【数学】2019届一轮复习北师大版概率统计解答题（文）学案

【数学】2019届一轮复习北师大版概率统计解答题（文）学案

专题二 概率统计解答题（文）‎ 以随机事件概率为背景综合题 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．互斥事件的概率加法计算公式．‎ ‎2．对立事件的概率计算公式．‎ ‎3．古典概型的意义（I）实验中所以可能出现的基本事件只有有限个；（II）每个基本事件出现的可能性相等．‎ ‎4．古典概型的概率公式 ‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 能够用列举法把古典概型实验的基本事件一一列举出 ．‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018湖南省张家界市高三模拟】一个盒子中装有4个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．‎ ‎（I）从盒子中不放回随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；‎ ‎（II）先从盒子中随机取一个球，该球的编号为，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取一个球，该球的编号为，求的概率．‎ ‎【答案】（I）‎ ‎【解析】试题分析 （I）根据列举法表示所有取到2个不同小球的组合情况，并计算其中两个小球和不大于4的个数，相除即时概率；（II）列举出所有的组合情况，并且计算其中满足条件的个数，利用对立事件求概率，或是直接计算的个数，并计算概率．‎ 试题解析 （I）从袋中随机抽取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4‎ 的事件共有1和2，1和3两个．因此所求事件的概率p＝．‎ 例2．【2018湖南省高三十四校联考节选】已知某班的50名学生进行不记名问卷调查，内容为本周使用手机的时间长，如表 学- ‎ 时间长（小时）‎ 女生人数 ‎4‎ ‎11‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎0‎ 男生人数 ‎3 学* * *X*X* ]‎ ‎17‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎（I）求这50名学生本周使用手机的平均时间长；‎ ‎（II）时间长为的7名同学中，从中抽取两名，求其中恰有一个女生的概率；‎ ‎【答案】（I）9小时；（II）．‎ ‎【解析】【试题分析】（I）用每组中点值作为代表乘以每组的人数，相加后除以总人数，得到平均时间．（II）利用列举法列出所有的基本事件有种，其中符合题意的有种，利用古典概型计算公式可求得概率．‎ ‎【试题解析】（I），‎ 所以，这50名学生本周使用手机的平均时间长为9小时．　‎ ‎（II）时间长为的有7人，记为、、、、、、，其中女生记为、、、，从这7名学生中随机抽取两名的基本事件有 ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个．‎ 设事件表示恰有一位女生符合要求的事件有 ，，，，，，，，，，，共12个．所以恰有一个女生的概率为．‎ ‎【方法点睛】本题考查的是古典概型，古典概型中基本事件数的探求方法有 （I）‎ 列举法．（II）树状图法 适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法．（III）列表法 适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化．(4)排列组合法 适用于限制条件较多且元素数目较多的题目．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，．‎ ‎（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；‎ ‎（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ 试题解析 （I）由题意得，的所有可能为 ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，共27种．‎ 设“抽取的卡片上的数字满足”为事件A，则事件A包括，共3种，‎ 所以．因此“抽取的卡片上的数字满足”的概率为．‎ ‎（II）设“抽取的卡片上的数字不完全相同”为事件B，则事件包括，共3种，所以．因此“抽取的卡片上的数字 不完全相同”的概率为．‎ ‎2．【2018河北省保定高三模拟】某学校为了解该校教师对教工食堂的满意度情况，随机访问了名教师．根据这名教师对该食堂的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 ，，…，，．‎ ‎（I）求频率分布直方图中的值；‎ ‎（II）从评分在的受访教师中，随机抽取2人，求此2人的评分都在的概率．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）根据频率分布直方图的性质可知各频率之和为1即可得a=0．022；（II）先计算出受访教师中评分在[50，60)的人数 50×0．006×10＝3(人)，然后列出所有组合可能即可 解析 （I）因为(0．004＋0．006＋0．018＋a×2＋0．028)×10＝1，‎ 所以a＝0．022 ‎ ‎（II）受访教师中评分在[50，60)的有 ‎ ‎50×0．006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；‎ 受访教师中评分在[40，50)的有 50×0．004×10＝2(人)，记为B1，B2…8分 从这5名受访教师中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．‎ 又因为所抽取2人的评分都在[50，60)的结果有3种，即{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，故所求的概率为．‎ 以茎叶图为背景概率综合题 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．根据茎叶图求平均数，‎ ‎2．根据茎叶图求中位数，众数 ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 根据茎叶图解决实际问题，平均数公式，方差公式．‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018广东惠州高三一模】为了迎接第二届国际互联 大会，组委会对报名参加服务的1500名志愿者进行互联 知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取15人，所得成绩如下 57，63，65，68，72，77，78，78，79，80，83，85，88，90，95．‎ ‎（Ⅰ）作出抽取的15人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这1500志愿者中成绩不低于90分的人数；‎ ‎（Ⅱ）从抽取的成绩不低于80分的志愿者中，随机选3名参加某项活动，求选取的3人中恰有一人成绩不低于90分的概率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）200人．；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】（Ⅰ）抽取的15人的成绩茎叶图如图所示， …………3分 ‎【名师点睛】（I）在求某事件的概率时，若事件较为复杂时，可通过求它的对立事件的概率 求解．对于含有“至多”、“至少”等词语的概率问题，一般用对立事件的概率 解较为简单．‎ ‎（II）求概率时，当题目中含有“在……发生的条件下，求……发生的概率”的字样时，一般用条件概率求解，解题时要分清楚谁是条件，然后再利用公式求解．‎ 例2．【2018湖南永州高三一模】某学校为加强学生的交通安全教育，对学校旁边，两个路口进行了8天的检测调查，得到每天各路口不按交通规则过马路的学生人数（如茎叶图所示），且路口数据的平均数比路口数据的平均数小2．‎ ‎（I）求出路口8个数据中的中位数和茎叶图中的值；‎ ‎（II）在路口的数据中任取大于35的2个数据，求所抽取的两个数据中至少有一个不小于40的概率．‎ ‎【答案】（I），；（II）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）由茎叶图可得路口个数据中为最中间两个数，由此计算中位数，又路口个数据的平均数为，可得；（II）在路口的数据中任取个大于的数据，有种可能，其中“至少有一次抽取的数据不小于”的情况有种，故所求概率为．学 = ‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018广西南宁二中、柳州高中、玉林高中高三8月联考】某校高一（I）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．‎ ‎（I）求分数在的频率及全班人数；‎ ‎（II）求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高；‎ ‎（III）若要从分数在 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率．‎ ‎【答案】（I）频率为，全班人数为；（II）频数为，矩形的高为；（III）．‎ ‎（III）将之间的3个分数编号为，之间的2个分数编号为，‎ 在之间的试卷中任取两份的基本事件为 ‎ ‎，，，，，，，，，共10个， ‎ 其中，至少有一个在之间的基本事件有7个，‎ 故至少有一份分数在之间的概率是．‎ ‎2．【2018山东肥城高三上学期升级统测】为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况，对他们的次数学测试成绩（满分分）进行统计，作出如下的茎叶图，其中处的数字模糊不清，已知甲同学成绩的中位数是，乙同学成绩的平均分是分．‎ ‎（I）求和的值；‎ ‎（II）现从成绩在之间的试卷中随机抽取两份进行分析，求恰抽到一份甲同学试卷的概率．‎ ‎【答案】（I）（II）‎ 以频率分布直方图为背景的概率综合题 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．频率=组距高 ‎2．样本容量频率=各组的个数 ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1必备技能 读懂频率分布直方图的数据，会绘制频率分布直方图．‎ ‎2典型例题 ‎ 例1．【2018广东中山一中、仲元中学等七校模拟】某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组 第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5‎ 组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（I）上表是年龄的频数分布表，求正整数的值；‎ ‎（II）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？‎ ‎（III）在（II）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．‎ ‎【答案】（I）；（II） 第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人；（III）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）)由题设可知，，；（II）由第1，2，3组的比例关系为1 1 4，则分别抽取1人，1人，4人；（III）设第1组的1位同学为，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为，由穷举法，求得至少有1人年龄在第3组的概率为．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）由题设可知，，．‎ ‎（II）因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，‎ 利用分层抽样在300名学生中抽取名学生，每组抽取的人数分别为 ‎ 第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，‎ 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．‎ ‎（III）设第1组的1位同学为，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为，则从6位同学中抽两位同学有 ‎ 共种可能．‎ 其中2人年龄都不在第3组的有 共1种可能，‎ 所以至少有1人年龄在第3组的概率为．‎ 例2．【2018甘肃省兰州市高三一诊】交管部门为宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市岁的人群抽样了人，回答问题统计结果如图表所示 ‎ 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率 ‎ 第组 第组 ‎ 第组 第组 第组 ‎（I）分别求出，，，的值；‎ ‎（II）从第，，组回答正确的人中用分层抽样方法抽取人，则第，，组每组应各抽取多少人？‎ ‎（III）在（II）的前提下，决定在所抽取的人中随机抽取人颁发幸运奖，求 所抽取的人中至少有一个第组的人的概率．‎ ‎【答案】（I）见解析．（II）人，人，人．（III）．‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎（I）由题意结合频率分布表和频率分布直方图可得，，，．‎ ‎（II）由题意结合分层抽样的概念可得第，，组每组应各依次抽取人，人，人．‎ ‎（III）记抽取的人中，第组的记为，，第组的记为，，，第组的记为，列出所有可能的结果，结合古典概型计算公式可得所抽取的人中至少有一个第组的人的概率为．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）第组人数，所以，第组人数，所以，‎ 第组人数，所以，第组人数，所以，‎ 第组人数，所以．‎ ‎（II）第，，组回答正确的人的比为，所以第，，组每组应各依次抽取人，人，人．‎ ‎（III）记抽取的人中，第组的记为，，第组的记为，，，第组的记为，则从名幸运者中任取名的所有可能的情况有种，他们是 ，，，，，，，，，，，，，，．‎ 其中第组至少有人的情况有种，他们是 ‎ ‎，，，，，，，，．故所求概率为．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018广东华南师大附中高三综合测试（三）】《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试．现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在到之间，将测试结果按如下方式分成六组 第一组，第二组，…，第六组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．‎ ‎（I）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第1组或第4组的概率；‎ ‎（II）已知第5，6两组市民中有3名女性，组织方要从第5，6两组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率．‎ ‎【答案】（I）0．28，（II）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）第1组或第4组的频率为，所以被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0．28；（II）第5，6两组中共有6名市民，其中女性市民共3名，记3名男性市民为，，，3名女性市民为，，，穷举所有事件，求得至少有1名女性市民的概率为．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）被采访人恰好在第1组或第4组的频率为，‎ ‎∴估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0．28，‎ ‎（II）第5，6两组的人数为，‎ ‎∴第5，6两组中共有6名市民，其中女性市民共3名，‎ 记第5，6两组中的3名男性市民分别为，，，3名女性市民分别为，，，‎ 从第5，6两组中随机抽取2名市民组成宣传队，共有15个基本事件，‎ 列举如下 ，，，，，，，，，，，，，，，‎ 至少有1名女性，，，，，，，，，，，，共12个基本事件，‎ ‎∴从第5，6两组中随机抽取2名市民组成宣传务队，至少有1名女性的概率为．‎ ‎2．【2018江西省重点中学盟校高三第一次联考】‎ 微信是当前主要的社交应用之一，有着几亿用户，覆盖范围广，及时快捷，作为移动支付的重要形式，微信支付成为人们支付的重要方式和手段．某公司为了解人们对“微信支付”认可度，对年龄段的人群随机抽取人进行了一次“你是否喜欢微信支付”的问卷调查，根据调查结果得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图 ‎ 组号 分组 喜欢微信支付的人数 喜欢微信支付的人数 占本组的频率 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 ‎（I）补全频率分布直方图，并求，，的值；‎ ‎（II）在第四、五、六组“喜欢微信支付”的人中，用分层抽样的方法抽取人参加“微信支付日鼓励金”活动，求第四、五、六组应分别抽取的人数；‎ ‎（III）在（II）中抽取的人中随机选派人做采访嘉宾，求所选派的人没有第四组人的概率．‎ ‎【答案】（I） ，，；（II）；（III） ．‎ ‎【解析】试题分析 （I）由频率表中第四组数据可知，第四组总人数为 ‎，再结合频率分布直方图，‎ 即可求解的值；‎ ‎（II）因为第四、五、六组“喜欢微信支付”的人数共有人，由分层抽样原理可知，第四、五、六组分别取的人数；‎ ‎（III）设第四组4人为 ，第五组2人为 ，第六组1人为 ，‎ 列出从7人中随机抽取2名所有可能的结果，利用古典概型及其概率的概率的计算公式，即 可求解概率．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）画图，由频率表中第四组数据可知，第四组总人数为，再结合频率分布直方图 可知，所以，第二组的频率为，所以．‎ ‎（II）因为第四、五、六组“喜欢微信支付”的人数共有105人，由分层抽样原理可知，第四、五、六组分别取的人数为4人，2人，1人． ‎ ‎（III）设第四组4人为 ，第五组2人为 ，第六组1人为 ．‎ 则从7人中随机抽取2名所有可能的结果为 ‎ ‎，，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，，共21种；‎ 其中恰好没有第四组人的所有可能结果为 ，共3种；‎ 所以所抽取的2人中恰好没有第四组人的概率为．‎ 与变量间的相关关系与独立性检验为背景的概率综合题 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．能识别，会做列联表．‎ ‎2．能计算的值，比较观测值 与临界值表中相应的检验水平，根据小概率水平肯定或否定小假设， 判断是否相关．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1必备技能 正确理解题意，会列列联表．‎ ‎2典型例题 ‎ 例1．【2018广东珠海高三3月质量检测】某兴趣小组进行“野岛生存”实践活动，他们设置了个取水敞口箱．其中个采用种取水法，个采用种取水法．如图甲为种方法一个夜晚操作一次个水箱积取淡水量频率分布直方图，图乙为种方法一个夜晚操作一次个水箱积取淡水量频率分布直方图．‎ ‎（I）设两种取水方法互不影响，设表示事件“法取水箱水量不低于，法取水箱水量不低于”，以样本估计总体，以频率分布直方图中的频率为概率，估计的概率；‎ ‎（II）填写下面列联表，并判断是否有的把握认为箱积水量与取水方法有关．‎ 箱积水量 箱积水量 箱数总计 法 法 箱数总计 ‎ ‎ 附 ‎ ‎【答案】（I）；（II）见解析．‎ ‎【解析】试题分析 （I）第（I）问，一般利用互斥事件的概率公式求解．（II）第（II）问，一般直接利用独立性检验的公式求解．‎ 试题解析 （I）设“法取水箱水量不低于”为事件，“法取水箱水量不低于”为事件，‎ ‎，，‎ ‎ ，故发生的概率为．‎ ‎（II）列联表 ‎ 箱积水量 箱积水量 箱数总计 法 法 箱数总计 ‎ ，‎ ‎∴，∴有的把握认为箱积水量与取水方法有关．‎ 例2．【2018陕西省高三教学质量检测】随着资本市场的强势进入，互联 共享单车“忽如一夜春风 ”，遍布了一二线城市的大街小巷．为了解共享单车在市的使用情况，某调查机构借助 络进行了问卷调查，并从参与调查的 友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位 人） ‎ ‎（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0．15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关？（Ⅱ）现从所抽取的30岁以上的 友中利用分层抽样的方法再抽取5人．‎ ‎（I）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；‎ ‎（II）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率．‎ 参考公式 ，其中．‎ 参考数据 ‎ ‎【答案】（I） 能在犯错误的概率不超过0．15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关；（II）3人，2人，．‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎（Ⅰ）由列联表可求得，结合所给的参考数据可得能在犯错误的概率不超过0．15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关．（Ⅱ）（I）先确定抽取的比例为，然后在每层中分别抽取即可．（II）根据古典概型概率公式和对立事件的概率求解．‎ ‎（II）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为；偶尔或不用共享单车的2人分别为，则从5人中选出2人的所有可能结果为 ，共10种．选出的2人中没有1人经常使用共享单车的可能结果为，共1种．‎ 故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率．‎ ‎【名师点睛】独立性检验的方法 ‎①构造2×2列联表；②计算；③查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．‎ 注意 查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的 值与求得的相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性，所以其有关联的可能性为．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018江西省南昌市高三一模】某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生 情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革．经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年 的数学成绩取平均数再取整，绘制成如下茎叶图，规定不低于85分(百分制)为优秀，甲班同学成绩的中位数为74．‎ ‎ ‎ ‎（I）求的值和乙班同学成绩的众数；‎ ‎（II）完成表格，若有以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”的话，那么学校将扩大教学改革面，请问学校是否要扩大改革面？说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．‎ ‎【解析】【试题分析】（I）利用中位数为可求得．有茎叶图可知乙班的众数为．（II）填写好表格后计算得，故有以上的把握认为有关．‎ ‎【试题解析】‎ ‎（Ⅰ）由甲班同学成绩的中位数为，‎ 所以，得 ‎ 由茎叶图知，乙班同学成绩的众数为 ‎（Ⅱ）‎ 依题意知（表格2分，计算4分） ‎ 有90 以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”，学校可以扩大教学改革面．‎ ‎2．【2018广东深圳市高三第一次调研】某重点中学将全部高一新生分成A，B两个成绩相当(成绩的均值、方差都相同)的级部，A级部采用传统形式的教学方式，B级部采用新型的基于信息化的自主学习教学方式．期末考试后分别从两个级部中各随机抽取100名学生的数学成绩进行统计，得到如下数据 ‎ A级部教学 成绩分组 频数 ‎18‎ ‎23‎ ‎29‎ ‎23‎ ‎6‎ ‎1‎ B级部教学 成绩分组 频数 ‎8‎ ‎16‎ ‎24‎ ‎28‎ ‎21‎ ‎3‎ 若成绩不低于130分者为“优秀”．‎ 根据上表数据分别估计A，B两个级部“优秀”的概率；‎ ‎（II）填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有99 的把握认为“优秀”与教学方式有关？‎ 是否优秀 级部 优秀 不优秀 合计 A级部 B级部 合计 ‎（III）根据上表数据完成下面的频率分布直方图，并根据频率分布直方图，分别求出A，B两个级部的中位数的估计值 (精确到)；请根据以上计算结果初步分析A，B两个级部的教学成绩的优劣．‎ 附表 ‎ ‎ ‎ 附 ‎ ‎【答案】（I）；（II）见解析；（III） 见解析．‎ ‎【解析】试题分析（I）根据表格中数据，利用古典概型概率公式可估计两个级部“优秀”的概率；（II）先根据表格中数据填写列联表，利用公式，求得，从而可得结果；（III） 设级部的数学成绩的中位数为，由，解得分，同理可得级部的数学成绩的中位数为，比较中位数大小可初步分析 两个级部的教学成绩的优劣．‎ 试题解析 （I）A级部“优秀”的概率的估计值为，B级部“优秀”的概率的估计值为；‎ ‎（II）‎ 是否优秀 级部 优秀 不优秀 合计 A级部 ‎7‎ ‎93‎ ‎100‎ B级部 ‎24‎ ‎76‎ ‎100‎ 合计 ‎31‎ ‎169‎ ‎200‎ 由列联表可知，的观测值，所以有99 的把握认为“优秀”与教学方式有关；‎ ‎（III）‎ 设A级部的数学成绩的中位数为，则，解得分．‎ 设B级部的数学成绩的中位数为，则，解得分．‎ 根据以上计算结果可知，①B级部数学成绩的“优秀”率大于A级部数学成绩的“优秀”率；②根据独立性检验的结果有99 的把握认为“优秀”与教学方式有关；③从A，B两个级部的数学成绩的中位数的估计值看，B级部的数据大于A级部的数据，故初步分析B级部的数学成绩优于A级部的数学成绩．‎ 解答题（共10题）‎ ‎1．【2018湖北省武汉市高三二月调研】从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位 ）落在各个小组的频数分布如下表 ‎ 数据分组 频数 ‎3‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎（I）根据频数分布表，求该产品尺寸落在的概率；‎ ‎（II）求这50件产品尺寸的样本平均数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（III）根据产品的频数分布，求出产品尺寸中位数的估计值．‎ ‎【答案】（I）0．16；（II）22．7；（III）22．75‎ ‎【解析】试题分析 （I）根据频数分布表可知，产品尺寸落在内的个数为8，从而所求概率为．（II）根据“同一组中的数据用该组区间的中点值作代表”可以计算件产品的样本平均数为．（III）根据频数分布表可知中位数必定在区间，前3组的产品个数共个，故中位数的估计值为．‎ 解析 （I）根据频数分布表可知，产品尺寸落在内的概率．‎ ‎（II）样本平均数 ‎（III）中位数在区间上，中位数为．‎ ‎2．【2018山东济宁市高三一模】‎ 某快餐代卖店代售多种类型的快餐，深受广大消费者喜爱．其中，种类型的快餐每份进价为元，并以每份元的价格销售．如果当天20 00之前卖不完，剩余的该种快餐每份以元的价格作特价处理，且全部售完．‎ ‎（I）若该代卖店每天定制份种类型快餐，求种类型快餐当天的利润（单位 元）关于当天需求量（单位 份，）的函数解析式；‎ ‎（II）该代卖店记录了一个月天的种类型快餐日需求量（每天20 00之前销售数量）‎ 日需求量 天数 ‎（i）假设代卖店在这一个月内每天定制份种类型快餐，求这一个月种类型快餐的日利润（单位 元）的平均数（精确到）；‎ ‎（ii）若代卖店每天定制份种类型快餐，以天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率，求种类型快餐当天的利润不少于元的概率．‎ ‎【答案】（I） ；（II）(i)53．5；(ii)0．7．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）当日需求量时，利润．‎ 当日需求量时，利润 ．‎ 所以关于的函数解析式为 ．‎ ‎（II）（i）这天中有天的日利润为元，天的日利润为元，天的日利润为元，天的日利润为元，所以这天的日利润的平均数为 ．‎ ‎（ii）利润不低于元当且仅当日需求量不少于份的概率为．‎ ‎3．【2018广东华南师大附中高三综合测试（三）】‎ 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，…后，画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题 ‎ ‎（I）求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校学生的数学成绩的中位数．‎ ‎（II）从被抽取的数学成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．‎ ‎【答案】（I）分．（II）．‎ ‎【解析】试题分析 ⑴通过各组的频率和等于，求出第四组的频率，考查直方图，求出中位数即可；（II）分别求出，，的人数是，，，然后利用古典概型概率求解即可．‎ 解析 （I）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率 ‎ ‎ ．‎ 直方图如图所示．‎ 中位数是，‎ 估计这次考试的中位数是分．‎ ‎（II），，的人数是，，，所以从成绩是 分以上（包括分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率 ．‎ ‎4．【2018吉林长春高三下学期二模】为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农 院针对玉米种植情况进行调研，力争有效的改良玉米品种，为农民提供技术支．现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如下图（单位 厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．‎ ‎（I）完成列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过1 的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？‎ ‎（II）为了改良玉米品种，现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出5株，再从这5株玉米中选取2株进行杂交试验，选取的植株均为矮茎的概率是多少？‎ ‎【答案】（I） 根据统计数据做出列联表如下 ‎ 抗倒伏 易倒伏 合计 矮茎 ‎15‎ ‎4‎ ‎19‎ 高茎 ‎10‎ ‎16‎ ‎26‎ 合计 ‎25‎ ‎20‎ ‎45‎ 经计算，因此可以在犯错误概率不超过1 的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关． ‎ ‎（II） 分层抽样后，高茎玉米有2株，设为，矮茎玉米有3株，设为，从中取出2株的取法有，共10种，其中均为矮茎的选取方式有共3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是．‎ ‎【解析】试题分析 （I）根据茎叶图列出列联表，计算值，便可得出结论．‎ ‎（II） 从这5株玉米中选取2株共有方法数10种，其中均为矮茎的选取方式有3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是．‎ 试题解析 （I） 根据统计数据做出列联表如下 ‎ 抗倒伏 易倒伏 合计 矮茎 ‎15‎ ‎4‎ ‎19‎ 高茎 ‎10‎ ‎16‎ ‎26‎ 合计 ‎25‎ ‎20‎ ‎45‎ 经计算，因此可以在犯错误概率不超过1 的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关． ‎ ‎（II） 分层抽样后，高茎玉米有2株，设为，矮茎玉米有3株，设为，从中取出2株的取法有，共10种，其中均为矮茎的选取方式有共3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是．‎ ‎5．【2018广西陆川县中学高三上学期12月考】假设某商品的销售量（件）与利润（万元）有如下统计数据 ‎ 且已知．‎ ‎（I）对进行线性相关性检验；‎ ‎（II）如果与具有线性相关关系，求出回归直线方程，并估计销售量为10件时，利润约是多少？‎ 附相关公式 ，，‎ ‎【答案】（I）与之间具有很强的线性相关关系；（II）万元．‎ ‎【解析】‎ 试题分析 （I）直接套用附加相关系数的公式计算，即可得与之间的相关关系；（II）运用公式求得回归直线方程，将 代入所求回归直线方程中，即可估计利润．‎ ‎（II）因为 所以所求的回归直线方程为 当时，，即估计销售量为 件时，利润约为 万元．‎ ‎6．【2018江西南昌高三上学期摸底】某校高一年级学生身体素质体能测试的成绩（百分制）分布在内，同时为了了解学生爱好数学的情况，从中随机抽取了名学生，这 名学生体能测试成绩的频率分布直方图如图所示，各分数段的“爱好数学”的人数情况如表所示．‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）用分层抽样的方法，从体能成绩在的“爱好数学”学生中随机抽取6人参加某项活动，现从6人中随机选取2人担任领队，求两名领队中恰有1人体能成绩在的概率．‎ ‎【答案】（I）由频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率得第一组的频率为，第一组的人数为，由总数等于频数除以频率得，先求第二组的频率为，再确定第二组人数，因此（II）内人数为，，再根据分层抽样得抽出人，体能成绩在抽出人，利用枚举法可得从6人中随机选取2人担任领队，共有15种不同方法，而其中两名领队中恰有1人体能成绩在的基本事件共有8种，所以所求概率为 ‎【解析】‎ 试题分析 （1）（II）‎ ‎7．【2018四川南充高三第二次（3月）高考适应性考试】某校开展“翻转合作学习法”教学试验，经过一年的实践后，对“翻转班”和“对照班”的全部220名学生的数学学习情况进行测试，按照大于或等于120分为“成绩优秀”，120分以下为“成绩一般”统计，得到如下的列联表 ‎ 成绩优秀 成绩一般 合计 对照班 ‎20‎ ‎90‎ ‎110‎ 翻转班 ‎40‎ ‎70‎ ‎110‎ 合计 ‎60‎ ‎160‎ ‎220‎ ‎（I）根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0．001的前提下认为“成绩优秀与翻转合作学习法”有关；‎ ‎（II）为了交流学习方法，从这次测试数学成绩优秀的学生中，用分层抽样方法抽出6名学生，再从这6名学生中抽3名出 交流学习方法，求至少抽到1名“对照班”学生交流的概率．‎ 附表 ‎ ‎0．10‎ ‎0．05‎ ‎0．025‎ ‎0．010‎ ‎0．005‎ ‎0．001‎ ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎5．024‎ ‎6．635‎ ‎7．879‎ ‎10．828‎ ‎【答案】（I）不能认为“成绩优秀与翻转合作学习法”有关；（II）‎ ‎【解析】试题分析 （Ⅰ）根据公式，求得的值，再根据附表，即可作出判断，得到结论；‎ ‎（Ⅱ）由分层抽样可知 在这 6 名学生中，设“对照班”的两名学生分别为，“翻转班”的 4 名学生分别为，列出基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求得概率．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）‎ 所以，在犯错误的概率不超过 0．001 的前提下，不能认为“成绩优秀与翻转合作学习法”有关．‎ ‎（II）设从“对照班”中抽取人，从“翻转班”中抽取人，由分层抽样可知 在这 6 名学生中，设“对照班”的两名学生分别为，“翻转班”的 4 名学生分别为，则所有抽样情况如下 ‎ ‎ 共 20 种．‎ 其中至少有一名“对照班”学生的情况有 16 种，‎ 记事件为至少抽到 1 名“对照班”学生交流，则．‎ ‎8．【2018辽宁省朝阳市高三一模】为了调查学生数学学习的质量情况，某校从高二年级学生（其中男生与女生的人数之比为）中，采用分层抽样的方法抽取名学生依期中考试的数学成绩进行统计．根据数学的分数取得了这名同学的数据，按照以下区间分为八组 ‎ ‎①，②，③，④，⑤，⑥，⑦‎ ‎，⑧‎ 得到频率分布直方图如图所示．已知抽取的学生中数学成绩少于分的人数为人．‎ ‎（I）求的值及频率分布直方图中第④组矩形条的高度；‎ ‎（II）如果把“学生数学成绩不低于分”作为是否达标的标准，对抽取的名学生，完成下列列联表 ‎ 据此资料，你是否认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关？‎ 附1 “列联表”的卡方统计量公式 ‎ 附2 卡方（）统计量的概率分布表 ‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）见解析．‎ ‎【解析】试题分析 （I）根据小长方形面积等于对应区间概率以及频率等于频数除以总数列等式解得，根据高度等于频率除以组距计算．（II）根据分层抽样确定男女生人数，列列联表，根据卡方公式计算，再对照参考数据确定把握性．‎ 试题解析 （I）“成绩少于分”的频率，‎ ‎④的高度 ．‎ ‎（II）按照“男生”和“女生”分层抽样，‎ 在容量为的样本中，“男生”人数，“女生”人数，‎ ‎“达标”即“成绩不低于分”的频数，‎ 据此可填表如下 ‎ 据表可得卡方统计量 ，‎ 故有不足的把握认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关，可以认为它们之间没有关联．‎ ‎9．【2018黑龙江哈尔滨三中高三一模】某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表 （平均每天锻炼的时间单位 分钟）‎ 平均每天锻炼的时间/分钟 总人数 ‎20‎ ‎36‎ ‎44‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎10‎ 将学生日均课外体育锻炼时间在的学生评价为“课外体育达标”．‎ ‎（I）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表；‎ 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 女 ‎20‎ ‎110‎ 合计 ‎（II）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“课外体育达标”性别有关？‎ 参考公式，其中 ‎0．25‎ ‎0．15‎ ‎0．10‎ ‎0．05‎ ‎0．025‎ ‎0．010‎ ‎0．005‎ ‎0．001‎ ‎1．323‎ ‎2．072‎ ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎5．024‎ ‎6．635‎ ‎7．879‎ ‎10．828‎ ‎【答案】（I）详见解析；（II）详见解析．‎ ‎【解析】【试题分析】（I）根据题目所给数据可填写好表格．（II）通过公式计算，所以在犯错误的概率不超过的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关．‎ ‎【试题解析】（I）‎ 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 女 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ ‎（II） ，‎ 所以在犯错误的概率不超过的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关．‎ ‎10．【2018山西晋城市高三上学期一模】环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数浓度，制定了空气质量标准 ‎ 空气污染指数 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考察了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行（尾号是字母的，前13个视为单号，后13个视为双号），王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0．05．‎ ‎（I）求频率分布直方图中的值（写出推理过程，直接写出答案不得分）；‎ ‎（II）若按分层抽样的方法，从空气质量良好与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量中度污染的概率；‎ ‎（III）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年 的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如下表 ‎ 根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写以下列联表，并回答是否有的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．‎ 参考数据 ‎ 参考公式 ，其中．‎ ‎【答案】（I）0．003；（II）；（III）见解析 试题解析 （I）因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0．05，所以空气重度污染和严重污染的概率应为，‎ 由频率分布直方图可知 ，解得．‎ ‎（II）因为空气质量良好与中度污染的天气的概率之比为，‎ 按分层抽样从中抽取6天，则空气质量良好天气被抽取4天，记做，‎ 空气中度污染天气被抽取2天，记做，‎ 从这6天中随机抽取2天，所包含的基本事件有 ，共15个．‎ 记事件为“至少有一天空气质量中度污染”，则事件所包含的基本事件有 ，共9个，故．即至少有一天空气质量中度污染的概率为．‎ ‎（III）列联表如下 ‎ 由表中数据可得 ，‎ 所以至少有的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．‎