上海中考数学压轴题满分攻略考典文档

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第三部分 压轴题的满分攻略 概论 压轴题多练一道就自信一分，因此要加强压轴题的规律性训练．‎ 最后两道压轴题是选拔性的题目，要挑战满分或者冲刺名校的同学需要在这两道题目上多加训练．‎ 压轴题是有规律可循的，我们整理分析、归类总结近8年的压轴题，总体上分为三大类型，一是图形运动中的函数关系问题，二是点的存在性问题，三是计算说理问题．‎ 我们浏览一下近8年的最后两道压轴题的布局：‎ 第24题 第25题 ‎2005年[来源:Zxxk.Com]‎ 统计题[来源:学_科_网Z_X_X_K][来源:Zxxk.Com]‎ ‎(1)证明三角形相似[来源:学,科,网Z,X,X,K][来源:学科网ZXXK]‎ ‎(2)求函数关系式——由相似 ‎(3)计算线段的长，分类讨论 ‎2006年 ‎(1)待定系数法——二次函数 ‎(1)证明三角形相似 ‎(2)三角形旋转，抛物线平移 ‎(2)求函数关系式——由相似 ‎(3)存在性——面积问题 ‎(3)存在性——圆的位置 ‎2007年 ‎(1)几何计算，反比例函数，点的坐标 ‎(1)几何证明——角平分线 ‎(2)计算说理，求证平行 ‎(2)求函数关系式——由相似 ‎(3)存在性——平行四边形、等腰梯形 ‎(3)存在性——直线与圆相切 ‎2008年 ‎(1)待定系数法——二次函数、顶点坐标 ‎(1)求函数关系式——由面积 ‎(2)几何说理计算，分类讨论 ‎(2)存在性——两圆相切 ‎(3)存在性——三角形相似 ‎2009年 ‎(1)待定系数法——一次函数 ‎(1)几何计算 ‎(2)存在性——等腰三角形 ‎(2)求函数关系式——由面积、比例线段 ‎(3)存在性——两圆相切 ‎(3)说理求值，证明直角 ‎2010年 ‎(1)待定系数法——二次函数 ‎(1)存在性——三角形相似 ‎(2)计算说理——平行四边形 ‎(2)几何计算 ‎(3)求函数关系式——由比例线段 ‎2011年 ‎(1)计算——两点间的距离 ‎(1)几何计算 ‎(2)待定系数法——二次函数 ‎(2)求函数关系式——由比例线段 ‎(3)存在性——菱形 ‎(3)存在性——三角形相似 ‎2012年 ‎(1)待定系数法——二次函数 ‎(1)几何计算 ‎(2)说理计算——相似比 ‎(2)计算说理——垂径定理，中位线 ‎(3)说理计算——相似比 ‎(3)求函数关系式——由面积 如果你的目标是重点中学，在挑战这两道题目前，请你先回头一分钟再确认一下：‎ ‎1—23题漏解了哪道题？自信都准确无误了吗？你用掉的时间超过45分钟了吗？‎ 把第24、25题先通读一遍，如果时间不够用的话，你一定要拿下的是哪几个小题？‎ 最值得提醒你的是，不要急于在答题纸上写字，胸有成竹了，写好不用3分钟．‎ 压轴题的书写空间是很有限的，一道4—5分的分类讨论题，要演算一个页面的，你需要写上去的，只是两三行．‎ 写少了丢分，写多了空间不够．如何做好书写的层次性、简洁性、规范性，怎样写最好？《挑战中考数学压轴题（附光盘）》一书是最好的范例．‎ ‎《挑战中考数学压轴题（附光盘）》（第六版）一书（以下简称本书）从2012年上海各区县中考模拟试题和全国各地中考试题中收录了200道压轴题，书中每一道题目由出处、动感体验、思路点拨、满分解答和考点伸展等五个板块组成．光盘中每一道题目有三个配套的课件，同学们可以自己按照说明操作几何画板和超级画板课件，也可以视频观看每一道题目的讲解．‎ 最值得推荐的是本书按照解题策略把题目分为19个小类．例如第一部分的存在性问题，按照相似三角形、等腰三角形、直角三角形、平行四边形、梯形、面积、相切、线段和差的最值等分为8小类存在性问题，可以帮助同学们进行类型识别训练和解题策略训练，对挑战满分很有帮助．‎ 第三部分我们按照压轴题的类型归纳为11个考典进行满分攻略分论．每一个考典我们配备了4道训练题，是我们从2012年全国各地的中考压轴题中筛选出来与这个考典相关的题目．‎ 考典30 等腰三角形的存在性问题 ‎【真题典藏】‎ ‎1.（2009年上海市第24题）（本题满分12分，每小题满分各4分）在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图1所示），点B与点A关于原点对称，直线 y ＝ x ＋ b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD.‎ ‎（1）求b的值和点D的坐标；‎ ‎（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径.‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎2．（2009年黄浦区第25题）如图2，在△ABC中，，、分别是边、上的两个动点（不与、重合），且保持，以为边，在点的异侧作正方形．‎ ‎（1）试求△ABC的面积；‎ ‎（2）当边与重合时，求正方形的边长；‎ ‎（3）设，△ABC与正方形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（4）当△BDG是等腰三角形时，请直接写出的长．‎ ‎3．（2014年上海市第25题）如图3，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．‎ ‎（1）当圆C经过点A时，求CP的长；‎ ‎（2）联结AP，当AP//CG时，求弦EF的长；‎ ‎（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．‎ 图3 备用图 ‎【满分攻略】‎ 我们先来解读第1题（2009年上海市第24题）的第（2）题，学习“求等腰三角形POD的存在性”的策略：‎ 由第（1）题解得点D的坐标为（3，4）．‎ 首先，仿照英语中的首字母填空，分三种情况①PO＝PD；②OP＝OD；③DO＝DP．‎ 第二步，拿起尺、规，确定点P的位置和个数．‎ ‎①当PO＝PD时，点P在OD的垂直平分线上（如图3）；‎ ‎②当OP＝OD时，以O为圆心，OD为半径画弧交x轴的正半轴于P（如图4）；‎ ‎③当DO＝DP时，以D为圆心，DO为半径画弧交x轴的正半轴于P（如图5）．‎ 第三步，具体情况具体解决．‎ ‎①当PO＝PD时，由点D的坐标可以知道cos∠O，解Rt△POE可以求得OP的长；‎ ‎②当OP＝OD时，那么OP＝OD＝5；‎ ‎③当DO＝DP时，根据“三线合一”可以知道OP＝2CD＝6．‎ 第四步，数形结合写出点P的坐标为①；②（5，0）；③（6，0）．‎ ‎ ‎ 图3 图4 图5‎ 这道题目还有三个策略：1．歇歇脚再走：如果第（1）题点D的坐标求解错误，那么第（2）、（3）的探究就是徒劳无益．‎ ‎2．心动不如行动，磨刀不误砍柴功：由第（1）题解得D（3，4），画三个示意图，拿出尺、规，规范准确的画出三个等腰三角形，在每个图形中标注等量或者数量，这样，很多的结论和思路尽在不言中．‎ ‎3．这道小题4分，写少了丢分，写多了空间不够．怎样写最好？3或4行足矣．‎ ‎（2）①当PO＝PD时，作PE⊥OD于E，由，得．‎ ‎②当OP＝OD时，那么OP＝OD＝5．‎ ‎③当DO＝DP时，OP＝2CD＝6．‎ 所以P1，P2（5，0），P3（6，0）．‎ 注意每一行用标志性的语句当PO＝PD时引领，如果行末空间大的话，把三个点的坐标分别写在行末也行．‎ 不论怎么写，让阅卷老师一下子看清你的字、看懂你的层次和结果是首要的．‎ 三个层次的序号和标志性的语句引领，体现了你的分类思想和分类方法；结果对了，分数就拿到手了．‎ 如果您想看本题第（2）、（3）的动态效果，打开《挑战中考数学压轴题》一书配套光盘中的文件“09上海24”．‎ 我们再来解读第2题（2009年黄浦区第25题）的第（4）题， 求等腰三角形BDG的存在性．‎ 由第（1）、（3）题知，在△BDG中，．‎ 首先，仿照英语中的首字母填空，分三种情况①DB＝DG；②BD＝BG；③GB＝GD．‎ 第二步，画好三个锐角∠D，使得，拿起尺、规，确定点G的位置．‎ ‎①当DB＝DG时，以D为圆心画弧，交∠D 的两边于B、G（如图6）；‎ ‎②当BD＝BG时，选一点B，以B为圆心，BD为半径画弧交另一边于G（如图7）；‎ ‎③当GB＝GD时，选一点B，点G在BD的垂直平分线上（如图8）．‎ 第三步，具体情况具体解决．‎ ‎①如图6，当DB＝DG时，，解得．‎ ‎②如图7，当BD＝BG时，，即，解得．‎ ‎③如图8，当GB＝GD时，，即，解得 ‎．‎ ‎ 图6 图7 图8‎ 这道题目还有两个策略：1．歇歇脚再走：确认第（1）、（3）无误．‎ ‎2．只见树木，不见森林：需要从森林中为第（4）题取柴的三棵树是：‎ ‎．‎ 考典30 等腰三角形的存在性问题 ‎1．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．‎ ‎（1）求抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 图1 ‎ ‎2．如图2， 点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；‎ ‎（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 图2‎ ‎3．如图3，在△ABC中，AB＝AC＝10，，点D在AB边上（点D与点A，B不重合），DE∥BC交AC边于点E，点F在线段EC上，且，以DE、EF为邻边作平行四边形DEFG，联结BG．‎ ‎（1）当EF＝FC时，求△ADE的面积；‎ ‎（2）如果△DBG是以DB为腰的等腰三角形，求AD的值． ‎ 图3 ‎ ‎4．如图4，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．‎ ‎（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；‎ ‎（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值．‎ ‎ 图4‎ 考典30 等腰三角形的存在性问题 ‎1．（1） y＝－x2＋2x＋3．‎ ‎（2）设点M的坐标为(1,m)．‎ 在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．‎ ‎①如图1，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．‎ 此时点M的坐标为(1, 1)．‎ ‎②如图2，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．‎ 此时点M的坐标为(1,)或(1,)．‎ ‎③如图3，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．‎ 当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．‎ 图1 图2 图3‎ ‎2．（1）B．‎ ‎（2）．‎ ‎（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．‎ ‎①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．‎ 当P在时，B、O、P三点共线（如图4）．‎ ‎②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得．‎ ‎③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得．‎ 综合①、②、③，点P的坐标为，如图4所示．‎ 图4 ‎ ‎3．（1）如图2，作AM⊥BC，垂足为M．‎ 在Rt△ABM中，AB＝10，，所以BM＝6，AM＝8，BC＝12．‎ 所以．‎ 设AE＝x，当EF＝FC时，．解得．‎ 因为DE//BC，所以．所以．‎ ‎（2）设AE＝x，那么．‎ ‎①如图5，当DB＝DG时，点G落在BC上，此时FC＝0．‎ 解方程，得x＝8．‎ ‎②如图6，当BD＝BG时，BH垂直平分DG，此时．‎ 由，得．解得．‎ 图5 图6‎ ‎4．（1）D (2，4－m)．‎ ‎（2）在△APD中，，，‎ ‎．‎ ‎①当AP＝AD时，．解得（如图7）．‎ ‎②当PA＝PD时，．‎ 解得（如图8）或（不合题意，舍去）．‎ ‎③当DA＝DP时，．‎ 解得（如图9）或（不合题意，舍去）．‎ 综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为，或．‎ 图7 图8 图9‎ 考典31 相似三角形的存在性问题 ‎【真题典藏】‎ ‎1.（2008年上海市第25题）（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）已知AB＝2，AD＝4，∠DAB＝90°，AD//BC（如图13）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．‎ ‎（1）设BE＝x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；‎ ‎（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．‎ 图1 备用图 ‎2．（2009年闸北区第25题）如图2，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cosA＝．D为射线BA上的点（点D不与点B重合），作DE//BC交射线CA于点E.．‎ ‎(1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；‎ ‎(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；‎ ‎(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ 图2 备用图 备用图 ‎3．（2010年上海市第25题）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．‎ ‎（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；‎ ‎（2）若CE＝2，BD＝BC，求∠BPD的正切值；‎ ‎（3）若，设CE＝x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．‎ ‎ ‎ 图3 图4(备用) 图5(备用)‎ ‎4．（2011年上海市第25题）参见《考典38 由比例线段产生的函数关系问题 》第5题．‎ ‎5．（2014年上海市第24题）如图6，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式；‎ ‎（2）连结OM，求∠AOM的大小；‎ ‎（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．‎ 图6 ‎ ‎【满分攻略】‎ 我们先来解读第1题（2008年上海市第25题）的第（3）题，学习相似三角形的存在性问题：‎ 第一步，把两个三角形涂上颜色或者画上阴影(如图6)，寻找分类标准与分类方法．‎ 一般来讲，不论用相似三角形的判定定理1，还是判定定理2，至少有一组角是相等的．‎ 我们可以看到，∠ADN的大小是确定不动的，∠AND是钝角，∠ADN＝∠DBE >∠MBE，因此按照与∠AND相等，分两种情况①∠ADN＝∠BME；②∠ADN＝∠BEM．‎ 第二步，拿起三角尺，按照分类情况反复比划，画两个比较准确的示意图（如图7，图8），把相等的角都标记出来．‎ 第三步，具体情况具体分析．‎ ‎① 如图7，当∠ADN＝∠BME时， 经过等量代换，∠DBE＝∠BME，这时△DBE与△BME就是我们熟悉的相似三角形的典型图“A字形”，那么，这样问题就转化为如何用含有x的式子表示ED的长．‎ 已知直角梯形的两底和直腰，你说怎样求斜腰ED呢？‎ ‎②如图8，当∠ADN＝∠BEM时，经过等量代换，∠DBE＝∠BEM，这时△DBE是等腰三角形，BC＝2AD＝8．‎ 图6 图7 图8‎ 还需要提醒的是，备用图暗示要分类讨论，合理利用试卷和答题纸上的备用图，不要急于乱画，先分好类，再反复比划，后落笔．图7不可能画准确，但是要接近，这样好观察图形间的关系．‎ 示范一下书写，注意用标志性的语句引领书写的层次性和阅卷老师的眼球．‎ ‎（2）①当∠ADN＝∠BME时，∠DBE＝∠BME，这时△DBE∽△BME．‎ ‎∴． ∴．‎ ‎∴（舍去负值）．‎ ‎②当∠ADN＝∠BEM时，∠DBE＝∠BEM，这时△DBE是等腰三角形，BC＝2AD＝8．‎ 综上所述，当△ADN与△BME相似时，BE的长为2或8．‎ 我们再来解读第2题（2009年闸北区第25题）的第（3）题， 求等腰三角形DEF的存在性．‎ 由第（1）、（3）题知，在△BDG中，．‎ 第一步，寻找分类标准与分类方法．‎ 我们可以看到，△ABC是确定的，那么AB＝5，AC＝3，cosA＝暗示了什么？‎ ‎△ABC是等腰三角形．由于DE//BC，因此当△ABC与△DEF相似时，△DEF与△ADE、△ABC是相似的等腰三角形．‎ 因此我们按照DE为腰或者底边两种情况进行分类讨论．‎ 第二步，拿起尺、规，按照分类情况反复比划，画两个比较准确的示意图（如图9或图10，图11），把相等的角、边都标记出来．‎ 第三步，具体情况具体分析．‎ ‎①当DE为等腰三角形DEF的腰时，不论你画的是图9还是图10，你都可以感受到DE是△ABC的中位线．‎ 在图10中，很容易知道BF＝DE＝2.5．‎ 在图9中，你能否敏锐地观察到△DBF与△EFC也是等腰三角形，并且△ABC∽△FEC，根据对应边成比例，这样你就可以计算出FC的长了,从而得到BF＝4.1．‎ 如果你比划出图9而反应不出图10，或者你比划出图10而反应不出图9，那说明你的思想还不成熟：‎ 当DE为等腰三角形DEF的腰时，顶角的顶点是D还是E?‎ 这是本题的二级（二次）分类．[来源:学*科*网]‎ ‎②当DE为等腰三角形DEF的底边时，如图11，四边形DECF是平行四边形，此时,解得．‎ 图9 图10 图11‎ 我们用看图说话的形式来分析第3题（2010年上海市第25题）的第（1）题：‎ 图12中的△ABC是30°角的直角三角形，因此图13中的△ADE是等边三角形，进而得到图14中的△BDP是顶角为120°的等腰三角形．这样，如果△AEP与△BDP相似，那么只有一种情况，就是三角形AEP也是顶角为120°的等腰三角形，因此EP＝EA＝1，从而得到CE＝0.5．‎ 如果你苦思冥想没有思路，那么记住一个经验：遇到特殊角度，把能标注的度数都标注出来，或许就是柳暗花明．‎ 图12 图13 图14‎ 考典31 相似三角形的存在性问题 ‎1．如图1，平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，线段AB垂直于y轴，垂足为B，将线段AB绕点A逆时针方向旋转90°，点B落在点C处，直线BC与x轴的交于点D．‎ ‎（1）试求出点D的坐标；‎ ‎（2）试求经过A、B、D三点的抛物线的表达式，并写出其顶点E的坐标；‎ ‎（3）在（2）中所求抛物线的对称轴上找点F，使得以点A、E、F为顶点的三角形与△ACD相似．‎ ‎ ‎ ‎ 图1‎ ‎2．如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°，使点A落在点C，点B落在点D，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A、D、C，其对称轴与直线AB交于点P．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）点M在x轴上，且△ABM与△APD相似，求点M的坐标．‎ ‎ 图2 ‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎3．如图3，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向运动．点E、G的速度均为每秒2cm，点F的速度为每秒4cm．当点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止运动．设运动的时间为t秒钟．若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由． ‎ 图3‎ ‎4．如图4，AB⊥BC，AD//BC， AB＝3，AD＝2．点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．‎ 当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．‎ ‎ ‎ ‎ 图4 [来源:Z_xx_k.Com]‎ 考典31 相似三角形的存在性问题 ‎1．（1）D (3，0)．‎ ‎（2）y＝－x2＋2x＋3．顶点E (1，4)．‎ ‎（3）如图1，图2，在△ACD中，由A(2，3)、C(2，1)、D(3，0)，‎ 得∠ACD＝135°，CD＝，CA＝2．‎ 由A(2，3)、E(1，4)， 知AE＝，AE与抛物线的对称轴的夹角为45°．‎ 因此要使得△AEF与△ACD相似，只有点F在点E的上方时，∠AEF＝135°．‎ ‎①如图1，当时，．所以EF＝2．此时点F的坐标为（1，6）．‎ ‎②如图2，当时，．所以EF＝1．此时点F的坐标为（1，5）．‎ 图1 图2‎ ‎2．（1）y＝－(x＋2)(x－1)＝－x2－x＋2．‎ ‎（2）B(0,1)，D(1,0)，P ．‎ 因为△APD是钝角等腰三角形，如果△ABM与△APD相似，那么 ‎△ABM也是钝角等腰三角形，分两种情况：‎ ‎①如图3，当BA＝BM时，点A与点M关于y轴对称，此时点M的坐标为(2,0)．‎ ‎②如图4，当MA＝MB时，点M在线段AB的垂直平分线上，由，可得．所以OM＝，此时点M的坐标为．‎ 图3 图4‎ ‎ 3．当F在BC上时，BE＝12－2t， BF＝4t，CF＝8－4t，CG＝2t．‎ ‎①如图5，当时，．解得．‎ ‎②如图6，当时，．解得．[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎ ‎ 图5 图6[来源:Zxxk.Com]‎ ‎4．如图7，过点C作BC的垂线交AD的延长线于E．‎ 当△APD∽△DPC时，，即．解得．‎ 由△APD∽△EDC，得，即．所以．‎ 因此BC＝AE＝AD＋ED＝4．‎ 图7 ‎ 考典32 直角三角形的存在性问题 ‎【真题典藏】‎ ‎1.（2008年卢湾区第24题）在坐标平面xOy中（如图1），已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与y轴交于点C ‎，且OC＝2OA．‎ ‎（1）求这个抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）求点A到直线BC的距离；[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎（3）将△ABC沿直线AC翻折，使点B落到点B′，连结BB′，点Q是BB′的中点，在抛物线上是否存在一点P，使△QCP是以QC为直角边的直角三角形，如果存在，求出P点的坐标，如果不存在，请说明理由．‎ ‎2.（2010年浦东新区第24题）如图2，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数图像上的一点，且△ABP是直角三角形．‎ ‎（1）求点P的坐标；‎ ‎（2）如果二次函数的图像经过A、B、P三点，求这个二次函数的解析式；‎ ‎（3）如果第（2）小题中求得的二次函数图像与y轴交于点C，过该函数图像上的点C、点P的直线与x轴交于点D，试比较∠BPD与∠BAP的大小，并说明理由．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎【满分攻略】[来源:Z§xx§k.Com]‎ 上海中考很少考到直角三角形的存在性问题，偶有区县在模拟考中训练一下．‎ 借第1题（2008年卢湾区第24题），我讲一个重要的策略，就是数形结合思想的典型应用：我们可以用函数的解析式表示图像上点的坐标，用点的坐标可以表示点到坐标轴的距离．‎ 如图4，图5，二次函数的解析式为，那么抛物线上点P的坐标可以设为．在图4中，点P到x轴的距离可以表示为，在图5中，点P到x轴的距离可以表示为，点P到y轴的距离可以用x表示．‎ 我们先解完这道题，再点拨满分攻略．‎ 解：（1）由，知.‎ 因为，所以，因此，解得.‎ 所以抛物线的解析式为.‎ ‎（2）如图3，过点作,垂足为点.‎ 在Rt△BOC中，，所以，.‎ 在Rt△BAD中，，，所以.‎ 图3‎ ‎（3），且，‎ ‎∴∠OCA＝∠BCA，点落在轴上,,.‎ 由于，所以.‎ 设点P的坐标为.‎ ‎①如图4，当时，过点P作PM⊥轴于点M，‎ 则即 当时，P与B重合,∴；‎ 当时，解得,∴． ‎ ‎②如图5，当时，过点P作PN⊥y轴于点N，‎ 则△AOC∽△CNP，所以 解得（P与C重合，不符合题意）．∴．‎ 综上所述，满足条件的点的坐标为或或.[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎ ‎ ‎ 图4 图5‎ 我们从这道题的解题过程可以看到：‎ ‎1．抛物线与x轴的交点A、B的坐标与a(a＜0)的取值无关．由OC＝2OA，数形结合可以确定点C的坐标，从而确定抛物线的解析式．‎ ‎2．原题中只给了一个没有刻度的直角坐标系，因此解这道题目的第一障碍是画图．‎ ‎3．第（2）题求A到直线BC的距离有什么意义呢？‎ 由点A的坐标及点A到直线BC的距离，可以判定点A在∠OCB的平分线上，所以点B′落在 y 轴上，OQ垂直平分线段BB′，垂足为Q．‎ ‎4．在抛物线上求点P，抛物线是画不准确的，但是你必须明确这么几点：‎ 准确画出A、B、C、B′、Q五个点；‎ 抛物线开口向下，过A、B、C三点，顶点在第一象限，抛物线与BB′的交点在CQ的右侧．‎ ‎5．分类讨论直角△PQC的存在性，按直角顶点分和两种情况．‎ ‎6．求点P的坐标，关键是构造相似三角形．构造的一般策略是过点P向坐标轴画垂线，这样通过数形结合就可以把线段的长用点的坐标表示出来．‎ 我们来看第2题（2010年浦东新区第24题）．‎ 第（1）题，如果△ABP是直角三角形，第一意识是要分类，凭借直觉和经验，∠PAB不可能为直角．‎ ‎①如图6，∠ABP为直角是显然的，点P与点B的横坐标相同．‎ ‎②∠APB为直角真的存在吗？要分三步走：假如存在，列方程，根据方程的解判断是否真的存在．‎ 当∠APB＝90°时，OP是Rt△APB的斜边上的中线，OP＝2．‎ 设点P的坐标为，由OP2＝4，得．‎ 解得．如图7，此时点P的坐标为（，）．‎ 第（2）题，又要凭借直觉和经验，当∠ABP为直角时，经过A、B、P三点的抛物线显然不存在．‎ ‎ ‎ 图6 图7‎ 第（3）题，直觉和经验更重要，点C在抛物线的对称轴上，如图8，由点C和点P的坐标，可以判断△OPC是等腰直角三角形，那么在图9中， ∠1与∠2是同角的余角， 而∠2与∠3是等腰三角形OAP的两个底角，经过等量代换，得到∠1等于与∠3．‎ 可能初三的同学更容易想到用相似三角形的判定定理2证明△DAP与△DPB相似(如图9)，计算虽然麻烦，但是好不容易抓住思路了，就不要怕麻烦，仔细一些．‎ ‎ ‎ 图8 图9‎ 考典32 直角三角形的存在性问题 ‎1．如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）求直线BC的函数表达式；‎ ‎（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．‎ 图1‎ ‎2．如图2，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(0，b)(b＞0)．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），联结PP′、P′A、P′C．设点P的横坐标为a．是否同时存在a、b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a、b的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 图2‎ ‎3．如图3，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求点A、B的坐标；‎ ‎（2）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．‎ ‎ ‎ ‎ 图3 ‎ ‎4．在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图像交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．设二次函数的图像的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．‎ 考典32 直角三角形的存在性问题 ‎1．（1）抛物线为．‎ ‎（2）直线BC为．‎ ‎（3），．‎ ‎[来源:Z§xx§k.Com][来源:Z#xx#k.Com]‎ 图1 图2‎ 求点P的坐标的步骤是：‎ 如图1，图2，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标，再求出CE的中点F的坐标，把点F的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标．‎ ‎2．①如图3，当∠P′AC＝90°时，四边形P′ACP是正方形．‎ 点P的坐标为(4，8)，此时a＝4，b＝4．‎ ‎②如图4，当∠P′CA＝90°时，B、P、P′三点重合，与点P′不在y轴上矛盾，故此情况舍去．‎ ‎③如图5，当∠AP′C＝90°时，△PP′C是等腰直角三角形，AC＝2PP′＝4OC．所以4＋OC＝4OC．此时．，b＝2．‎ ‎ ‎ 图3 图4 图5‎ ‎3．（1）A(－4, 0)、B(2, 0)．‎ ‎（2）如图6，过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M．‎ 以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M了．‎ 联结GM，那么GM⊥l．‎ 在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．‎ 在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A＝6．‎ 所以点M1的坐标为(－4, 6)，过M1、E的直线l为．‎ 根据对称性，直线l还可以是．‎ 图6‎ ‎4．抛物线的顶点Q的坐标是，A、B关于原点O中心对称，当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．‎ 由OQ2＝OA2，得．‎ 解得（如图7），（如图8）．‎ 图7 图8‎ 考典33 平行四边形的存在性问题 ‎【真题典藏】‎ ‎1.（2008年青浦区第24题）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正比例函数（为自变量）的图像与双曲线交于点A，且点A的横坐标为．‎ ‎（1）求k的值．‎ ‎（2）将直线（为自变量）向上平移4个单位得到直线BC，直线BC分别交轴、轴于B、C，如点D在直线BC上，在平面直角坐标系中求一点P，使以O、B、D、P为顶点的四边形是菱形．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎2.（2009年普陀区第25题）如图2，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A、C的坐标分别为（2，0）、（1，）. 将△AOC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线经过点A，点D是该抛物线的顶点.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（1）求证：四边形ABCO是平行四边形；‎ ‎（2）求a的值并说明点B在抛物线上；‎ ‎（3）若点P是线段OA上一点，且∠APD＝∠OAB，求点P的坐标；‎ ‎（4）若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，写出点P的坐标．‎ ‎3．（2010年上海市第24题）参见《考典40 几何计算说理与说理计算问题》第3题．‎ ‎4．（2011年上海市第24题）已知平面直角坐标系xOy（如图3），一次函数的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数的图像上，且MO＝MA．二次函数 y＝x2＋bx＋c的图像经过点A、M．‎ ‎（1）求线段AM的长；‎ ‎（2）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标． 图3‎ ‎【满分攻略】‎ 平行四边形的存在性问题在2007年中考的第24题涉及过，在《考典34 梯形的存在性问题》中我们会引用这道题目．[来源:学科网ZXXK]‎ ‎2010年中考的第24题也涉及到了平行四边形的说理计算问题，但不是存在性问题，在《考典40 几何计算说理与说理计算问题》中我们会讲到这道题目．‎ ‎2010年中考的第24题考到了菱形的存在性问题，我们在这个考典里会解读这道题目。‎ 我们先来解读第1题（2008年青浦区第24题）的第（2）题，探求菱形的存在性：‎ 由第（1）题解得直线BC为，△BOC是腰长为4的等腰直角三角形．‎ 第一步，确定分类标准和分类方法．‎ 四个点O、B、D、P中，两个定点O和B，两个不确定的点D和P，点在直线上，点在平面直角坐标系中，你认为因D而P?还是因P而D?‎ 那么我们以OB为分类的标准，按照OB为菱形的对角线或者边分两种情况．‎ 第二步，拿起尺、规，确定点D和P的位置以及菱形的个数．‎ ‎①当OB为菱形的对角线时，OB的垂直平分线交直线BC于D，点D关于OB的对称点为P（如图4）；‎ ‎②当OB为菱形的边时，那么以OB为半径画圆，圆心是O还是B?‎ 如果以O为圆心，以OB为半径画圆（如图5），那么圆与直线BC的两个交点在哪里？你能确定点P吗？‎ 如果以B为圆心，以OB为半径画圆（如图6），那么圆与直线BC有几个交点？你能确定点P吗？‎ 数一数，总共确定了几个菱形？‎ 第三步，具体情况具体解决．‎ ‎①如图4，如果以OB为菱形的对角线，那么DP与OB互相垂直平分且相等．‎ 此时点的坐标为．‎ ‎②如图5，如果以OB、OD为菱形的邻边，由OD＝OB＝4，可知点D与C重合．‎ 此时点的坐标为．‎ ‎③如图6，如果以BO、BD为菱形的邻边，则点P在直线上．‎ 由OP＝OB＝4，可得．‎ 解得，．‎ 因此点的坐标为或．‎ 综上所述，点的坐标为，，，．‎ ‎ ‎ 图4 图5 图6‎ 关于这道题，我怎么都觉得它更像一道画图题，你认为呢？‎ 你的笔袋里常备有圆规和一副三角板吗？‎ 四个菱形中，不论你漏掉了哪一个，都说明你的思想很不成熟，这道题进行了三级（三次）分类：‎ 我们再来解读第2题（2009年普陀区第25题），探求平行四边形的画法：‎ 根据抛物线的对称性，我们知道点D在OA的垂直平分线上．‎ 第一步，确定分类标准和分类方法．‎ 设平行四边形的另一个点为F，在四个点P、A、D、F中，两个定点A和D，两个不确定的点P和F，点P在x轴上，点F在y轴上，你认为因P而F?还是因F而P?‎ 那么我们以AP为分类的标准，按照AP为平行四边形的对角线或者边分两种情况．‎ 第二步，拿起尺、规，确定点P和F的位置以及平行四边形的个数．‎ ‎①当AP为平行四边形的边时，那么AP//DF，AP＝DF．‎ 过点D画x轴的平行线交y轴于F；以A为圆心、DF为半径画圆与x轴有两个交点P1与P2（如图7）．‎ ‎②当AP为平行四边形的对角线时，点D、F到x轴的距离相等．此时的点F与图7中的点F有什么位置关系呢？此时的点P3与图7中的点P1有什么位置关系呢（如图8）？‎ 第三步，具体情况具体解决了．‎ 如图7， ，，如图8， ．‎ 图7 图8‎ 解这道小题时，你是否觉得：‎ 另起炉灶另画图，要比在原图上比比画画好多了．‎ 图画准确了，答案就在图形中．‎ 第4题（2011年上海市第24题）最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．‎ 根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上（如图9），并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．‎ 第（1）题求得M，．‎ 第（2）题解得抛物线的解析式为．‎ 第（3）题求点C的坐标，先把抛物线的大致位置描绘一下：开口向上，与y轴交于点A ‎（0，3），过点M，对称轴在点M的右侧．‎ 现在我们来描绘菱形ABCD的大致位置：如图10，点B在点A的下方，点C在抛物线上，那么点C应该在点B的右侧了，点D在点A的右侧偏上的位置．‎ 解法一，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．‎ 如图10，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E．‎ 在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．‎ 因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．‎ 将点C(4m，3－2m)代入，得．‎ 解得或者m＝0（舍去）．‎ 因此点C的坐标为（2，2）．‎ ‎ ‎ 图9 图10‎ 解法二，设点C和点D的坐标分别为、，由DA2＝DC2，得．解得x＝0或者x＝2．x＝0的几何意义是点C与点D重合，菱形ABCD不存在．‎ 如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：‎ 如图11，点C的坐标为．‎ 图11 ‎ 考典33 平行四边形的存在性问题 ‎1．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2＋2x＋c过点A（-1,0），直线l：与x轴交于点B，与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点M；抛物线的顶点为D．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．‎ ‎（2）若N为直线l上一动点，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点E.问：是否存在这样的点N，使得以点D、M、N、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的横坐标；若不存在，请说明理由． ‎ 图1 ‎ ‎2．已知平面直角坐标系xOy（如图2），一次函数的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数的图像上，且MO＝MA．二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过点A、M．[来源:学科网]‎ ‎（1）求线段AM的长；‎ ‎（2）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标． 图2‎ ‎3．将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图3所示．‎ ‎（1）请直接写出抛物线c2的表达式；‎ ‎（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 图3‎ ‎4．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．‎ ‎（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；‎ ‎（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度．‎ ‎ 图1‎ 考典33 平行四边形的存在性问题 ‎[来源:学#科#网]‎ ‎1．（1）抛物线为y＝－x2＋2x＋3，顶点D为（1，4）．‎ ‎（2）当x＝1时，．所以点M的坐标为（1，）．‎ 所以DM＝．因此NE＝．‎ ‎①如图1，当E在N上方时，．‎ 整理，得．解得x＝，或x＝1（此时N与M重合，舍去）．‎ ‎②如图2，当N在E上方时，．‎ 整理，得．解得．‎ 综上所述，满足题意的点N的横坐标为 ‎．‎ 图1 图2‎ ‎2．（1）．（2）．‎ ‎（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E．‎ 在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．‎ 因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．‎ 将点C(4m，3－2m)代入，得．‎ 解得或者m＝0（舍去）．因此点C的坐标为（2，2）．‎ ‎ ‎ 图3‎ ‎3．（1）抛物线c2的表达式为．‎ ‎（2）在等腰三角形ABM中，因为AB＝2，AB边上的高为，所以△ABM是等边三角形．同理△DEN是等边三角形．‎ 当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合．‎ 因为起始位置时BD＝2，所以平移的距离m＝1．‎ 图4‎ ‎4．（1）QB＝8－2t，PD＝．‎ ‎（2）当点Q的速度为每秒2个单位长度时，四边形PDBQ不可能为菱形．说理如下：‎ 在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．[来源:Z+xx+k.Com]‎ 已知PD//BC，当PQ//AB时，四边形PDBQ为平行四边形． ‎ 所以，即．解得．‎ 此时在Rt△CPQ中，，．‎ 所以，．‎ 因此BQ≠BD．所以四边形PDBQ不是菱形．‎ 如图5，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．‎ 过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．‎ 在Rt△APE中，，所以．　‎ 当PQ//AB时，，即．‎ 解得．所以点Q的运动速度为． ‎ 图5‎ 考典40 几何计算说理与说理计算问题 ‎【真题典藏】‎ ‎1. （2007年上海市第24题）参见《考典35 梯形的存在性问题》第1题，如图1．‎ ‎2. （2008年上海市第24题）如图2，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．二次函数y＝－x2＋bx＋3的图像经过点A(－1,0)，顶点为B．‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点B的坐标；‎ ‎（2）如果点C的坐标为(4,0)，AE⊥BC，垂足为点E，点D在直线AE上，DE＝1，求点D的坐标．[来源:学&科&网]‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎3．（2010年上海市第24题）如图3，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3)．‎ ‎（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；‎ ‎（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值．‎ ‎ ‎ 图3‎ ‎4．（2012年上海市第24题）如图4，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋6x＋c的图像经过点A(4, 0)、B(－1,0)，与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD＝t，点E 在第二象限，∠ADE＝90°，，EF⊥OD，垂足为F．‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；‎ ‎（3）当∠ECA＝∠OAC时，求t的值．‎ 图4 ‎ ‎【满分攻略】‎ 我们用三种方法证明第1题（2007年上海市第24题）的第（2）题DC//AB：‎ 方法一，由于点在双曲线上，所以．‎ 因为，，所以，因此DC//AB．‎ 这里依据“三角形一边的平行线判定定理推论”．‎ 方法二，因为，，‎ 所以，因此DC//AB．‎ 方法三，如图6，由反比例函数的图形与性质，知△AOC与△BOD的面积相等．‎ 图5中的△ADC与图6中的△AOC的面积相等，图5中的△BCD与图6中的△BOD的面积相等，经过等量代换，图5中的△ACD与△BCD的面积相等．因为这两个三角形是同底CD的，因此它们是同底等高的三角形，所以DC//AB．[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ ‎ ‎ 图5 图6 图7‎ 其中方法一和方法二是通过计算进行说理，方法三是说理证明．‎ 第2题（2008年上海市第24题）的第（2）题求点D的坐标是几何计算．‎ 准备动作：．‎ 罗列点：A(－1,0)，B(1,4)，C(4,0)．‎ 画图：先画直线BC，过点A向BC画垂线，垂足为E．‎ 拿起圆规，以E为圆心，1长为半径画圆，圆与直线AE有几个交点？这就是行动体现思想，你画图的过程已经体现了分类讨论思想，点D有两个（如图7）．‎ 试问有必要画抛物线吗？‎ 解题的过程反复用到数形结合思想——不要问为什么——拿来就用．示范一下：‎ 注意标志性语句的引领作用，体现书写的层次性，吸引阅卷老师的注意力．‎ 第3题（2010年上海市第24题）的第（1）题做完之后停一停，确认无误之后再作第（2）题，否则就是徒劳无益．‎ 第（1）题用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求抛物线的对称轴和顶点坐标，无需画图．抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2,4)．‎ 第（2）题的最大障碍就是画示意图了，事实上，无需画出抛物线，如图8，只要顺次画出点A、对称轴、点P的大概位置（在点A的右下方）、点E、点F，就可以直观感受到，四边形OAPE是等腰梯形，四边形OAPF是平行四边形．‎ 说理是关键的一步：‎ 平行四边形OAPF的底边OA＝4是确定的，高是点P到x轴的距离，用点P的纵坐标表示为－n，列方程－4 n＝20容易求的n＝－5．解方程－m2＋4m＝－5，会得到m有两个解，根据题目条件“点P(m,n)在第四象限”舍去不合题意的解．‎ 如果不用上述几何说理的方法，我们也可以根据点的坐标特征进行说理：‎ 这个说理方法的最大困难是用m表示点F的坐标(4－m,n)．‎ 图8‎ 第4题（2012年上海市第24题），DE和AD横看成岭侧成峰，DE∶AD＝1∶2，既是Rt△ADE的两条直角边的比，也是两个相似的△DEF和△ADO的斜边比．‎ 第（1）题求得抛物线的解析式y＝－2x2＋6x＋8，与y轴交于点C(0，8)．‎ 第（2）题，如图9，在Rt△ADE中，已知，所以．‎ 已知∠ADE＝∠EFD＝90°，所以∠DEF与∠ADO都是∠EDF的余角．‎ 因此∠DEF＝∠ADO．‎ 所以△DEF∽△ADO．因此，即．‎ 于是得到，．所以．‎ 图9 图10‎ 第（3）题难在示意图怎么画？在森林中认识树木：当∠ECA＝∠OAC时，如果延长CE与x轴交于点M，根据等角对等边，那么△MAC是等腰三角形，MA＝MC．这样我们作AC的垂直平分线先找到点M，在MC的适当位置画一个点E，这样示意图就画好了．‎ 如图10，设AC的垂直平分线与x轴交于点M，那么MA＝MC，∠MCA＝∠MAC．‎ 当∠ECA＝∠OAC时，点E在MC上．‎ 由于，而OA＝4，OC＝8，所以．‎ 因此．所以MO＝6．‎ 由EF//MO，得，即．解得t＝6．‎ 考典40 几何计算说理与说理计算问题 ‎1．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋6x＋c的图像经过点A(4, 0)、B(－1,0)，与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD＝t，点E在第二象限，∠ADE＝90°，，EF⊥OD，垂足为F．‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；‎ ‎（3）当∠ECA＝∠OAC时，求t的值．‎ 图1‎ ‎2．如图2，已知△ABC中，∠ACB＝90°，点P到∠ACB两边的距离相等，且PA＝PB．‎ ‎（1）先用尺规作出符合要求的点P（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP的形状，并说明理由；‎ ‎（2）设PA＝m，PC＝n，试用m、n的代数式表示△ABC的周长和面积；‎ ‎（3）设CP与AB交于点D，试探索当边AC、BC的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由． ‎ 图2 ‎ ‎3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动．同时动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP．设运动时间为t秒（t＞0）．‎ ‎（1）△PBM与△QNM相似吗？以图3为例说明理由；‎ ‎（2）若∠ABC＝60°，厘米．‎ ‎①求动点Q的运动速度；‎ ‎②设△APQ的面积为S(平方厘米)，求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图3为例说明理由．‎ 图3‎ ‎4．在Rt△ABC中， AB＝BC＝4，∠B＝90°，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点M处，将三角板绕点M旋转，三角板的两直角边分别与边AB、BC或其延长线上交于D、E两点(假设三角板的两直角边足够长)，如图4、图5表示三角板旋转过程中的两种情形．‎ ‎（1）直角三角板绕点M旋转过程中，当BE＝ 时，△MEC是等腰三角形； ‎ ‎（2）直角三角板绕点M旋转到图1的情形时，求证：MD＝ME； ‎ ‎（3）如图6，若将直角三角板的直角顶点M在斜边AC上移动，设AM∶MC＝m∶n(m、n为正数)，试判断MD、ME的数量关系，并说明理由．‎ 图4 图5 图6‎ 考典40 几何计算说理与说理计算问题 ‎[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ ‎1．（1）y＝－2x2＋6x＋8．‎ ‎（2）如图1，在Rt△ADE中，已知，所以．‎ 已知∠ADE＝∠EFD＝90°，所以∠DEF与∠ADO都是∠EDF的余角．‎ 因此∠DEF＝∠ADO．‎ 所以△DEF∽△ADO．因此，即．‎ 于是得到，．所以．‎ 图1 图2‎ ‎（3）如图2，设AC的垂直平分线与x轴交于点M，那么MA＝MC，∠MCA＝∠MAC．‎ 当∠ECA＝∠OAC时，点E在MC上．‎ 由于，而OA＝4，OC＝8，所以．‎ 因此．所以MO＝6．‎ 由EF//MO，得，即．解得t＝6．‎ ‎2．（1）求作点P的作图痕迹如图3所示．△PAB是等腰直角三角形，证明如下：‎ 作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N．‎ 因为点P在∠ACB的平分线上，所以PM＝PN．‎ 又因为PA＝PB，所以Rt△APM≌Rt△BPN（HL）．因此∠1＝∠2．‎ 又因为∠2与∠BPM互余，所以∠1与∠BPM互余，即∠APB＝90°．‎ 所以△PAB是等腰直角三角形．‎ ‎（2）如图4，在等腰直角三角形PAB中，PA＝m，所以AB＝m．‎ 在等腰直角三角形MPC中，PC＝n，所以CM＝n．[来源:学+科+网]‎ 由Rt△APM≌Rt△BPN，得AM＝BN．所以CA＋CB＝2CM＝n．‎ 因此△ABC的周长＝AB＋CA＋CB＝m＋n．‎ ‎△ABC的面积可以这样割补：‎ S△ABC＝S正方形MPNC－S△PAB ．‎ ‎（3）如图5，作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，那么四边形CEDF是正方形，CD＝DE＝DF．‎ 设AD＝x，BD＝y．‎ 由，，两式相加，得．‎ 于是得到．‎ ‎ ‎ 图3 图4 图5‎ ‎3．（1）如图6，∠B与∠1都是∠C的余角，所以∠B＝∠1．‎ ‎∠BMP与∠NMQ都是∠PMN的余角，所以∠BMP＝∠NMQ．‎ 所以△PBM∽△QNM．‎ ‎（2）①当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，．‎ 由△PBM∽△QNM，得．‎ 而已知BM＝CM，所以．‎ 因为，所以NQ＝t．因此点Q的运动速度为每秒1厘米．‎ ‎②在Rt△ABC中，∠B＝60°，，所以AC＝12，．‎ 在Rt△CMN中，，∠C＝30°，所以CN＝8．‎ 因此AN＝4，AQ＝4＋t．‎ 如图7，当P在BA上时，0≤t≤4，．‎ 此时．‎ 如图8，当P在BA的延长线上时， t＞4，．‎ 此时．‎ 图6 图7 图8‎ ‎（3）如图9，过点C作AB的平行线交BM的延长线于P′，‎ 那么△QCP′是直角三角形，P′Q2＝P′C2＋CQ2．‎ 因为P′C//AB，M是BC的中点，所以BP＝CP′，PM＝P′M．‎ 所以QM垂直平分PP′，PQ＝P′Q．‎ 于是得到PQ2＝BP2＋CQ2．‎ 图9‎ 第（3）题容易想到代数方法，通过计算得到结论：‎ ‎，‎ ‎，．‎ 所以PQ2＝BP2＋CQ2．‎ ‎4．（1）0，2，或．‎ ‎（2）如图10，△MGD≌△MHE，MD＝ME．‎ ‎（3）如图11，△AGM和△MHC都是等腰直角三角形，Rt△AGM∽Rt△MHC．‎ 因此．又因为△MGD∽△MHE，所以．‎ 图10 图11‎ 后叙 一、这不是一本中考的试题集，这是一本关于中考解题策略的书，如叙家常．‎ 二、本书分三部分，我们把每一部分概论中的第一句话摘录如下：‎ 简单题错失一道将悔恨不已，因此要加强简单题的准确性训练．‎ 简答题丢失一步将满分无望，因此要加强简答题的规范性训练．‎ 压轴题多练一道就自信一分，因此要加强压轴题的规律性训练．‎ 三、我们摘录每一部分的高频词语和经典语句：‎ 第一部分的高频词语有：粗心，不要口算，即刻回头检查．‎ 第二部分的经典语句有：没有不会的，只有不对的；重温课本；想好了再写——时间诚可贵，答对价更高；标志性语句的引领，表明书写的层次，吸引阅卷老师的眼球；踩分点；中考的版面有限，不能写到框外，要注意扑捉命题意图哦！‎ 第三部分的经典语句有：导航仪不代表体力——想的对不等于能做对；拿起尺、规画图，答案就在图形中；你的思想还不成熟——数形结合思想，分类讨论思想；歇歇脚再走，否则徒劳无益．‎ 四、一位上高一的学生来看我，说他离梦想的那所市重点高中就差0.5分，要是再降1分，他肯定被录取了．‎ 我笑笑．‎ 他纳闷．‎ 我解释说，例如数学，上海考生约10万人，减去极端高分和极端低分2万人，那么分数集中在100—140分之间的40分，平均每分2000人．‎ 中考1分意味着什么呢？‎ 五、这本书剖析近6年的中考数学题目——应该注意的问题、容易出现的失误、思维的出发点、书写的规范——你标记了多少认同的地方？‎ 六、本书最牛的一句话——选择放弃也是一种好的策略，保证其他题目准确无误也是高分——压轴题中你不会的那道小题，可能绝大多数人都不会．例如2012年最后两道压轴题皆因辅助线而难倒众生，其实第25题第（2）题需要添加的辅助线，本来是常见的联结两个中点构造三角形的中位线，但是因为图形中其它线条的干扰，使众多考生没有发现这条辅助线．如果添加了这条辅助线，那么问题一下子就解决了．‎ 七、或许你做对了，但是你写的字让人误解或者费解，吃亏的不是别人．这句话开始说过，这里再说一次；这句话语文老师一定也说过，理化和英语老师同样说过．‎ 八、好运留给有准备的人——祝你好运！‎