高考卷 全国统一高考数学卷（理科）（新课标ⅱ）

高考卷 全国统一高考数学卷（理科）（新课标ⅱ）

2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5 分） =（ ） A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i 2．（5 分）设集合 A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若 A∩B={1}，则 B=（ ） A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5} 3．（5 分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共 挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共 有灯（ ） A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏 4．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三 视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 （ ） A．90π B．63π C．42π D．36π 5．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值是（ ） A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 6．（5 分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人 完成，则不同的安排方式共有（ ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种 7．（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说： 你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成 绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息， 则（ ） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 8．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a=﹣1，则输出的 S=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（5 分）若双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 10．（5 分）已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异 面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 11．（5 分）若 x=﹣2 是函数 f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1 的极值点，则 f（x）的极 小值为（ ） A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1 12．（5 分）已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 • （ + ）的最小值是（ ） A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．（5 分）一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放 回地抽取 100 次．X 表示抽到的二等品件数，则 DX= ． 14．（5 分）函数 f（x）=sin2x+ cosx﹣ （x ∈ [0， ]）的最大值是 ． 15．（5 分）等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，则 = ． 16．（5 分）已知 F 是抛物线 C：y2=8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N．若 M 为 FN 的中点，则|FN|= ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必做题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求 作答．（一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin（A+C）=8sin2 ． （1）求 cosB； （2）若 a+c=6，△ABC 的面积为 2，求 b． 18．（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获 时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布 直方图如图： （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥ 50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精 确到 0.01）． 附： P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2= ． 19．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E 是 PD 的中点． （1）证明：直线 CE∥平面 PAB； （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45°，求二面角 M﹣ AB﹣D 的余弦值． 20．（12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： +y2=1 上，过 M 作 x 轴的 垂线，垂足为 N，点 P 满足 = ． （1）求点 P 的轨迹方程； （2）设点 Q 在直线 x=﹣3 上，且 • =1．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F． 21．（12 分）已知函数 f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且 f（x）≥0． （1）求 a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做， 则按所做的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为ρcosθ=4． （1）M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|•|OP|=16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为（2， ），点 B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知 a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明： （1）（a+b）（a5+b5）≥4； （2）a+b≤2． 2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）（2017•新课标Ⅱ） =（ ） A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题． 【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位 i 的幂运算性质， 求出结果． 【解答】解： = = =2﹣i， 故选 D． 【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，两个 复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数． 2．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）设集合 A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若 A∩ B={1}，则 B=（ ） A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；4O：定义法；5J ：集合． 【分析】由交集的定义可得 1 ∈ A 且 1 ∈ B，代入二次方程，求得 m，再解二次方 程可得集合 B． 【解答】解：集合 A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}． 若 A∩B={1}，则 1 ∈ A 且 1 ∈ B， 可得 1﹣4+m=0，解得 m=3， 即有 B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}． 故选：C． 【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法， 运用定义法是解题的关键，属于基础题． 3．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远 望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是： 一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍， 则塔的顶层共有灯（ ） A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏 【考点】89：等比数列的前 n 项和；88：等比数列的通项公式．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；54 ：等差数列与等比数列． 【分析】设这个塔顶层有 a 盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次 向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前 n 项公式列出方程，求出 a 的值． 【解答】解：设这个塔顶层有 a 盏灯， ∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍， ∴从塔顶层依次向下每层灯数是以 2 为公比、a 为首项的等比数列， 又总共有灯 381 盏， ∴381= =127a，解得 a=3， 则这个塔顶层有 3 盏灯， 故选 B． 【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前 n 项和公式的实际应用， 属于基础题． 4．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出 的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几 何体的体积为（ ） A．90π B．63π C．42π D．36π 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5Q ：立体几何． 【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半， 即可求出几何体的体积． 【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的 一半， V=π•32×10﹣ •π•32×6=63π， 故选：B． 【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的 最小值是（ ） A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5T ：不等式． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值 即可． 【解答】解：x、y 满足约束条件 的可行域如图： z=2x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值， 由 解得 A（﹣6，﹣3）， 则 z=2x+y 的最小值是：﹣15． 故选：A． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力． 6．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项， 每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5O ：排列组合． 【分析】把工作分成 3 组，然后安排工作方式即可． 【解答】解：4 项工作分成 3 组，可得： =6， 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成， 可得：6× =36 种． 故选：D． 【点评】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考 查计算能力． 7．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞 赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的 成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的 成绩．根据以上信息，则（ ） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版 权所有 【专题】2A ：探究型；35 ：转化思想；48 ：分析法；5M ：推理和证明． 【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正 确答案 【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩 →乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知 道自己的成绩） →乙看到了丙的成绩，知自己的成绩 →丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩， 故选：D． 【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所 说及最后甲说话，属于中档题． 8．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的 a=﹣1，则输出 的 S=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】EF：程序框图．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；5K ：算法和程序框图． 【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，K 值，当 k=7 时，程序终 止即可得到结论． 【解答】解：执行程序框图，有 S=0，K=1，a=﹣1，代入循环， 第一次满足循环，S=﹣1，a=1，K=2； 满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，K=3； 满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，K=4； 满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，K=5； 满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，K=6； 满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，K=7； 7≤6 不成立，退出循环输出，S=3； 故选：B． 【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础． 9．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）若双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐 近线被圆（x﹣2）2+y2=4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合；KC：双曲线的简单性质．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、 性质与方程． 【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线 的离心率即可． 【解答】解：双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0， 圆（x﹣2）2+y2=4 的圆心（2，0），半径为：2， 双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4 所截得 的弦长为 2， 可得圆心到直线的距离为： = ， 解得： ，可得 e2=4，即 e=2． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力． 10．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠ABC=120°，AB=2， BC=CC1=1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版 权所有 【专题】31 ：数形结合；4O：定义法；5G ：空间角． 【分析】【解法一】设 M、N、P 分别为 AB，BB1 和 B1C1 的中点，得出 AB1、BC1 夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出 AC、MQ， MP 和∠MNP 的余弦值即可． 【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁． 【解答】解：【解法一】如图所示，设 M、N、P 分别为 AB，BB1 和 B1C1 的中点， 则 AB1、BC1 夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角 （因异面直线所成角为（0， ]）， 可知 MN= AB1= ， NP= BC1= ； 作 BC 中点 Q，则△PQM 为直角三角形； ∵PQ=1，MQ= AC， △ABC 中，由余弦定理得 AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC =4+1﹣2×2×1×（﹣ ） =7， ∴AC= ， ∴MQ= ； 在△MQP 中，MP= = ； 在△PMN 中，由余弦定理得 cos∠MNP= = =﹣ ； 又异面直线所成角的范围是（0， ]， ∴AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 ． 【解法二】如图所示， 补成四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D 即可； BC1= ，BD= = ， C1D= ， ∴ +BD2= ， ∴∠DBC1=90°， ∴cos∠BC1D= = ． 【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中 的平行关系应用问题，是中档题． 11．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）若 x=﹣2 是函数 f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1 的极值 点，则 f（x）的极小值为（ ） A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1 【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；53 ：导数的综合应用． 【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出 a，然后判断函数的单调性，求解 函数的极小值即可． 【解答】解：函数 f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1， 可得 f′（x）=（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1， x=﹣2 是函数 f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1 的极值点， 可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0． 解得 a=﹣1． 可得 f′（x）=（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1， =（x2+x﹣2）ex﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1， 当 x＜﹣2 或 x＞1 时，f′（x）＞0 函数是增函数，x ∈ （﹣2，1）时，函数是减函 数， x=1 时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考 查计算能力． 12．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 •（ + ）的最小值是（ ） A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1 【考点】9R：平面向量数量积的运算．菁优网版 权所有 【专题】31 ：数形结合；4R：转化法；5A ：平面向量及应用． 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公 式进行计算即可． 【解答】解：建立如图所示的坐标系，以 BC 中点为坐标原点， 则 A（0， ），B（﹣1，0），C（1，0）， 设 P（x，y），则 =（﹣x， ﹣y）， =（﹣1﹣x，﹣y）， =（1﹣x，﹣y）， 则 •（ + ）=2x2﹣2 y+2y2=2[x2+（y﹣ ）2﹣ ] ∴当 x=0，y= 时，取得最小值 2×（﹣ ）=﹣ ， 故选：B 【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标 法是解决本题的关键． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次 随机取一件，有放回地抽取 100 次．X 表示抽到的二等品件数，则 DX= 1.96 ． 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；5I ：概率与统计． 【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可． 【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其 中，p=0.02，n=100， 则 DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96． 故答案为：1.96． 【点评】本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项 分布是解题的关键． 14．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）函数 f（x）=sin2x+ cosx﹣ （x ∈ [0， ]）的最 大值是 1 ． 【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4J ：换元法；51 ：函数的性质及应用； 57 ：三角函数的图像与性质． 【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出． 【解答】解：f（x）=sin2x+ cosx﹣ =1﹣cos2x+ cosx﹣ ， 令 cosx=t 且 t ∈ [0，1]， 则 y=﹣t2+ t+ =﹣（t﹣ ）2+1， 当 t= 时，f（t）max=1， 即 f（x）的最大值为 1， 故答案为：1 【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题 15．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，则 = ． 【考点】8E：数列的求和；85：等差数列的前 n 项和．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数 列． 【分析】利用已知条件求出等差数列的前 n 项和，然后化简所求的表达式，求解 即可． 【解答】解：等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10， 可得 a2=2，数列的首项为 1，公差为 1， Sn= ， = ， 则 =2[1﹣ + +…+ ]=2（1﹣ ）= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力． 16．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）已知 F 是抛物线 C：y2=8x 的焦点，M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N．若 M 为 FN 的中点，则|FN|= 6 ． 【考点】K8：抛物线的简单性质．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出 M 坐标，然后求解即可． 【解答】解：抛物线 C：y2=8x 的焦点 F（2，0），M 是 C 上一点，FM 的延长线 交 y 轴于点 N．若 M 为 FN 的中点， 可知 M 的横坐标为：1，则 M 的纵坐标为： ， |FN|=2|FM|=2 =6． 故答案为：6． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必做题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求 作答．（一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）（2017•新课标Ⅱ）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 sin（A+C）=8sin2 ． （1）求 cosB； （2）若 a+c=6，△ABC 的面积为 2，求 b． 【考点】HP：正弦定理；GS：二倍角的正弦．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；58 ：解三角形． 【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知 A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简 sin （A+C），利用降幂公式化简 8sin2 ，结合 sin2B+cos2B=1，求出 cosB， （2）由（1）可知 sinB= ，利用勾面积公式求出 ac，再利用余弦定理即可求出 b． 【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2 ， ∴sinB=4（1﹣cosB）， ∵sin2B+cos2B=1， ∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1， ∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0， ∴cosB= ； （2）由（1）可知 sinB= ， ∵S△ABC= ac•sinB=2， ∴ac= ， ∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2× × =a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4， ∴b=2． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同 角的三角函数的关系，属于中档题 18．（12 分）（2017•新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法 的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位： kg），其频率分布直方图如图： （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥ 50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精 确到 0.01）． 附： P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2= ． 【考点】BL：独立性检验；B8：频率分布直方图；BE：用样本的数字特征估计总 体的数字特征．菁优网版 权所有 【专题】31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5I ：概率与统计． 【分析】（1）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频 率，即可求得其概率； （2）完成 2×2 列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有 99%的把握认 为箱产量与养殖方法有关： （3）根据频率分布直方图即可求得其中位数． 【解答】解：（1）记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg”，C 表示事件“新 养殖法的箱产量不低于 50kg”， 由 P（A）=P（BC）=P（B）P（C）， 则旧养殖法的箱产量低于 50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62， 故 P（B）的估计值 0.62， 新养殖法的箱产量不低于 50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66， 故 P（C）的估计值为， 则事件 A 的概率估计值为 P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092； ∴A 发生的概率为 0.4092； （2）2×2 列联表： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 总计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 总计 96 104 200 则 K2= ≈15.705， 由 15.705＞6.635， ∴有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； （3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50kg 的直方图的面积： （0.004+0.020+0.044）×5=0.34， 箱产量低于 55kg 的直方图面积为： （0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5， 故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+ ≈52.35（kg）， 新养殖法箱产量的中位数的估计值 52.35（kg）． 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力，属 于中档题． 19．（12 分）（2017•新课标Ⅱ）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，侧面 PAD 为等边三 角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E 是 PD 的中点． （1）证明：直线 CE∥平面 PAB； （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45°，求二面角 M﹣ AB﹣D 的余弦值． 【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．菁优网版 权所有 【专题】31 ：数形结合；35 ：转化思想；49 ：综合法；5F ：空间位置关系与 距离；5G ：空间角． 【分析】（1）取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，通过证明 CE∥BF，利用直线与平面 平行的判定定理证明即可． （2）利用已知条件转化求解 M 到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解 二面角 M﹣AB﹣D 的余弦值即可． 【解答】（1）证明：取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，因为 E 是 PD 的中点， 所以 EF AD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥ AD， ∴BCEF 是平行四边形，可得 CE∥BF，BF ⊂ 平面 PAB，CE ⊄ 平面 PAB， ∴直线 CE∥平面 PAB； （2）解：四棱锥 P﹣ABCD 中， 侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC= AD， ∠BAD=∠ABC=90°，E 是 PD 的中点． 取 AD 的中点 O，M 在底面 ABCD 上的射影 N 在 OC 上，设 AD=2，则 AB=BC=1， OP= ， ∴∠PCO=60°，直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45°， 可得：BN=MN，CN= MN，BC=1， 可得：1+ BN2=BN2，BN= ，MN= ， 作 NQ⊥AB 于 Q，连接 MQ， 所以∠MQN 就是二面角 M﹣AB﹣D 的平面角，MQ= = ， 二面角 M﹣AB﹣D 的余弦值为： = ． 【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法， 考查空间想象能力以及计算能力． 20．（12 分）（2017•新课标Ⅱ）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： +y2=1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 = ． （1）求点 P 的轨迹方程； （2）设点 Q 在直线 x=﹣3 上，且 • =1．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F． 【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；J3：轨迹方程．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；5A ：平面向量及应用；5B ：直线与 圆． 【分析】（1）设 M（x0，y0），由题意可得 N（x0，0），设 P（x，y），运用向量的 坐标运算，结合 M 满足椭圆方程，化简整理可得 P 的轨迹方程； （2）设 Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积 的坐标表示，可得 m，即有 Q 的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得 OQ，PF 的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证． 【解答】解：（1）设 M（x0，y0），由题意可得 N（x0，0）， 设 P（x，y），由点 P 满足 = ． 可得（x﹣x0，y）= （0，y0）， 可得 x﹣x0=0，y= y0， 即有 x0=x，y0= ， 代入椭圆方程 +y2=1，可得 + =1， 即有点 P 的轨迹方程为圆 x2+y2=2； （2）证明：设 Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π）， • =1，可得（ cosα， sinα）•（﹣3﹣ cosα，m﹣ sinα）=1， 即为﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1， 解得 m= ， 即有 Q（﹣3， ）， 椭圆 +y2=1 的左焦点 F（﹣1，0）， 由 kOQ=﹣ ， kPF= ， 由 kOQ•kPF=﹣1， 可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F． 【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考 查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直 线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 21．（12 分）（2017•新课标Ⅱ）已知函数 f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且 f（x）≥0． （1）求 a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；53 ：导数的综合应用． 【分析】（1）通过分析可知 f（x）≥0 等价于 h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用 h′（x）=a﹣ 可得 h（x）min=h（ ），从而可得结论； （2）通过（1）可知 f（x）=x2﹣x﹣xlnx，记 t（x）=f′（x）=2x﹣2﹣lnx，解不等 式可知 t（x）min=t（ ）=ln2﹣1＜0，从而可知 f′（x）=0 存在两根 x0，x2，利用 f（x）必存在唯一极大值点 x0 及 x0＜ 可知 f（x0）＜ ，另一方面可知 f（x0） ＞f（ ）= ． 【解答】（1）解：因为 f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0）， 则 f（x）≥0 等价于 h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知 h′（x）=a﹣ ． 则当 a≤0 时 h′（x）＜0，即 y=h（x）在（0，+∞）上单调递减， 所以当 x0＞1 时，h（x0）＜h（1）=0，矛盾，故 a＞0． 因为当 0＜x＜ 时 h′（x）＜0、当 x＞ 时 h′（x）＞0， 所以 h（x）min=h（ ）， 又因为 h（1）=a﹣a﹣ln1=0， 所以 =1，解得 a=1； （2）证明：由（1）可知 f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx， 令 f′（x）=0，可得 2x﹣2﹣lnx=0，记 t（x）=2x﹣2﹣lnx，则 t′（x）=2﹣ ， 令 t′（x）=0，解得：x= ， 所以 t（x）在区间（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增， 所以 t（x）min=t（ ）=ln2﹣1＜0，从而 t（x）=0 有解，即 f′（x）=0 存在两根 x0，x2， 且不妨设 f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为 正， 所以 f（x）必存在唯一极大值点 x0，且 2x0﹣2﹣lnx0=0， 所以 f（x0）= ﹣x0﹣x0lnx0= ﹣x0+2x0﹣2 =x0﹣ ， 由 x0＜ 可知 f（x0）＜（x0﹣ ）max=﹣ + = ； 由 f′（ ）＜0 可知 x0＜ ＜ ， 所以 f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0， ）上单调递减， 所以 f（x0）＞f（ ）= ； 综上所述，f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想， 注意解题方法的积累，属于难题． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做， 则按所做的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为ρcosθ=4． （1）M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|•|OP|=16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为（2， ），点 B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版 权所有 【专题】38 ：对应思想；49 ：综合法；5S ：坐标系和参数方程． 【分析】（1）设 P（x，y），利用相似得出 M 点坐标，根据|OM|•|OP|=16 列方 程化简即可； （2）求出曲线 C2 的圆心和半径，得出 B 到 OA 的最大距离，即可得出最大面积． 【解答】解：（1）曲线 C1 的直角坐标方程为：x=4， 设 P（x，y），M（4，y0），则 ，∴y0= ， ∵|OM||OP|=16， ∴ =16， 即（x2+y2）（1+ ）=16， ∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2， 两边开方得：x2+y2=4x， 整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）， ∴点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）． （2）点 A 的直角坐标为 A（1， ），显然点 A 在曲线 C2 上，|OA|=2， ∴曲线 C2 的圆心（2，0）到弦 OA 的距离 d= = ， ∴△AOB 的最大面积 S= |OA|•（2+ ）=2+ ． 【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线 与圆的位置关系，属于中档题． [选修 4-5：不等式选讲] 23．（2017•新课标Ⅱ）已知 a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明： （1）（a+b）（a5+b5）≥4； （2）a+b≤2． 【考点】R6：不等式的证明．菁优网版 权所有 【专题】14 ：证明题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5T ：不等式． 【分析】（1）由柯西不等式即可证明， （2）由 a3+b3=2 转化为 =ab，再由均值不等式可得： =ab≤ （ ）2，即可得到 （a+b）3≤2，问题得以证明． 【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（ + ）2= （a3+b3）2≥4， 当且仅当 = ，即 a=b=1 时取等号， （2）∵a3+b3=2， ∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2， ∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2， ∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2， ∴ =ab， 由均值不等式可得： =ab≤（ ）2， ∴（a+b）3﹣2≤ ， ∴ （a+b）3≤2， ∴a+b≤2，当且仅当 a=b=1 时等号成立． 【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于 中档题 参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；双曲线；海燕；whgcn；qiss；742048； maths；sxs123；cst；zhczcb（排名不分先后） 菁优网 2017 年 8 月 1 日 考点卡片 1．交集及其运算 【知识点的认识】 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集，记作 A ∩B． 符号语言：A∩B={x|x ∈ A，且 x ∈ B}． A∩B 实际理解为：x 是 A 且是 B 中的相同的所有元素． 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交 集． 运算形状： ①A∩B=B∩A．②A∩ ∅ = ∅ ．③A∩A=A．④A∩B ⊆ A，A∩B ⊆ B．⑤A∩B=A ⇔ A ⊆ B．⑥ A∩B= ∅ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ ∁ UA）= ∅ ．⑧ ∁ U（A∩B）=（ ∁ UA）∪ （ ∁ UB）． 【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能 把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩 图． 【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集． 命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、 复合函数的单调性等联合命题． 2．利用导数研究函数的极值 【知识点的知识】 1、极值的定义： （1）极大值：一般地，设函数 f（x）在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有 的点，都有 f（x）＜f（x0），就说 f（x0）是函数 f（x）的一个极大值，记作 y 极大 值=f（x0），x0 是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数 f（x）在 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的 点，都有 f（x）＞f（x0），就说 f（x0）是函数 f（x）的一个极小值，记作 y 极小值 =f（x0），x0 是极小值点． 2、极值的性质： （1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点 的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最 小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小 值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极 小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使 函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 3、判别 f（x0）是极大、极小值的方法： 若 x0 满足 f′（x0）=0，且在 x0 的两侧 f（x）的导数异号，则 x0 是 f（x）的极值点， f（x0）是极值，并且如果 f′（x）在 x0 两侧满足“左正右负”，则 x0 是 f（x）的极 大值点，f（x0）是极大值；如果 f′（x）在 x0 两侧满足“左负右正”，则 x0 是 f（x） 的极小值点，f（x0）是极小值． 4、求函数 f（x）的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数 f′（x）； （2）求方程 f′（x）=0 的根； （3）用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列 成表格，检查 f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f（x）在 这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f（x）在这个根处取得极小值；如果 左右不改变符号即都为正或都为负，则 f（x）在这个根处无极值． 【解题方法点拨】 在理解极值概念时要注意以下几点： （1）按定义，极值点 x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点 a，b（因为在端点 不可导）． （2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须 在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在 某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必 然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小． （3）若 f（x）在（a，b）内有极值，那么 f（x）在（a，b）内绝不是单调函数， 即在区间上单调的函数没有极值． （4）若函数 f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的， 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个 极大值点，一般地，当函数 f（x）在[a，b]上连续且有有 限个极值点时，函数 f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的， （5）可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是极值点， 不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点． 3．简单线性规划 【概念】 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问 题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的 线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三 个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者 是斜率的最值． 【例题解析】 例：若目标函数 z=x+y 中变量 x，y 满足约束条件 ． （1）试确定可行域的面积； （2）求出该线性规划问题中所有的最优解． 解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形 ABC， 其中 B（4，3），A（2，3），C（4，2）， 则可行域的面积 S= = ． （2）由 z=x+y，得 y=﹣x+z，则平移直线 y=﹣x+z， 则由图象可知当直线经过点 A（2，3）时，直线 y=﹣x+z 得截距最小， 此时 z 最小为 z=2+3=5， 当直线经过点 B（4，3）时，直线 y=﹣x+z 得截距最大， 此时 z 最大为 z=4+3=7， 故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3） 这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条 直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通 过目标函数的平移去找到它的最值． 【考点预测】 线性规划在实际中应用广泛，因此具有很高的实用价值，所以也成为了高考 的一个热点．大家在备考的时候，需要学会准确的画出可行域，然后会平移目标 曲线． 4．等差数列的前 n 项和 【知识点的认识】 等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一 项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的 公差，公差常用字母 d 表示．其求和公式为 Sn=na1+ n（n﹣1）d 或者 Sn= 【例题解析】 eg1：设等差数列的前 n 项和为 Sn，若公差 d=1，S5=15，则 S10= 解：∵d=1，S5=15， ∴5a1+ d=5a1+10=15，即 a1=1， 则 S10=10a1+ d=10+45=55． 故答案为：55 点评：此题考查了等差数列的前 n 项和公式，解题的关键是根据题意求出首项 a1 的值，然后套用公式即可． eg2：等差数列{an}的前 n 项和 Sn=4n2﹣25n．求数列{|an|}的前 n 项的和 Tn． 解：∵等差数列{an}的前 n 项和 Sn=4n2﹣25n． ∴an=Sn﹣Sn﹣1=（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]=8n﹣29， 该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前 3 项为负，其和为 S3=﹣39． ∴n≤3 时，Tn=﹣Sn=25n﹣4n2， n≥4，Tn=Sn﹣2S3=4n2﹣25n+78， ∴ ． 点评：本题考查等差数列的前 n 项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认 真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和 公差，要么求出首项和第 n 项的值． 【考点点评】 等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以 小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相 减法的运用． 5．等比数列的通项公式 【知识点的认识】 1．等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那 么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q ≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比 q 也是非零常 数． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an=a1•qn﹣1 3．等比中项： 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项． G2=a•b （ab≠0） 4．等比数列的常用性质 （1）通项公式的推广：an=am•qn﹣m，（n，m ∈ N*）． （2）若{an}为等比数列，且 k+l=m+n，（k，l，m，n ∈ N*），则 ak•al=am•an （3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}， 仍是等比数列． （4）单调性： 或 ⇔ {an}是递增数列； 或 ⇔ {an} 是递减数列；q=1 ⇔ {an}是常数列；q＜0 ⇔ {an}是摆动数列． 6．等比数列的前 n 项和 【知识点的知识】 1．等比数列的前 n 项和公式等比数列{an}的公比为 q（q≠0），其前 n 项和为 Sn， 当 q=1 时，Sn=na1； 当 q≠1 时，Sn= = ． 2．等比数列前 n 项和的性质 公比不为﹣1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n 仍成 等比数列，其公比为 qn． 7．数列的求和 【知识点的知识】 就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、 等差等比数列等等，常用的方法包括： （1）公式法： ①等差数列前 n 项和公式：Sn=na1+ n（n﹣1）d 或 Sn= ②等比数列前 n 项和公式： ③几个常用数列的求和公式： （2）错位相减法： 适用于求数列{an×bn}的前 n 项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列． （3）裂项相消法： 适用于求数列{ }的前 n 项和，其中{an}为各项不为 0 的等差数列，即 = （ ）． （4）倒序相加法： 推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列 （反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n 个（a1+an）． （5）分组求和法： 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开， 可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可． 【典型例题分析】 典例 1：已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前 n 项和为 Sn． （Ⅰ）求 an 及 Sn； （Ⅱ）令 bn= （n ∈ N*），求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 分 析 ： 形 如 的 求 和 ， 可 使 用 裂 项 相 消 法 如 ： ． 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d， ∵a3=7，a5+a7=26， ∴ ，解得 a1=3，d=2， ∴an=3+2（n﹣1）=2n+1； Sn= =n2+2n． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 an=2n+1， ∴bn= = = = ， ∴Tn= = = ， 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= ． 点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的 方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求 和． 【解题方法点拨】 数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便 是放缩也要往这里面考． 8．平面向量数量积的运算 【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为①（ ± ）2= 2±2 • + 2．②（ ﹣ ） （ + ）= 2﹣ 2．③ •（ • ）≠（ • ）• ，从这里可以看出它的运算法则和 数的运算法则有些是相同的，有些不一样． 【例题解析】 例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn=nm”类比得到“ ” ②“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（ ）• = ”； ③“t≠0，mt=nt ⇒ m=n”类比得到“ ⇒ ”； ④“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“| |=| |•| |”； ⑤“（m•n）t=m（n•t）”类比得到“（ ）• = ”； ⑥“ ”类比得到 ． 以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ① ② ． 解：∵向量的数量积满足交换律， ∴“mn=nm”类比得到“ ”， 即①正确； ∵向量的数量积满足分配律， ∴“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（ ）• = ”， 即②正确； ∵向量的数量积不满足消元律， ∴“t≠0，mt=nt ⇒ m=n”不能类比得到“ ⇒ ”， 即③错误； ∵| |≠| |•| |， ∴“|m•n|=|m|•|n|”不能类比得到“| |=| |•| |”； 即④错误； ∵向量的数量积不满足结合律， ∴“（m•n）t=m（n•t）”不能类比得到“（ ）• = ”， 即⑤错误； ∵向量的数量积不满足消元律， ∴ ”不能类比得到 ， 即⑥错误． 故答案为：①②． 向量的数量积满足交换律，由“mn=nm”类比得到“ ”；向量的数量 积满足分配律，故“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（ ）• = ”；向量 的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt=nt ⇒ m=n”不能类比得到“ ⇒ ” ； | | ≠ | |•| | ， 故 “|m•n|=|m|•|n|” 不 能 类 比 得 到 “| |=| |•| |”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t=m（n•t）”不能 类比得到“（ ）• = ”；向量的数量积不满足消元律，故 ”不能 类比得到 ． 【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也 是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握． 9．复数代数形式的乘除运算 【知识点的知识】 1、复数的加、减、乘、除运算法则 2、复数加法、乘法的运算律 10．频率分布直方图 【知识点的认识】 1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组 距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由 此画成的统计图叫做频率分布直方图． 2．频率分布直方图的特征 ①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为 1． ②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势． ③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具 体数据信息被抹掉． 3．频率分布直方图求数据 ①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标． ②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和． ③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于 y 轴的直线横坐 标． 【解题方法点拨】 绘制频率分布直方图的步骤： 11．用样本的数字特征估计总体的数字特征 【知识点的知识】 1．样本的数字特征：众数、中位数、平均数 众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的 角度不同，其中以平均数的应用最为广泛． （1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数； （2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或 最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数； （3）平均数：一组数据的算术平均数，即 ． 2、三种数字特征的优缺点：： （1）样本众数通常用来表示分类变量的中心值，比较容易计算，但是它只能表 示样本数据中的很少一部分信息． （2）中位数不受少数几个极端值的影响，容易计算，它仅利用了数据排在中间 的数据的信息． （3）样本平均数与每个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引 起平均数的改变．这是中位数，众数都不具有的性质，也正因为这个原因，与众 数，中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息． （4）如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反 之，说明数据中存在许多较小的极端值．（5）使用者根据自己的利益去选择使用 中位数或平均数来描述数据的中心，从而产生一些误导作用． 3、如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？ 利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数： 估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字．（最高矩形的中点） 估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等． 估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标 之和． 4、样本平均数、标准差对总体平均数、标准差的估计 现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准差是不知 道（或不可求）的．如何求得总体的平均数与标准差呢？通常的做法是用样本的 平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差．这与前面用样本的频率分布来近 似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可 以接受的． 如要考查一批灯泡的质量，我们可从中随机抽取一部分作为样本，要分析一 批钢筋的强度，可以随机抽取一定数目的钢筋作为样本，只要样本的代表性强就 可以用来对总体作出客观的判断． 但需要注意的是，同一个总体，抽取的样本可以是不同的．如一个总体包含 6 个个体，现在要从中抽取 3 个作为样本，所有可能的样本会有 20 种不同的结果， 若总体与样本容量较大，可能性就更多，而只要其中的个体是不完全相同的，这 些相应的样本频率分布与平均数、标准差都会有差异．这就会影响到我们对总体 情况的估计． 12．独立性检验 【知识点的知识】 1、分类变量： 如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类 变量． 2、原理：假设性检验（类似反证法原理）． 一般情况下：假设分类变量 X 和 Y 之间没有关系，通过计算 K2 值，然后查表对 照相应的概率 P，发现这种假设正确的概率 P 很小，从而推翻假设，最后得出 X 和 Y 之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X 和 Y 有关系”．（表中的 k 就是 K2 的观测值，即 k=K2）． 其中 n=a+b+c+d（考试给出） 3、2×2 列联表： 4、范围：K2 ∈ （0，+∞）；性质：K2 越大，说明变量间越有关系． 5、解题步骤： （1）认真读题，取出相关数据，作出 2×2 列联表； （2）根据 2×2 列联表中的数据，计算 K2 的观测值 k； （3）通过观测值 k 与临界值 k0 比较，得出事件有关的可能性大小． 13．离散型随机变量的期望与方差 【知识点的知识】 1、离散型随机变量的期望 数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 则称 Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望． 数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机 变量取值的平均水平． 平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令 p1=p2=…=pn，则有 p1=p2=…=pn= ，Eξ=（x1+x2+…+xn）× ，所以ξ的数学期望又称 为平均数、均值． 期望的一个性质：若η=aξ+b，则 E（aξ+b）=aEξ+b． 2、离散型随机变量的方差； 方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是 x1，x2，…，xn，…，且 取这些值的概率分别是 p1，p2，…，pn…，那么， 称 为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的 Eξ 是随机变量ξ的期望． 标准差：Dξ的算术平方根 叫做随机变量ξ的标准差，记作 ． 方差的性质： ． 方差的意义： （1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； （2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变 量取值的稳定与波动、集中与离散的程度； （3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 14．排列、组合及简单计数问题 【知识点的知识】 1、排列组合问题的一些解题技巧： ①特殊元素优先安排； ②合理分类与准确分步； ③排列、组合混合问题先选后排； ④相邻问题捆绑处理； ⑤不相邻问题插空处理； ⑥定序问题除法处理； ⑦分排问题直排处理； ⑧“小集团”排列问题先整体后局部； ⑨构造模型； ⑩正难则反、等价转化． 对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类， 二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下 三个途径考虑： ①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 2、排列、组合问题几大解题方法： （1）直接法； （2）排除法； （3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待 整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”； （4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的 空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”； （5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再 排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后 再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则； （6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法； （7）平均法：若把 kn 个不同元素平均分成 k 组，每组 n 个，共有 ； （8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题； （9）定位问题：从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元 素都包含在内，并且都排在某 r 个指定位置则有 ； （10）指定元素排列组合问题： ①从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同的元素作排列（或组合），规定某 r 个元 素都包含在内．先 C 后 A 策略，排列 ；组合 ； ②从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列（或组合），规定某 r 个元素 都不包含在内．先 C 后 A 策略，排列 ；组合 ； ③从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或 组合）都只包含某 r 个元素中的 s 个元素．先 C 后 A 策略，排列 ；组 合 ． 15．程序框图 【知识点的知识】 1．程序框图 （1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及 文字说明来准确、直观地表示算法的图形； （2）构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 起止 表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少 框 的． 输入、 输出 框 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输 入、输出的位置． 处理 框 赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别 写在不同的用以处理数据的处理框内． 判断 框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成 立时在出口处标明则标明“否”或“N”． 流程 线 算法进行的前进方向以及先后顺序 连结 点 连接另一页或另一部分的框图 注释 框 帮助编者或阅读者理解框图 （3）程序框图的构成． 一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的 流程线；程序框内必要的说明文字． 16．进行简单的合情推理 【知识点的知识】 1．推理 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理．推理 一般分为合情推理与演绎推理两类． 2．合情推理 归纳推理 类比推理 定 义 由某类事物的部分对象具有某 些特征，推出该类事物的全部对 由两类对象具有某些类似特征和其中一 类对象的某些已知特征，推出另一类对象 象都具有这些特征的推理，或者 由个别事实概括出一般结论的 推理 也具有这些特征的推理 特 点 由部分到整体、由个别到一般的 推理 由特殊到特殊的推理 一 般 步 骤 （1）通过观察个别情况发现某 些相同性质； （2）从已知的相同性质中推出 一个明确的一般性命题（猜想） （1）找出两类事物之间相似性或一致性； （2）用一类事物的性质去推测另一类事 物的性质，得出一个明确的命题（猜想） 3．演绎推理 （1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推 理称为演绎推理； （2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理； （3）模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： “三段论”的结 构 ①大前提﹣﹣已知的一般原理； ②小前提﹣﹣所研究的特殊情况； ③结论﹣﹣根据一般原理，对特殊情况做出的 判断． “三段论”的表 示 ①大前提﹣﹣M 是 P． ②小前提﹣﹣S 是 M． ③结论﹣﹣S 是 P． 17．二倍角的正弦 【二倍角的正弦】 二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α=β的一种特 例，其公式为：sin2α=2sinα•cosα；其可拓展为 1+sin2α=（sinα+cosα）2． 【例题解析】 例：y=sin2x+2sinxcosx 的周期是 π ． 解：∵y=sin2x+2sinxcosx = +sin2x =sin2x﹣ cos2x+ = sin（2x+φ）+ ，（tanφ=﹣ ） ∴其周期 T= =π． 故答案为：π． 这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和 差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且 公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式． 【考点点评】 本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位 同学多加练习，熟记各种公式． 18．正弦定理 【知识点的知识】 1．正弦定理和余弦定理 定 理 正弦定理 余弦定理 内 容 =2R （ R 是△ABC 外接圆半径） a2=b2+c2﹣2bccos A， b2=a2+c2﹣2accos B， c2=a2+b2﹣2abcos C 变 形 形 式 ①a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C； ②sin A= ，sin B= ，sin C= ； ③a：b：c=sinA：sinB：sinC； ④asin B=bsin A，bsin C=csin B，asin C=csin A cos A= ， cos B= ， cos C= 解 决 三 ①已知两角和任一边，求另一角和其他 两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三 边和其他两角 角 形 的 问 题 边和其他两角 在△ABC 中，已知 a，b 和角 A 时，解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A＜ a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 由上表可知，当 A 为锐角时，a＜bsin A，无解．当 A 为钝角或直角时，a≤b， 无解． 2、三角形常用面积公式 1．S= a•ha（ha 表示边 a 上的高）； 2．S= absin C= acsin B= bcsin A． 3．S= r（a+b+c）（r 为内切圆半径）． 19．三角函数的最值 【三角函数的最值】 三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到 三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手 法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角 函数的一元函数． 【例题解析】 例 1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x= + cos（2x+ ） ． 解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x= ﹣ +2• = + （cos2x﹣ sin2x） = + cos（2x+ ）． 故答案为： + cos（2x+ ）． 这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函 数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结 果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换． 例 2：函数 y=sin2x﹣sinx+3 的最大值是 ． 解：令 sinx=t，可得 y=t2﹣t+3，其中 t ∈ [﹣1，1] ∵二次函数 y=t2﹣t+3 的图象开口向上，对称轴是 t= ∴当 t= 时函数有最小值， 而函数的最大值为 t=﹣1 时或 t=1 时函数值中的较大的那个 ∵t=﹣1 时，y=（﹣1）2﹣（﹣1）+3=5，当 t=1 时，y=12﹣1+3=3 ∴函数的最大值为 t=﹣1 时 y 的值 即 sinx=﹣1 时，函数的最大值为 5． 这个题就是典型的换元，把 sinx 看成是自变量 t，最后三角函数看成是一个 一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域． 【考点点评】 求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家 要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应 的值域． 20．轨迹方程 【知识点的认识】 1．曲线的方程和方程的曲线 在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y） 表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y） 中的变量 x、y 存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变 量 x、y 的方程． 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹） 上的点与一个二元方程 f（x，y）=0 的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线． 2．求曲线方程的一般步骤（直接法） （1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点 M 的坐 标； （2）列式：写出适合条件 p 的点 M 的集合{M|p（M）}； （3）代入：用坐标表示出条件 p（M），列出方程 f（x，y）=0； （4）化简：化方程 f（x，y）=0 为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点 【常用解法】 （1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有 关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、 化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧． （2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、 抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨 迹的定义条件． （3）相关点法：用所求动点 P 的坐标（x，y）表示已知动点 M 的坐标（x0，y0）， 即得到 x0=f（x，y），y0=g（x，y），再将 x0，y0 代入 M 满足的条件 F（x0，y0）=0 中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法 的一般步骤是：设点→转换→代入→化简． （4）待定系数法 （5）参数法 （6）交轨法． 21．抛物线的简单性质 【知识点的知识】 抛物线的简单性质： 22．双曲线的简单性质 【知识点的知识】 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0） 图形 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|=2c a2+b2=c2 范围 |x|≥a，y ∈ R |y|≥a，x ∈ R 对称 关于 x 轴，y 轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a） 轴 实轴长 2a，虚轴长 2b 性 质 离心率 e= （e＞1） 准线 x=± y=± 渐近线 ± =0 ± =0 23．圆与圆锥曲线的综合 【知识点的知识】 1、抛物线的简单性质： 2、双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0） 图形 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 性 质 焦距 |F1F2|=2c a2+b2=c2 范围 |x|≥a，y ∈ R |y|≥a，x ∈ R 对称 关于 x 轴，y 轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a） 轴 实轴长 2a，虚轴长 2b 离心率 e= （e＞1） 准线 x=± y=± 渐近线 ± =1 ± =1 24．直线与椭圆的位置关系 v． 25．由三视图求面积、体积 【知识点的认识】 1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形， 包括： （1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度； （2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度； （3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度． 2．三视图的画图规则： （1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐； （2）长对正：主视图和俯视图的长相对应； （3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等． 3．常见空间几何体表面积、体积公式 （1）表面积公式： （2）体积公式： 【解题思路点拨】 1．解题步骤： （1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球） （2）选对应公式 （3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高） （4）代公式计算 2．求面积、体积常用思想方法： （1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进 行分析求解； （2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法； （3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活 求解三棱锥的体积； （4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法． 【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解 答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、 俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正 俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟 记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算． 例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.8﹣2π B.8﹣π C.8﹣ D.8﹣ 分析：几何体是正方体切去两个 圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的 圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算． 解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个 圆柱， 正方体的棱长为 2，切去的圆柱的底面半径为 1，高为 2， ∴几何体的体积 V=23﹣2× ×π×12×2=8﹣π． 故选：B． 点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数 据所对应的几何量是解题的关键． 26．异面直线及其所成的角 【知识点的知识】 1、异面直线所成的角： 直线 a，b 是异面直线，经过空间任意一点 O，作直线 a′，b′，并使 a′∥a，b′ ∥b．我们把直线 a′和 b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 和 b 所成的角．异 面直线所成的角的范围：θ ∈ （0， ]．当θ=90°时，称两条异面直线互相垂直． 2、求异面直线所成的角的方法： 求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平 行平面等手段来转移直线． 3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识： 27．直线与平面平行的判定 【知识点的知识】 1、直线与平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平 行． 用符号表示为：若 a ⊄ α，b ⊂ α，a∥b，则 a∥α． 2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面 内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线 线平行得到线面平行． 28．二面角的平面角及求法 【知识点的知识】 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面 角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为 AB、面分别为α、β的二面角记作 二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别 取点 P、Q，将这个二面角记作 P﹣AB﹣Q．如果棱记作 l，那么这个二面角记作 二面角α﹣l﹣β或 P﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角 在二面角α﹣l﹣β的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面α和β内分 别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的 平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角 ∠AOB 的大小与点 O 的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱 l 上的 点 O． 3、二面角的平面角求法： （1）定义； （2）三垂线定理及其逆定理； ①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直． ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面 角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱 垂直，从而确定二面角的平面角． （3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂 直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．； （4）平移或延长（展）线（面）法； （5）射影公式； （6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角； （7）向量法：两平面所成的角的大小与分别垂直于这平面的两向量所成的角（或 补角）相等． 29．简单曲线的极坐标方程 【知识点的认识】 一、曲线的极坐标方程 定义：如果曲线 C 上的点与方程 f（ρ，θ）=0 有如下关系 （1）曲线 C 上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程 f（ρ，θ）=0； （2）以方程 f（ρ，θ）=0 的所有解为坐标的点都在曲线 C 上． 则曲线 C 的方程是 f（ρ，θ）=0． 二、求曲线的极坐标方程的步骤： 与直角坐标系里的情况一样 ①建系 （适当的极坐标系） ②设点 （设 M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点） ③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于 M 的等式） ④将等式坐标化 ⑤化简 （此方程 f（ρ，θ）=0 即为曲线的方程） 三、圆的极坐标方程 （1）圆心在极点，半径为 r，ρ=r． （2）中心在 C（ρ0，θ0），半径为 r． ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）=r2． 四、直线的极坐标方程 （1）过极点，θ=θ0（ρ ∈ R） （2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ=a （3）过某个定点平行于极轴，rsinθ=a （4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）=ρ1sin（α﹣θ1） 五、直线的极坐标方程步骤 1、据题意画出草图； 2、设点 M（ρ，θ）是直线上任意一点； 3、连接 MO； 4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求． 30．不等式的证明 【知识点的知识】 证明不等式的基本方法： 1、比较法： （1）作差比较法 ①理论依据：a＞b ⇔ a﹣b＞0；a＜b ⇔ a﹣b＜0． ②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论． 注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子） 与 0 的大小关系． （2）作商比较法 ①理论依据：b＞0， ＞1 ⇒ a＞b；b＜0， ＜1 ⇒ a＜b； ②证明步骤：作商→变形→判断与 1 的大小关系→得出结论． 2、综合法 （1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的 推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或 由因导果法． （2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等 式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式． 3、分析法 （1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件 为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从 而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法． （2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地 用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止． 注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、 条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法 寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程． 4、放缩法 （1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化 不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法． （2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键． 常用的放缩技巧有：