【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第四章三角函数、解三角形4-4.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念学案

【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第四章三角函数、解三角形4-4.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念学案

‎1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ ‎2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：‎ x ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下 ‎【知识拓展】‎ ‎1.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.‎ ‎2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位得到的.(　√　)‎ ‎(2)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象.(　×　)‎ ‎(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.(　×　)‎ ‎(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.(　×　)‎ ‎(5)把y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　×　)‎ ‎(6)若函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　√　)‎ ‎1.(教材改编)y＝2sin(x－)的振幅，频率和初相分别为______________.‎ 答案　2，，－ 解析　由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.‎ ‎2.(教材改编)将y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f(x)的图象，则f(x)＝________.‎ 答案　sin x 解析　将函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f(x)＝2×sin x＝sin x的图象.‎ ‎3.(2016·全国甲卷改编)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数的表达式为______________.‎ 答案　y＝2sin 解析　由图可知，T＝2＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×＋φ＝，所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin.‎ ‎4.(2016·南通模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋θ)的图象如图所示，f()＝－，则f(－)＝________.‎ 答案　－ 解析　由题图知，函数f(x)的周期 T＝2(－)＝，‎ 所以f(－)＝f(－＋)＝f()＝－.‎ ‎5.(教材改编) 在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f(x)＝sin(2x＋)，g(x)＝sin(2x＋)，h(x)＝cos(x－)的部分图象(如图)，则a，b，c对应的函数依次是______________.‎ 答案　h(x)，f(x)，g(x)‎ 解析　由于函数f(x)，g(x)，h(x)的最大值分别是，1，1，因此结合图形可知，曲线b为f(x)的图象；又g(x)，h(x)的最小正周期分别是π、2π，因此结合图形可知，曲线a，c分别是h(x)，g(x)的图象.‎ 题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 例1　(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值.‎ 解　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x π Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎0‎ 且函数解析式为f(x)＝5sin.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝5sin，‎ 得g(x)＝5sin.‎ 因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.‎ 令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.‎ 由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，‎ 所以令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z.‎ 由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.‎ 引申探究 在本例(2)中，将f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式，‎ 并写出g(x)图象的对称中心.‎ 解　由(1)知f(x)＝5sin(2x－)，‎ 因此g(x)＝5sin[2(x＋)－]‎ ‎＝5sin(2x＋).‎ 因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.‎ 令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z.‎ 即y＝g(x)图象的对称中心为(－，0)，k∈Z.‎ 思维升华　(1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.‎ ‎(2)图象变换：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.‎ ‎　把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移个单位，得到的函数图象的解析式是________________.‎ 答案　y＝cos 2x 解析　由y＝sin x图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y＝sin 2x，再向左平移个单位得y＝sin 2(x＋)，即y＝cos 2x.‎ 题型二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象，求A、ω、φ的值，并确定其函数解析式.‎ 解　方法一　(逐一定参法)‎ 由图象知振幅A＝3，‎ 又T＝－(－)＝π，∴ω＝＝2.‎ 由点(－，0)在图象上，令－×2＋φ＝0，‎ 得φ＝，∴y＝3sin(2x＋).‎ 方法二　(待定系数法)‎ 由图象知A＝3，又图象过点(，0)和(，0)，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有解得 ‎∴y＝3sin(2x＋).‎ 方法三　(图象变换法)‎ 由T＝π，点(－，0)，A＝3可知图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，∴y＝3sin 2(x＋)，‎ 即y＝3sin(2x＋)，且ω＝2，φ＝.‎ 思维升华　求y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)解析式的步骤 ‎(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.‎ ‎(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.‎ ‎(3)求φ，常用方法如下：‎ ‎①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.‎ ‎　(2016·徐州模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则y＝f(x＋)取得最小值时x的集合为__________________.‎ 答案　{x|x＝kπ－，k∈Z}‎ 解析　根据所给图象，周期T＝4×(－)＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点(，0)，代入有2×＋φ＝kπ(k∈Z)，再由|φ|<，得φ＝－，∴f(x＋)＝sin(2x＋)，当2‎ x＋＝－＋2kπ (k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f(x＋)取得最小值.‎ 题型三　三角函数图象性质的应用 命题点1　三角函数模型的应用 例3　(2015·陕西改编) 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________.‎ 答案　8‎ 解析　由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.‎ ‎∴ymax＝k＋3＝8.‎ 命题点2　函数零点(方程根)问题 例4　已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________.‎ 答案　(－2，－1)‎ 解析　方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为 m＝1－2sin2x＋sin 2x ‎＝cos 2x＋sin 2x ‎＝2sin，x∈.‎ 设2x＋＝t，则t∈，‎ ‎∴题目条件可转化为 ＝sin t，t∈有两个不同的实数根.‎ ‎∴y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：‎ 由图象观察知，的范围为(－1，－)，‎ 故m的取值范围是(－2，－1).‎ 引申探究 例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是__________.‎ 答案　[－2，1)‎ 解析　由例4知，的范围是，‎ ‎∴－2≤m<1，‎ ‎∴m的取值范围是[－2，1).‎ 命题点3　图象与性质的综合应用 例5　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求ω和φ的值；‎ ‎(2)当x∈[0，]时，求函数y＝f(x)的最大值和最小值.‎ 解　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.‎ 又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，‎ 所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，‎ 由－≤φ<，得k＝0，‎ 所以φ＝－＝－.‎ 综上，ω＝2，φ＝－.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－)，‎ 当x∈[0，]时，－≤2x－≤，‎ ‎∴当2x－＝，即x＝时，f(x)最大值＝；‎ 当2x－＝－，即x＝0时，f(x)最小值＝－.‎ 思维升华　(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.‎ ‎(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.‎ ‎(3)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，‎ 利用换元法和数形结合思想进行解题.‎ ‎　已知函数f(x)＝cos(3x＋)，其中x∈[，m]，若f(x)的值域是[－1，－]，则m的取值范围是__________.‎ 答案　[，]‎ 解析　画出函数的图象.‎ 由x∈[，m]，可知≤3x＋≤3m＋，‎ 因为f()＝cos ＝－且f()＝cos π＝－1，要使f(x)的值域是[－1，－]，只要≤m≤，即m∈[，].‎ ‎4.三角函数图象与性质的综合问题 典例　(14分)已知函数f(x)＝2sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π).‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值.‎ 思维点拨　(1)先将f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式再求周期；‎ ‎(2)将f(x)解析式中的x换成x－，得g(x)，然后利用整体思想求最值.‎ 规范解答 解　(1)f(x)＝2sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)＝cos x＋sin x [4分]‎ ‎＝2sin(x＋)， [6分]‎ 于是T＝＝2π. [7分]‎ ‎(2)由已知得g(x)＝f(x－)＝2sin(x＋)， [9分]‎ ‎∵x∈[0，π]，∴x＋∈[，]，‎ ‎∴sin(x＋)∈[－，1]， [12分]‎ ‎∴g(x)＝2sin(x＋)∈[－1，2]. [13分]‎ 故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1. [14分]‎ 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步：(化简)将f(x)化为asin x＋bcos x的形式；‎ 第二步：(用辅助角公式)构造f(x)＝· (sin x·＋cos x·)；‎ 第三步：(求性质)利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质；‎ 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.‎ ‎1.(教材改编)函数y＝2sin(＋)的最小正周期是________.‎ 答案　4π 解析　最小正周期T＝＝4π.‎ ‎2.(2016·无锡期末)将函数f(x)＝2sin 2x的图象上每一点向右平移个单位长度，得函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝__________.‎ 答案　2sin(2x－)‎ 解析　函数f(x)＝2sin 2x的图象上每一点向右平移个单位长度，可得函数g(x)＝2sin 2(x－)＝2sin(2x－)的图象，故g(x)＝2sin(2x－).‎ ‎3.已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为________.‎ 答案　π 解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ωx＋)(ω>0).‎ 由2sin(ωx＋)＝1，得sin(ωx＋)＝，‎ ‎∴ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋π(k∈Z).‎ 令k＝0，得ωx1＋＝，ωx2＋＝π，‎ ‎∴x1＝0，x2＝.‎ 由|x1－x2|＝，得＝，∴ω＝2.‎ 故f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎4.(2017·江苏通州中学月考)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________.‎ 答案　2，－ 解析　由题中图象可知T＝－(－)⇒T＝⇒T＝π，则ω＝＝＝2.又图象过点(，2)，‎ ‎∴f()＝2⇒2sin(＋φ)＝2⇒sin(＋φ)＝1.‎ ‎∵－<φ<，∴<φ＋<，‎ ‎∴＋φ＝，∴φ＝－.‎ ‎5.函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f(x)在上的最小值为________.‎ 答案　－ 解析　由函数f(x)的图象向左平移个单位得g(x)＝sin的图象，‎ 因为是奇函数，所以φ＋＝kπ，k∈Z，‎ 又因为|φ|＜，所以φ＝－，‎ 所以f(x)＝sin.‎ 又x∈，所以2x－∈，‎ 所以当x＝0时，f(x)取得最小值为－.‎ ‎6.(2016·连云港模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则下列关于函数f(x)的图象说法正确的是________.‎ ‎①关于直线x＝对称 ②关于直线x＝对称 ‎③关于点对称 ④关于点对称 答案　②‎ 解析　由题意知＝π，∴ω＝2；‎ 又由f(x)的图象向右平移个单位后得到y＝sin[2＋φ]＝sin，此时关于原点对称，‎ ‎∴－＋φ＝kπ，k∈Z，‎ ‎∴φ＝＋kπ，k∈Z，‎ 又|φ|＜，‎ ‎∴φ＝－，‎ ‎∴f(x)＝sin.‎ 当x＝时，‎ ‎2x－＝－，‎ ‎∴①、③错误；‎ 当x＝时，‎ ‎2x－＝，‎ ‎∴②正确，④错误.‎ ‎7.(2016·苏北四市期末)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，若AB＝5，则ω的值为________.‎ 答案　 解析　如图，过点A作垂直于x轴的直线AM，过点B作垂直于y轴的直线BM，直线AM和直线BM相交于点M，在Rt△AMB中，AM＝4，BM＝·＝，AB＝5，由勾股定理得AM2＋BM2＝AB2，‎ 所以16＋()2＝25，＝3，ω＝.‎ ‎8.(2016·南通质检)设函数y＝sin(ωx＋)(00，所以ωx＋∈(，ωπ＋)，又函数当且仅当x＝时取得最大值，‎ 所以解得ω＝2.‎ ‎9.(2016·扬州期末)已知函数f(x)＝sin(2x＋)(0≤x<π)，且f(α)＝f(β)＝(α≠β)，则α＋β＝________.‎ 答案　 解析　因为0≤x<π，所以2x＋∈[，)，所以由f(x)＝，得2x＋＝或，解得x＝或，由于f(α)＝f(β)＝(α≠β)，所以α＋β＝＋＝.‎ ‎10.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是________安.‎ 答案　－5‎ 解析　由图象知A＝10，＝－＝，‎ ‎∴ω＝＝100π，∴I＝10sin(100πt＋φ).‎ ‎∵图象过点，‎ ‎∴10sin(100π×＋φ)＝10，‎ ‎∴sin(＋φ)＝1，＋φ＝2kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴φ＝2kπ＋，k∈Z，‎ 又∵0<φ<，∴φ＝.‎ ‎∴I＝10sin，‎ 当t＝秒时，I＝－5安.‎ ‎11.(2016·江苏海安中学调研)若函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0，0)成中心对称，x0∈[0，]，则x0＝________.‎ 答案　π 解析　两条相邻的对称轴之间的距离为＝，所以T＝π.而T＝，得ω＝2.因为f(x)的图象关于点(x0，0)成中心对称，所以sin(2x0＋)＝0.又因为x0∈[0，]，所以2x0＋∈[，π]，所以2x0＋＝π，即x0＝π.‎ ‎12.(2016·江苏扬州中学月考)将y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位(φ>0)，使得平移后的图象仍过点(，)，则φ的最小值为________.‎ 答案　 解析　由题意得sin(－2φ)＝，‎ ‎∴－2φ＋＝2kπ＋(k∈Z)或－2φ＋＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝－kπ＋ (k∈Z)或φ＝－kπ (k∈Z)，‎ 又φ>0，∴φ的最小值为.‎ ‎13.设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A，ω，φ是常数，A>0，ω>0).若f(x)在区间[，]上具有单调性，且f()＝f()＝－f()，则f(x)的最小正周期为________.‎ 答案　π 解析　记f(x)的最小正周期为T.‎ 由题意知≥－＝，‎ 由f()＝f()＝－f()，‎ 且－＝，‎ 可作出示意图如图所示(一种情况)：‎ ‎∴x1＝(＋)×＝，‎ x2＝(＋)×＝，‎ ‎∴＝x2－x1＝－＝，∴T＝π.‎ ‎14.设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω>0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ 解　(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx ‎＝－×－sin 2ωx ‎＝cos 2ωx－sin 2ωx ‎＝－sin.‎ 依题意知＝4×，ω>0，所以ω＝1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝－sin.‎ 当π≤x≤时，≤2x－≤.‎ 所以－≤sin≤1.‎ 所以－1≤f(x)≤.‎ 故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.‎ ‎*15.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，0<φ<)的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)设g(x)＝[f(x－)]2，求函数g(x)在x∈[－，]上的最大值，并确定此时x的值.‎ 解　(1)由题图知A＝2，＝，‎ 则＝4×，∴ω＝.‎ 又f(－)＝2sin[×(－)＋φ]‎ ‎＝2sin(－＋φ)＝0，‎ ‎∴sin(φ－)＝0，‎ ‎∵0<φ<，∴－<φ－<，‎ ‎∴φ－＝0，即φ＝，‎ ‎∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin(x＋).‎ ‎(2)由(1)可得 f(x－)＝2sin[(x－)＋]‎ ‎＝2sin(x＋)，‎ ‎∴g(x)＝[f(x－)]2＝4× ‎＝2－2cos(3x＋)，‎ ‎∵x∈[－，]，∴－≤3x＋≤，‎ ‎∴当3x＋＝π，即x＝时，g(x)max＝4.‎