【数学】2019届高考一轮复习北师大版理7-2一元二次不等式及其解法学案
第2讲 一元二次不等式及其解法
1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集
(1)当a>0时，解集为；
(2)当a<0时，解集为．
2．三个“二次”间的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx
＋c(a>0)的
图象
一元二次方
程ax2＋bx
＋c＝0(a>0)
的根
有两相异实
根x1，x2(x1
0(a>0)
的解集
{x|x>x2
或x0)
的解集
{x|x10(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)⇔
4．绝对值不等式的解法
(1)|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2；
(2)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)；
(3)|f(x)|0.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( )
(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
(教材习题改编)不等式2x2－x－3>0的解集为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B.2x2－x－3>0⇒(x＋1)(2x－3)>0，
解得x>或x<－1.
所以不等式2x2－x－3>0的解集为
.
不等式≤0的解集为( )
A.
B.
C.∪[1，＋∞)
D.∪[1，＋∞)
解析：选A.由不等式≤0，
可得
解得－0的解集为，则ab的值为________．
解析：由不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，知a<0且ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝－1，x2＝，
由根与系数的关系知
所以a＝－3，b＝－2，ab＝6.
答案：6
若不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是__________．
解析：因为不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，
所以Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.
所以a>4或a<－4.
答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)
一元二次不等式的解法(高频考点)
一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度为中档题．高考对一元二次不等式解法的考查主要有以下三个命题角度：
(1)解不含参数的一元二次不等式；
(2)解含参数的一元二次不等式；
(3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[典例引领]
角度一 解不含参数的一元二次不等式
(1)解不等式：－x2－2x＋3≥0；
(2)已知函数f(x)＝解不等式f(x)>3.
【解】 (1)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.
方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.
而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．
(2)由题意或解得x>1.
故原不等式的解集为{x|x>1}．
角度二 解含参数的一元二次不等式
(分类讨论思想)解关于x的不等式：12x2－ax>a2(a∈R)．
【解】 因为12x2－ax>a2，
所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.
①当a>0时，－<，
解集为；
②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；
③当a<0时，－>，
解集为.
综上所述：当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.
角度三 已知一元二次不等式的解集求参数
已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．
【解析】 由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，所以解得
即不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2.
【答案】 {x|x≥3或x≤2}
(1)解一元二次不等式的方法和步骤
(2)解含参数的一元二次不等式的步骤
①二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
②判断相应方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
[通关练习]
1．(2018·陕西西安模拟)若集合A＝，B＝{x|x2<2x}，则A∩B＝( )
A．{x|00的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1，3)
C．(－1，3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析：选C.关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－10，|a|≤1恒成立的x的取值范围．
【解】 将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.
令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9，则－1≤a≤1.
因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以
(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．
(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，
可得即
解得x<2或x>4.
则实数x的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
(1)不等式恒成立问题的求解方法
①一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．
②一元二次不等式f(x)≥0在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围．
③一元二次不等式对于参数m∈[a，b]恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．
(2)求解不等式恒成立问题的数学思想
求解此类问题常利用分类讨论思想及转化与化归思想，如例22是不等式与函数的转化，例23是主元与次元的转化，而例21是对二次项系数是否为0进行讨论．
[通关练习]
1．若函数y＝的定义域为R，则m的取值范围是________．
解析：要使y＝有意义，即mx2－(1－m)x＋m≥0对∀x∈R恒成立，
则解得m≥.
答案：m≥
2．若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：因为不等式4x－2x＋1－a≥0在[1，2]上恒成立，
所以4x－2x＋1≥a在[1，2]上恒成立．
令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.
因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4.
由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x＝1时，y取得最小值0，
所以实数a的取值范围为(－∞，0]．
答案：(－∞，0]
解分式不等式的关键是先将给定不等式移项，通分，整理成一边为商式，另一边为0的形式，再通过等价转化化成整式不等式(组)的形式进行求解．
对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在
给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
易错防范
(1)对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．
(2)当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是R还是∅，要注意区别．
(3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．
1．设集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y＝的定义域，则A∩B等于( )
A．(1，2) B．[1，2]
C．[1，2) D．(1，2]
解析：选D.A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|10，所以不等式的解集是.
4．若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．[－1，4]
B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
D．[－2，5]
解析：选A.x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，
只需a2－3a≤4即可，解得－1≤a≤4.
5．(2018·福建龙岩模拟)已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，若不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)<0的解集是( )
A.∪
B.
C.∪
D.
解析：选A.不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，故f(x)<0的解集是{x|x<－1或x>3}，故f(－2x)<0的解集为{x|－2x<－1或－2x>3}，
即.
6．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得00的解集是.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
解：(1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根为，2，代入解得a＝－2.
(2)由(1)知不等式为－2x2－5x＋3>0，
即2x2＋5x－3<0，解得－30的解集为.
10．(2018·合肥市第二次教学质量检测)已知函数f(x)＝(a≠0)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若当x∈[0，1]时，不等式f(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)要使函数有意义，需4－|ax－2|≥0，即|ax－2|≤4，|ax－2|≤4⇔－4≤ax－2≤4⇔－2≤ax≤6.
当a>0时，函数f(x)的定义域为；当a<0时，函数f(x)的定义域为.
(2)f(x)≥1⇔|ax－2|≤3，记g(x)＝|ax－2|，因为x∈[0，1]，所以需且只需⇔⇔－1≤a≤5，又a≠0，所以－1≤a≤5且a≠0.
1．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是( )
A．(－1，0)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．不能确定
解析：选C.由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2.
又因为f(x)开口向下，
所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2.
2．(2018·陕西咸阳模拟)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是( )
A．13 B．18
C．21 D．26
解析：选C.设f(x)＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示．
若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，
则即
解得50的解集；
(2)若a>0，且00，
即a(x＋1)(x－2)>0.
当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1，或x>2}；
当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－10，且00.
所以f(x)－m<0，即f(x)
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