广东省珠海市2020届高三上学期期末考试 文科数学（扫描版）

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高三文科数学 第 1 页 共 12 页 珠海市 2019～2020 学年度第一学期普通高中学业质量监测 高三文科数学试题和答案 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项．） 1．已知集合 { } { }2 4 1,0,1,2,3A x x B= < = -， ，则 A B = A．{ }0,1,2 B．{ }0,1 C．{ }1,0,1- D．{ }2, 1,0,1,2- - 【答案】C. 解析： { } { }2 1,0,1,2,3A x x B= - < < = -，2 .则 A B = { }1,0,1- . 2．已知 i 是虚数单位，复数 z 满足1 2 1i iz - = + ，则 z = A． 5 2 B． 3 2 2 C． 10 2 D． 3 【答案】C. 解析： ( )( )1 2 11 2 1 3 1 2 2 i ii iz i - -- - -= = =+ ，所以 10| | 2z = . 3．已知命题 p ：任意 4x ³ ，都有 2log 2x ³ ；命题 q ： ba > ，则有 22 ba > ．则下列命 题为真命题的是 A． qpÙ B． )( qp ØÙ C． )()( qp ØÙØ D． qp ÚØ )( 【答案】B. 解析： p 为真命题；命题 q 是假命题，比如当 ba >>0 或者取 =1 2a b = -， 时，则 22 ba > 不成立. 4．某学校有 800 名新生，其中有 500 名男生，300 名女生．为了了解学生的身体素质，现 用分层抽样的方法从中抽取 16 人进行检查，则应从男生中抽取 A．10 名学生 B．11 名学生 C．12 名学生 D．无法确定 【答案】A. 解析： 500 16 800 n =男 得 10n =男 . 5．已知 ABCD 的内角 A B C， ， 的对边分别为 a b c， ， ， sin sina A b B= ，则 ABCD 一 定为 高三文科数学 第 2 页 共 12 页 A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A. 解析：由 sin sin Ba A b= 结合正弦定理得， 2 2a b= ,从而 a b= . 6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为 难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为： “有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一 半，走了 6 天后到达目的地．”问此人第 5 天和第 6 天共走了 A．24 里 B．6 里 C．18 里 D．12 里 【答案】C. 解析：设第六天走了 a 里，则第五天走了 2a 里，…，依次下去，构成一个等比数列.所有路 程之和为： 6(1 2 ) 3781 2 a - =－ ，解得 6a = ，可知 2 18a a+ = . 7．已知 ba rr， 满足 32=ar ， 3=b r ， 6a b× = - ,则 ar 在b 上的投影为 A． 2- B． 1- C． 3- D．2 【答案】A. 解析： ar 在b r 上的投影为 23 6cos -=-=×= b baa r rrr q . 8．双曲线C ： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b- = > > 的两条渐近线与圆 2 2( 2) 1x y- + = 相切，则C 的离心 率为 A． 2 3 3 B． 3 C． 2 D． 2 【答案】A. 分析：数形结合可得， 3tan30 3 b a = = ， 2 2 2 1 2 31 ( ) 1 3 3 c a b be a a a += = = + = + = ， 所以选 A. 高三文科数学 第 3 页 共 12 页 9．函数 2 2( ) 11 x f x x= -+ 在区间[ 4,4]- 附近的图象大致形状是 A B C D 【答案】B. 解析： 2 2( ) 11 x f x x= -+ 过点( )10， ，可排除选项 A，D.又 ( )2 0f < ，排除 C. 10．已知 3 0.2 0.3log 0.3, 0.3 , 0.2a b c= = = ，则 A． a b c< < B． a c b< < C．c a b< < D．b c a< < 【答案】B. 解析： 3log 0.3 0a = < ，由幂函数 0.2y x= 为( )0,+¥ 上的增函数可知 0.20.20 0.2.3 > 又由指数函数 0.2xy = 为 R 上的增函数可知 0.30.2 00 .2.2 0> > ，所以 a c b< < . 11．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格 有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加 30 升的燃油；第二种方案， 每次加 200 元的燃油，则下列说法正确的是 A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．无法确定 【答案】B. 解析：任取其中两次加油，假设第一次的油价为 m 元/升，第二次的油价为 n 元/升． 第一种方案的均价： mnnmnm ³+=+ 260 3030 ； 第二种方案的均价： mnnm mn nm £+= + 2 200200 400 . 所以无论油价如何变化，第二种都更划算． 本题可以从以下角度思考：第一种方案是无论价格多少都加固定升数；而第二种相当于 价格便宜时多加油，价格高时少加油. 12．已知函数 ln , 1 ( ) 1 1, 12 x x f x x x >ìï= í + £ïî ，若 ( ) ( )f m f n= ，则 n m- 的取值范围是 高三文科数学 第 4 页 共 12 页 A．[ ],3e B．[ ]4 2ln 2,3- C． 3 24 2ln 2, 1eé ù-ê ú ë û － D．[ ]2 2ln 2,3- 【答案】C. 解析：法一：不妨设 ( ) ( )f m f n t= = ，由题意可知，函数 ( )y f x= 的图象与直线 y t= 有两 个交点，其中 30 2t< £ ，由 ( )f m t= ，即 1 12 m t+ = ，解得 2 2m t= - ， 由 ( )f n t= ，即ln n t= ，解得 tn e= ， 记 ( ) 2 2tg t n m e t= - = - + ，其中 30 2t< £ ， ( ) 2tg t e¢ = - ， ∴当0 ln 2t< < 时， ( ) 0g t¢ < ，函数 ( )g t 单调递减； 当 3ln 2 2t< £ 时， ( ) 0g t¢ > ，函数 ( )g t 单调递增. 所以函数 ( )g t 的最小值为： ln 2(ln 2) e 2ln 2 2 4 2ln 2g = - + = - ；而 0(0) e 2 3g = + = ， 3 23( ) e 1 32g = - > ，∴ 3 24 2ln 2 ( ) e 1g t- £ £ - ，即 3 24 2ln 2 e 1n m- £ - £ - . 法二：数形结合，如图可将直线平移与曲线相切，利用导数求得切线，可得 n m- 最小值， 而 n m- 最大值为 0y = （取得到）或 3 2y = （取不到）时. 二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．函数 2ln)( xxxf += 的图象在点( )1, (1)f 处切线方程为 ． 【答案】 3 2y x= - . 解析： xxxf 21)( +=¢ ，则 3)1( =¢f ，又 1)1( =f ，则切线方程为 23 -= xy 14．若 3 2)15sin( =+ oa ，则 =+ )105cos( oa ___________． 【答案】 2 3- . 高三文科数学 第 5 页 共 12 页 解析： 3 2)15sin()9015cos()105cos( -=+-=++=+ oooo aaa . 15．函数 π( ) sin(2 )3f x x= + 在区间[0, ]4 p 的最小值为___________． 【答案】 1 2 . 解析： 0, 4x pé ùÎê úë û ，则 52 ,3 3 6x p p pé ù+ Îê úë û ， 1sin 2 ,13 2x p é ù+ Îê úë û （ ） ，可知 ( )f x 的最小值 为 5π 1( ) sin 6 2f x æ ö= =ç ÷è ø . 16．在半径为2 的球内有一个内三棱锥 P ABC- ，点 , , ,P A B C 都在球面上，且 ABCD 是边长为3 的等边三角形，那么三棱锥 P ABC- 体积的最大值为_________． 【答案】 9 3 4 . 解析：如图： 2 3 3 33 2CD = ´ ´ = . 在 OCDD 中， 2 2 1OD OC CD= - = . 三棱锥 P ABC- 体积的最大时，最长的高为 3OD OP+ = . 1 1 3 9 33 3 33 2 2 4P ABCV - = ´ ´ ´ ´ ´ = . 三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17〜21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题 17．（本小题满分 12 分） 已知正项等差数列{ }na 满足 2 5 9a a+ = ， 3 4 20a a = ，等比数列{ }nb 的前 n 项和 nS 满足 2n nS c= - ，其中 c 是常数． （1）求 c 以及数列{ }na 、{ }nb 的通项公式； 高三文科数学 第 6 页 共 12 页 （2）设 n n nc a b= ，求数列{ }nc 的前 n 项和 nT ． 解：（1） 数列{ }na 为正项等差数列，公差 0d > ， 2 5 3 4 9a a a a+ = + = ，又 3 4 20a a = ， 3 4a = ， 4 5a = ，可得 1d = ，即可得 1na n= + ； 2n nS c= - ¼① 当 1n = 时， 1 2b c= - ， 当 2n… 时， 1 1 2n nS c- - = - ¼② ① - ②即可得 12n nb -= ， 2n… ，又 { }nb 为等比数列， 0 1 2 1 2b c = = = - ，即可得 1c = ， 12n nb - = ， *n NÎ ； （2）由题意得 1( 1)2n nc n -= + ， 0 1 12 2 3 2 ( 1) 2n nT n -= + +¼+ + ，¼ ③ 1 12 2 2 2 ( 1) 2n n nT n n-= +¼+ + + ，¼ ④ ③ - ④可得： 1 1 2 1 2(1 2 )2 2 2 2 ( 1) 2 2 ( 1) 2 21 2 n n n n n nT n n n - - -- = + + +¼+ - + = + - + = -- ． 2n nT n = ． 18．（本小题满分 12 分） 为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统 计如下图所示： 高三文科数学 第 7 页 共 12 页 并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示： 愿意购买该款手机 不愿意购买该款手机 总计 40 岁以下 600 40 岁以上 800 1000 总计 1200 （1）根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间； （2）请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有 99．9％的把握认为“愿意 购买该款手机”与“市民的年龄”有关． 参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d -= + + + + ，其中 n a b c d= + + + ． 参考数据： 2 0( )P K k… 0.100 0.050 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 10.828 解：（1） 4 0.05 2 4 0.09 6 4 0.07 10 4 0.03 14 4 0.01 18 7.76´ ´ + ´ ´ + ´ ´ + ´ ´ + ´ ´ ＝ 该款手机的平均使用时间为 7.76 年. （2） 愿意购买该款手机 不愿意购买该款手机 总计 40 岁以下 400 600 1000 40 岁以上 800 200 1000 总计 1200 800 2000 ( )2 2 2000 400 200 600 800 333.3 10.8281200 800 1000 1000K ´ - ´= = >´ ´ ´ 可知有 99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关． 高三文科数学 第 8 页 共 12 页 19．（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 S ABCD- 的底面 ABCD 为直角梯形， / /AB CD ， AB BC^ ， 2 2 2AB BC CD= = = ， SADD 为正三角形，点 M 为线段 AB 的中点． （1）证明 SM AD^ ； （2）当 1SM = 时，求点 B 到平面 SAD 的距离． 解：（1）取 AD 的中点 P ，连接 SP 、 MP ， 由题意可知： 1AM DM= = MP AD^ . SADD 为正三角形 SP AD ^ . 又 SP MP P= ， SP ， MP Ì 面 SMP ， AD ^面 SMP . SM Î面 SMP ， SM AD ^ . （2）由题意可知 DM AB^ ，且 1AM DM= = ， 2AD = ，且 1AM = ， 2SA = . 又 1SM AM= = ， SM AM ^ . 由（1）知 SM AD ^ ，且 AD AM A＝ ， AD AM Î， 面 ABCD ， SM ^ 面 ABCD ， 三棱锥 S ABD－ 的体积为 1 1 3 3S ABD ABDV S SM= =－ ， 设点 B 到平面 SAD 的距离为h ， 则 1 1 3 1 3 3 2 3B SAD SADV S h h= = =－ ， 高三文科数学 第 9 页 共 12 页 得 2 3 3h = . 20．（本小题满分 12 分） 中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 过 (0, 1)A - 、 1( 3, )2B 两点， （1）求椭圆C 的方程； （2）设直线 1: ,( 0)2l y x m m= + ¹ 与椭圆C 交于 P ，Q 两点，求当 m 取何值时， OPQD 的面积最大． 解：（1）由题意可设椭圆C 的方程为 2 2 2 2 1x y m n+ = ，代入 ( )0, 1A - 、 13, 2Bæ ö ç ÷è ø 两点得 ( )22 2 2 2 2 2 2 10 1 1 3 2 1 m n m n ì -+ =ï ïïí æ öï ç ÷è øï + =ïî 解得 2 1n = ， 2 4m = 得椭圆 :C 2 2 14 x y+ = . （2）将直线 1: ,( 0)2l y x m m= + > 代入 2 2 14 x y+ = 得： 2 2 14 42x x mæ ö+ + =ç ÷è ø . 整理得： 2 22 2 2 0x mx m+ + - = . ( ) ( )2 2 22 4 2 2 8 4 0m m mD = - - = - > 得 2 2m- < < . 由韦达定理得 1 2 2x x m+ = - ， 2 1 2 2 2x x m= － . ( ) ( )2 2 2 2 1 2 1 2 1 24 4 4 2 2 8 4x x x x x x m m m- = + - = - - = - 2 4 2 1 2 1 2 22OPQS m x x m m m mD = - = - = - + . 由二次函数可知当 2 1m = 即 1m = 时， OPQD 的面积的最大． 21．（本小题满分 12 分） 高三文科数学 第 10 页 共 12 页 已知函数 ( ) sinf x ax x= - ， [0, ]2x pÎ ，其中 a 为常数． （1）若函数 ( )f x 在[0, ]2 p 上是单调函数，求 a 的取值范围； （2）当 1a £ 时，证明： 31( ) 6f x x£ ． 解：（1）求导得 ( ) cosf x a x¢ = - ， [0, ]2x pÎ ， ①当 ( )f x 在[0, ]2 p 上为单调递减函数时，即 ( ) cos 0f x a x¢ = - „ 恒成立， 又 cos [0xÎ ，1]， (cos ) 0mina x =„ ． ②当 ( )f x 在[0, ]2 p 上为单调递增函数时，即 ( ) cos 0f x a x¢ = - … 恒成立， 又 cos [0xÎ ，1]， (cos ) 1maxa x =… ； 综上所述： ( )f x 在[0, ]2 p 上为单调递减函数时， 0a„ ； ( )f x 在[0, ]2 p 上为单调递增函数时， 1a… ． （2）证明：要证 31( ) 6f x x„ ，只需证 31sin 06ax x x- - „ 恒成立， 令 31( ) sin 6g x ax x x= - - ， [0, ]2x pÎ ，则 21( ) cos 2g x a x x¢ = - - ， 令 21( ) cos 2h x a x x= - - ， [0, ]2x pÎ ，则 ( ) sinh x x x¢ = - . 易证当 [0, ]2x pÎ 时，sin x x„ . ( ) 0h x¢ < ，即 ( )h x 在[0, ]2 p 上递减， ( ) (0) 1 0h x h a = -剟 ，即 ( ) 0g x¢ „ ， ( )g x 在[0, ]2 p 上递减， ( ) (0) 0g x g =„ 即 31sin 06ax x x- - „ ，命题得证． （二）选考题 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分 10 分） 高三文科数学 第 11 页 共 12 页 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴的非负半轴重合，直线l 的极坐标 方程为： 1sin( )6 2 pr q - = ，曲线C 的参数方程为： 2 2cos (2sin x y a aa = +ì í =î 为参数）． （1）写出直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值． 解：（1） 直线l 的极坐标方程为： 1sin( )6 2 pr q - = ， 3 1 1( sin cos )2 2 2r q q - = ， 3 1 1 2 2 2y x- = ， 3 1 0x y - + = ． （2）根据曲线C 的参数方程为： 2 2cos (2sin x y a aa = +ì í =î 为参数）． 得： 2 2( 2) 4x y- + = . 它表示一个以(2,0) 为圆心，以 2 为半径的圆， 圆心到直线的距离为： 3 2d = ， 曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值 3 722 2+ = ． 23．（本小题满分 10 分） 已知 ( ) 1 3f x x x= - + - ． （1）解关于 x 的不等式 ( ) 4f x £ ； （2）若 2( )f x m m> + 恒成立，求实数 m 的取值范围． 解：（1）当 3x ³ 时，不等式 ( ) 4f x £ 化为 2 4 4x - £ ，得 4x £ 即3 4x£ £ 当1 3x< < 时，不等式 ( ) 4f x £ 化为 2 4£ ，成立，即1 3x< < 当 1x £ 时，不等式 ( ) 4f x £ 化为 4 2 4x- £ ，得 0x ³ 即0 1x£ £ 综上所述：所求不等式的解集为{ }| 0 4x x£ £ . 高三文科数学 第 12 页 共 12 页 （2） ( ) 1 3 1 3 2f x x x x x= - + - ³ - - + = 若 ( ) 2f x m m> + 恒成立，则 22 m m> + . 解得 2 1m- £ £ .{ }| 2 1m m- £ £