高考函数的图像专题讲义

高考函数的图像专题讲义

2015 年高考函数的图像专题讲义 河南省三门峡市卢氏县第一高级中学 山永峰 图像是函数刻画变量之间的函数关系的一个重要途径，是研究函 数性质的一种常用方法，是数形结合的基础和依据。在今后的高考中 将会加大对函数图像的考查力度。主要以选择题、填空题的形式出现， 属于中偏高档题。主要考查形式有：知图选式、知式选图、图像变换 （平移、对称、翻折、伸缩变换），以及自觉的运用图像解题。因此 要注意识图、读图能力的提高以及数形结合思想的灵活运用。笔者以 近几年高考题为载体，结合自己的教学经验整理如下，不足之处敬请 斧正！ [备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.在实际情境中，会根据不 同的需要选择图象法、列表 法、解析法表示函数． 2.会运用函数图象理解和研 究函数的性质，解决方程解 的个数与不等式的解的问 题． 3.会用数形结合思想、转化 与化归思想解决函数问题. 高考对本节内容的考查主要以选择题或填空题的形式考 查函数图象的判断及应用． 1.对图象的判断主要有以下两种：(1)根据所给函数解析 式，利用其与基本初等函数的关系以及它们之间的变化规律， 根据图象变换得出所求函数的图象，如 2012 年四川 T5，新 课标全国 T10 等． (2)根据函数的性质(如：奇偶性、单调性、周期性等)或函数 图象的特殊点得出所求函数的图象，如 2012 年山东 T9 等． 2.图象的应用主要有以下几个方面：求函数的值域、单调区 间，求参数的取值范围，判断非常规解的个数等，如 2012 年福建 T15，天津 T14 等. [归纳·知识整合] 1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的 性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)． 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与 坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换： y＝f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ―→a > 0，右移a个单位 a < 0，左移|a|个单位 y＝f(x－a)； y＝f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ―→b > 0，上移b个单位 b < 0，下移|b|个单位 y＝f(x)＋b. (2)伸缩变换： y＝f(x) y＝f(ωx)； y＝f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ―→A > 1，伸为原来的A倍 0 < A < 1，缩为原来的A倍 y＝Af(x)． (3)对称变换： y＝f(x) ― ― ― ― ―→关于x轴对称 y＝－f(x)；　y＝f(x) ― ― ― ― ―→关于y轴对称 y＝f(－x)； y＝f(x) ― ― ― ― ― ― →关于原点对称 y＝－f(－x)． (4)翻折变换： y＝f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →去掉y轴左边图，保留y轴右边图 将y轴右边的图象翻折到左边去 y＝f(|x|)； y＝f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ―→留下x轴上方图 将x轴下方图翻折上去 y＝|f(x)|. [探究]　1.函数 y＝f(x)的图象关于原点对称与函数 y＝f(x)与 y＝ －f(－x)的图象关于原点对称一致吗？ 2．一个函数的图象关于 y 轴对称与两个函数的图象关于 y 轴对 称有何区别？ 提示：一个函数的图象关于 y 轴对称与两个函数的图象关于 y 轴 对称不是一回事．函数 y＝f(x)的图象关于 y 轴对称是自身对称，说明 该函数为偶函数；而函数 y＝f(x)与函数 y＝f(－x)的图象关于 y 轴对称， 是两个函数的图象对称． 3．若函数 y＝f(x)的图象关于点(a,0)(a>0)对称，那么其图象如何 变换才能使它变为奇函数？其解析式变为什么？ 提示：向左平移 a 个单位即可；解析式变为 y＝f(x＋a)． 10 1 1 ω ω ω ω →＜ ＜ ，伸长为原来的 倍 ＞1，缩短为原来的 [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速 行驶之后停车，若把这一过程中汽车行驶的路程 s 看作时间 t 的函数， 其图象可能是(　　) 2．函数 y＝x|x|的图象经描点确定后的形状大致是(　　) 3．函数 y＝ln(1－x)的图象大致为(　　) 4．已知下图(1)中的图象对应的函数为 y＝f(x)，则下图(2)中的图 象对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是________(填序 号)． ①y＝f(|x|)；②y＝|f(x)|；③y＝－f(|x|)；④y＝f(－|x|)． 5．(2012·镇江模拟)函数 f(x)是定义在[－4,4]上的偶 函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式 f(x) cos x <0 的解集为 ________． 考点一：作函数的图象 [例 1]　分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lg(x－1)|； (2)y＝2x＋1－1； (3)y＝x2－|x|－2. 画函数图象的一般方法 (1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数 或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出． (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、 翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能 直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序 对变换单位及解析式的影响. (3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通 过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、 奇偶性等性质讨论. 强化训练： 1．分别画出下列函数的图象． (1)y＝|x2－4x＋3|；(2)y＝2x＋1 x＋1 ；(3)y＝10|lg x|. 考点二：识图与辨图 [例 2]　(1)(2012·山东高考)函数 y＝ cos 6x 2x－2－x 的图象大致为(　　) (2)已知定义在区间[0,2]上的函数 y＝f(x)的图象如图所示，则 y＝ －f(2－x)的图象为(　　) 例 3:[2014 年福建卷] 若函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图像如图 1­1 所示，则下列函数图像正确的是(　　) 图 1­1 A B C D 寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法 (1)知图选式： ①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域； ②从图象的变化趋势，观察函数的单调性； ③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性； ④从图象的循环往复，观察函数的周期性． 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项． (2)知式选图： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断 图象的上下位置；结合图像的特殊点（极值点、与坐标轴的交点等）。 ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性． ④从函数的周期性，判断图象的循环往复． 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项． 注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值， 或从某些量上寻找突破口． 强化训练： 2．函数 y＝x 2 －2sin x 的图象大致是(　　) 3．(2013·杭州模拟)已知函数 f(x)的图象如图所示， 则 f(x)的解析式可能是(　　) A．f(x)＝x2－2ln |x| B．f(x)＝x2－ln |x| C．f(x)＝|x|－2ln |x| D．f(x)＝|x|－ln |x| 　４.[2014 年浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数 f(x)＝xa(x>0)，g(x) ＝logax 的图像可能是(　　) 　 　　A　　　　　　　　　　　　B 　 　　C　　　　　　　　　　　　D 考点三：函数图象的应用 [例 4]　(2012·天津高考)已知函数 y＝|x2－1| x－1 的图象与函数 y＝kx－2 的 图 象 恰 有 两 个 交 点 ， 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是 ________． 互动探究： 若将“y＝kx－2”改为“y＝kx”，k 的取值范围是 什么？ [例 5]：[2013·江西卷] 如图 1－3 所示，半径为 1 的半圆 O 与等 边三角形 ABC 夹在两平行线 l1，l2 之间，l∥l1，l 与半圆相交于 F，G 两点，与三角形 ABC 两边相交于 E，D 两点．设弧 FG 的长为 x(00，且 a≠1，f(x)＝x 2－ax，当 x∈(－1,1)时，均有 f(x)<1 2 ，则实数 a 的取值范围是________． 1 个易错点——图象变换中的易错点 在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的 x，y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样 才能避免出错． 3 个关键点——正确作出函数图象的三个关键点 为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点： (1)正确求出函数的定义域； (2)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、 指数函数、对数函数、幂函数、形如 y＝x＋1 x 的函数； (3)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换 等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程． 3 种方法——识图的方法 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化 趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用 方法有：(1)定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而 得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题；(2) 定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型 法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数 模型来分析解决问题. 易误警示——作图不准确或数与形不吻合致误 [典例 6]　(2011·新课标全国卷)函数 y＝ 1 1－x 的图象与函数 y＝ 2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　) A．2　　　B．4　　　　C．6　　　　 D．8 [易误辨析] 1．如果作出的函数图象比较粗糙，极易造成区间(1,2)上的两个 交点遗漏，从而误选 B. 2．如果作函数 y＝ 1 1－x 的图象不够准确，只注意到图象过点 (3 2 ，－1)，极易忽视区间(3 2 ，2)上的交点，从而误选 C. 3．如果不能正确地挖掘函数 y＝ 1 1－x 及 y＝2sin πx(－2≤x≤4)的 图象均关于点(1,0)对称，从而无法求出交点横坐标的和． 4．解决此类问题，避免在解题过程中出现失误，应关注以下几 点： (1)平时涉及函数图象的问题时，要规范准确地画出图象，切忌 不用尺规草草完成． (2)加强通过解析式分析其图象的对称性、周期性等性质的训练 以提高解决这类问题的能力． (3)训练由图分析其函数性质的解题技巧． 强化训练： 1．已知函数 f(x)＝Error!若方程 f(x)－a＝0 有三个不同的实数根， 则实数 a 的取值范围为(　　) A．(1,3) 　　B．(0,3) 　　　C．(0,2) D．(0,1) 2．已知 a，b，c 依次是方程 2x＋x＝0，log2x＝2－x 和 log1 2 x＝x 的实数根，则 a，b，c 的大小关系是________． 2015 届高考函数的图像专题检测题 一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 1．函数 y＝Error!的图象大致是(　　) 2．函数 y＝log2 |x| x 的大致图象是(　　) 3．(2013·太原模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝3x＋m(m 为常数)，则函数 f(x)的大致图象为(　　) 4．已知函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)·g(x) 的图象可能是(　　) 5．已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位长度后关于 y 轴对称， 当 x2>x1>1 时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0 恒成立，设 a＝f(－1 2 )，b＝f(2)， c＝f(3)，则 a，b，c 的大小关系为(　　) A．c>a>b　　B．c>b>a　　　C．a>c>b D．b>a>c 6．设函数 f(x)＝Error!其中[x]表示不超过 x 的最大整数，如[－ 1.5]＝－2，[1.5]＝1，若直线 y＝k(x＋1)(k>0)与函数 y＝f(x)的图象有 三个不同的交点，则 k 的取值范围是(　　) A.(1 4 ，1 3] 　B.(0，1 4]　　　C.[1 4 ，1 3] D.[1 4 ，1 3) 7.[2013·四川卷] 函数 y＝ x3 3x－1 的图像大致是(　　) 二、填空题 8．函数 f(x)＝Error!的图象如图所示，则 a＋b＋c＝________. 9．(2013·盐城模拟)若关于 x 的不等式 2－x2>|x－a|至少有一个负 数解，则实数 a 的取值范围是________． 10．已知函数 y＝f(x)(x∈R)满足 f(x＋1)＝f(x－1)，且 x∈[－1,1] 时，f(x)＝x2，则函数 y＝f(x)与 y＝log5x 的图象交点的个数为________． 三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分) 11．已知函数 f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且 f(4)＝0. (1)求实数 m 的值；(2)作出函数 f(x)的图象；(3)根据图象指出 f(x) 的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式 f(x)>0 的解集；(5)求当 x∈ [1,5)时函数的值域． 12．当 x∈(1,2)时，不等式(x－1)20 时， 函数 f(x)的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于 1，分别 对选项中各个函数求导，并求其导函数等于 0 的正根， 可分别得 1， 2 2 ，2,1，由此可得仅函数 f(x)＝x2－ln |x|符 合条件． 例４：[答案]　(0,1)∪(1,4) 互动：解：函数可表示为 y＝Error!图象 为如图所示的实线部分，数形结合可知，要使 两函数图象有两个交点，则 k∈(0,1)∪(1,2)．　 变式 5：Ｂ　　　 6.解析：由题知，当 x∈(－1,1)时，f(x) ＝x2－ax<1 2 ，即 x2－1 2 0，则其临界情况为两函数图象的交点为(0,2)， 此时 a＝2.结合图象可知，实数 a 的取值范围是(－9 4 ，2). 10.４　　11.解：(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即 m＝4. (2)f(x)＝x|4－x|＝Error! f(x)的图象如图所示．(3)f(x)的单调递减区间是[2,4]． (4)由图象可知，f(x)>0 的解集为{x|04}． (5)∵f(5)＝5>4，∴由图象知，函数在[1,5)上的值域为 [0,5)． 12.解：设 f(x)＝(x－1)2，g(x)＝logax，在同一直角坐标系中画出 f(x) 与 g(x)的图象，要使 x∈(1,2)时，不等式(x－1) 21 时，如图，使 x∈(1,2)时，不等式(x－1)2

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