取 值范围确定新方程判别式 Δ2 的情况，进而得出新方程根的情况即可. 【详解】 ∵x2－2x－m＝0 没有实数根， ∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即 m<－1. 对于方程 x2＋2mx＋m(m＋1)＝0， Δ2＝(2m)2－4m(m＋1)＝－4m>4， ∴方程 x2＋2mx＋m(m＋1)＝0 有两个不相等的实数根． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△ =b2-4ac：当△ ＞0，方程有两个不相 等的实数根；当△ =0，方程有两个相等的实数根；当△ ＜0，方程没有实数根． 11．若 0 是关于 x 的方程（m-2）x2+3x+m2-2m-8=0 的解，求实数 m 的值，•并讨论此方程解的情况． 【答案】 2m  或 4 ，当 时，方程有两个解，分别为 12 30, 4xx；当 4m  时，方程有两个解， 分别为 12 30, 2xx  . 【解析】 试题分析：一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式 子仍然成立；把 x=0 代入方程就得到一个关于 m 的方程，就可以求出 m 的值．把 m 的值代入方程，即可求 得方程的根． 试题解析：将 x=0 代入原方程得， （m-2）•02+3×0+m2-2m-8=0， ∴m2-2m-8=0； （m+2）（ m-4）=0 可解得 m1=-2，或 m2=4； 当 m=-2 时，原方程为-4x2+3x=0， 此时方程的解是 x1=0，x2= 3 4 当 m=4 时，原方程为 2x2+3x=0． 解得 x3=0 或 x4=- 3 2 ； 即此时原方程有两个解，解分别为 x1=0，x2= 3 4 ，或 x3=0，x4=- ． 【点评】本题主要考查了方程的解的定义，就是能使方程的左右两边相等的未知数的值．