2019-2020学年重庆市南岸区高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年重庆市南岸区高二上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年重庆市南岸区高二上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出函数在切点处的导数值，即为切线在此处的斜率，从而求得切线在此处的倾斜角.‎ ‎【详解】‎ 由得：‎ 则函数图象在点处的切线的斜率为 设函数的图象在点处的切线的倾斜角为，则 ‎ ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义，对数函数的导数，直线的倾斜角与斜率，属于基础题.‎ ‎2．下列各组中的函数与相等的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．‎ ‎【详解】‎ 对于A，f（x）|x|，x∈R；g（x）x，x∈[0，+∞）；它们的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；‎ 对于B，f（x）|x|，x∈R；g（x）x，x∈R；它们的对应关系不相同，不是同一函数；‎ 对于C，f（x）＝x0＝1（x≠0），g（x）1（x≠0），∴函数f（x）与g（x ‎）的定义域和对应法则及值域完全相同，故是同一函数；‎ 对于D，f（x）＝x﹣1，x∈（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）；‎ g（x）x﹣1，x∈R；它们的定义域不同，不是同一函数；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的定义，利用函数的三要素即可判断出．‎ ‎3．的展开式中的系数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】的系数为，故选D．‎ ‎4．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为 A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，‎ 则＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝＋x0＋‎ ‎∵P为椭圆上一点，∴＋＝1.‎ ‎∴＝＋x0＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.‎ ‎∵－2≤x0≤2.‎ ‎∴的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.‎ ‎5．函数的图像大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意， ，函数为减函数，且由向右平移了一个单位，故选.‎ 点睛：本题主要考查对数函数的图像与性质，考查图像的平移变换.对于对数函数，当时，函数为减函数，图像过，当时，函数为增函数，图像过.函数与函数的图像可以通过平移得到，口诀是“左加右减”.在平移过程中要注意原来图像的边界.‎ ‎6．双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，，，，‎ ‎，，‎ 且，菱形的边长为，‎ 由以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D．‎ 由面积相等，可得，‎ 即为，‎ 即有，‎ 由，可得，‎ 解得，‎ 可得，或(舍去)‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎7．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为( )‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：设，由题意，显然时不符合题意，故，则 ‎，可得：‎ ‎，当且仅当时取等号，故选C．‎ ‎【考点】1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件，利用向量的运算可知，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．‎ ‎8．已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：根据对称性，不妨设在第一象限，则，‎ ‎∴，故双曲线的方程为，故选D.‎ ‎【考点】双曲线的渐近线 ‎【名师点睛】求双曲线的标准方程时注意：‎ ‎（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．‎ ‎（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．‎ ‎①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0）．‎ ‎②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．‎ ‎9．已知数列{an}是等差数列，若，且它的前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的n的最大值为（ ）‎ A．11 B．12 C．21 D．22‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，由前n项和Sn有最大值可知等差数列{an}为递减，d<0.所以 ‎，所以，所以n=21,选C.‎ ‎10．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为 A． B．‎ C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的高为2，棱锥底面正方形的对角线为2，所以棱锥底面正方形的边长为,设四棱锥为P-ABCD,则,,又,‎ ‎,即最大的侧面的面积为,故选C.‎ 点睛: 本题考查立体几何三视图的直观图,三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．‎ ‎11．下列命题中，假命题的个数是（ ）‎ ‎（1）若直线a在平面上，直线b不在平面上，则a，b是异面直线；‎ ‎（2）若a，b是异面直线、则与a，b都垂直的直线有且只有一条 ‎（3）若a，b是异面直线、若c，d与直线a，b都相交，则c，d也是异面直线 ‎（4）设a，b是两条直线，若平面，，则平面.‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】D ‎【解析】（1）中可能平行或异面；（2）中与都垂直的直线有无数条；（3）中可能相交；（4）中可能，由此可知个命题均为假命题，由此得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若，，则可能平行或异面，（1）为假命题；‎ ‎（2）若为异面直线，作且，则确定平面，作，则与都垂直；由于面的垂线有无数条，则与都垂直的直线不止一条，（2）为假命题；‎ ‎（3）如下图所示，，，‎ 则与异面直线都相交，此时为相交直线，则（3）为假命题；‎ ‎（4）若，，此时或，（4）为假命题.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系相关命题的判定，解决此类问题通常采用排除法，通过反例来进行排除.‎ ‎12．若直线与曲线有公共点，则k的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】曲线C表示线段，求得直线恒过定点，由直线的斜率公式计算即可得到所求范围.‎ ‎【详解】‎ 方程表示的是动点到点，的距离之和为，即的轨迹为线段 可整理为 为恒过定点的直线 ‎，‎ 直线与曲线有公共点等价为，即 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查动点的轨迹方程，同时考查恒过定点的直线与线段相交问题，考查运算能力，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知一个样本x，1，y，5的平均数为2，方差为5，则xy= ．‎ ‎【答案】﹣3‎ ‎【解析】【详解】试题分析：利用平均数和方差公式列出方程组，由此能求出xy的值．‎ 解：∵一个样本x，1，y，5的平均数为2，方差为5，‎ ‎∴，‎ 解得xy=﹣3．‎ 故答案为﹣3．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．‎ ‎14．设点A(－3,5)和B(2,15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点P，使|PA|＋|PB|为最小，则这个最小值为________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：由题意知，点A,B在直线的同一侧；由平面几何性质可知，先作出点A关于直线的对称点，然后连接，则直线与的交点即为所求的点，线段的长即为的最小值.‎ 设点，则，解得，则，,即的最小值为.‎ ‎【考点】线段的垂直平分线的性质；求两直线的交点坐标.‎ ‎15．能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.‎ ‎【答案】（答案不唯一）‎ ‎【解析】【详解】‎ 分析：举出一个反例即可．‎ 详解：当时，‎ 不成立，‎ 即可填．‎ 点睛：本题考查不等式的性质等知识，意在考查学生的数学思维能力．‎ ‎16．已知双曲线的右焦点为，抛物线的焦点是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段与双曲线的右支交于点，且，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】B(0,1),b=1;得 ‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 三、解答题 ‎17． 已知数列的前项和为，，. ‎ ‎（Ⅰ）求，的值； ‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）因为，，分别令 可求出，的值；‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，‎ 所以 ，由此可得数列是首项，公比是的等比数列. ‎ 所以 因为，所以 最后由分组求和法 可求数列的前项和.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，，所以 所以 ‎ 所以 所以 ‎（Ⅱ）因为，所以，‎ 所以所以 ‎ 因为 ‎ 所以数列是首项，公比是的等比数列. ‎ 所以 因为，所以 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以数列的前项和 ‎18．已知函数．‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）时，不等式的解集为：时，不等式的解集为：‎ 时，不等式的解集为：时，不等式的解集为：时，不等式的解集为（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）对，变形为，对讨论，分，化简不等式，即可得到所求解集；‎ ‎（2）由题意可得，，对任意的恒成立.设.可得由二次不等式的解法，即可得到所求的范围.‎ 试题解析：（1）时，不等式的解集为 时，不等式的解集为 时，不等式的解集为 时，不等式的解集为 时，不等式的解集为 ‎(2)令，‎ 因为对任意的，不等式恒成立,也即恒成立.‎ 所以只需，即，解得，‎ 所以，的取值范围是.‎ ‎【考点】分类讨论思想，不等式的解法，恒成立问题 ‎19．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝，AD＝2，PA＝PD＝，E，F分别是棱AD，PC的中点．‎ ‎（1）证明：EF∥平面PAB；‎ ‎（2）若二面角P－AD－B为60°．‎ ‎①证明：平面PBC⊥平面ABCD；‎ ‎②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②．‎ ‎【解析】试题分析：（1）要证明平面，可以先证明平面，利用线面平行的判定定理，即可证明平面；（2）①要证明平面平面，可用面面垂直的判定定理，即只需证明平面即可；②由①平面，所以为直线与平面所成的角，由及已知，得为直角，即可计算的长度，在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值．‎ 试题解析：（1）证明：如图，取PB中点M，连接MF，AM．‎ 因为F为PC中点，故MF∥BC且MF＝BC．由已知有BC∥AD，BC＝AD．‎ 又由于E为AD中点，因而MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，‎ 所以EF∥AM．又AM⊂平面PAB，而EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB．‎ ‎（2）①证明：如图，连接PE，BE．‎ 因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD中点，故PE⊥AD，BE⊥AD，‎ 所以∠PEB为二面角P－AD－B的平面角．‎ 在△PAD中，由PA＝PD＝，AD＝2，可解得PE＝2．‎ 在△ABD中，由BA＝BD＝，AD＝2，可解得BE＝1．‎ 在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，由余弦定理，可解得PB＝，‎ 从而∠PBE＝90°，即BE⊥PB．‎ 又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC．‎ 又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD．‎ ‎②连接BF．由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．‎ 由PB＝及已知，得∠ABP为直角．‎ 而MB＝PB＝，可得AM＝，故EF＝．‎ 又BE＝1，故在Rt△EBF中，sin∠EFB＝＝．‎ 所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质；直线与平面所成角的求解．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成角的求解，熟练掌握线面位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平面所成的角是解答的关键，本题的第二问的解答中，根据平面，可以确定为直线与平面所成的角，可放置在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值．‎ ‎20．已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为.设过点的直线与椭圆相交于不同两点，周长为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，证明：当直线变化时，总有TA与的斜率之和为定值．‎ ‎【答案】（1） （2）见解析 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ， ，求出 、 、，即可得结果；(II) 当直线垂直于轴时，显然直线与的斜率之和为0； 当直线不垂直于轴时，设的方程为 与椭圆方程联立，根据两点间的斜率公式及韦达定理将 用参数 表示，化简消去 即可得结论.‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知条件得，所以 ‎ ‎ ‎ 椭圆C的标准方程为 ‎ ‎（Ⅱ）当直线垂直于轴时，显然直线与的斜率之和为0； ‎ 当直线不垂直于轴时，设的方程为，‎ 与椭圆方程联立得 ‎ 则， ，其中恒成立。‎ ‎=‎ ‎= ‎ 因为= ‎ 所以 综上：直线与的斜率之和为定值.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题以及韦达定理的应用，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎ ‎21．已知椭圆：的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为、，当动点在定直线上运动时，直线分别交椭圆于两点、，求四边形面积的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）离心率为 ‎，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为，结合,列方程组求得 的值，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）点，直线的方程代入椭圆方程，得，利用韦达定理解出点坐标，同理可求得 点的坐标，利用三角形面积公式将四边形面积表示为 的函数，利用换元法结合函数单调性求解即可.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题设知，，‎ 又，解得，‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由于对称性，可令点，其中.‎ 将直线的方程代入椭圆方程，得，‎ 由，得，则.‎ 再将直线的方程代入椭圆方程，得，‎ 由，得，则.‎ 故四边形的面积为 .‎ 由于，且在上单调递增，故，‎ 从而，有.‎ 当且仅当，即，也就是点的坐标为时，四边形的面积取最大值6.‎ 注:本题也可先证明”动直线恒过椭圆的右焦点”,再将直线的方程 (这里)代入椭圆方程,整理得,然后给出面积表达式 ,令,‎ 则,当且仅当即时, .‎ ‎22．如图，在四棱锥中，底面四边形是矩形，平面，分别是的中点，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的大小；‎ ‎（3）若，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)45°；(3).‎ ‎【解析】试题分析：（1）取的中点，要证平面，即证，构造平行四边形即可；（2）根据题意易知为二面角的平面角，求出即可；（3）易证平面，为直线与平面所成的角，即可求出直线与平面所成角的正弦值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：取的中点，连接，‎ ‎∵是的中点，‎ ‎∴，且，‎ ‎∵四边形是矩形，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴，且，‎ 又∵是的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，平面 ‎∴平面.‎ ‎（2）∵平面，平面 ‎∴ ，‎ ‎∵四边形是矩形，‎ ‎∴ ，‎ ‎∵ ，、平面，‎ ‎∴平面，‎ 又∵平面， ‎ ‎∴为二面角的平面角，‎ ‎∵，‎ ‎∴为等腰直角三角形 ‎∴，即二面角的大小为.‎ ‎（3）由（2）知，为等腰直角三角形 ‎∵是斜边的中点，‎ ‎∴，‎ 由（1）知，，‎ ‎∴，‎ 又由（2）知，平面，平面，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ，‎ 又∵平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴是直线在平面上的射影，‎ ‎∴为直线与平面所成的角，‎ 在中，，，‎ ‎∴，‎ 在等腰直角中，‎ ‎∵是的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ 即直线与平面所成角的正弦值为.‎ 点睛:求直线与平面所成角问题主要有两个方法:‎ ‎①定义法,在斜线上取一点,过此点引平面的垂线,连接垂足与斜足得到射影,斜线与射影所夹较小角即线面角;‎ ‎②等积法:直接求得斜线上一点到平面的距离，其与斜线段长的比值即线面角的正弦值，关键求点到平面距离，往往利用等积法来求.‎