中考找规律专题复习

中考找规律专题复习

教学内容 找规律 教学目标 教学重、难点 浅谈初中数学中的找规律题 最近两年，全国多数地市的中招考试都有找规律的题目，人们开始逐渐重视这一类数学题，研究发现数学规律题的解题思想，不但能够提高学生的考试成绩，而且更有助于创新型人才的培养。但究竟怎样才能把这种题目做好，是一个值得探究的问题，这类问题没有明确的知识方法可套，在现在的教科书上也很少触及这类问题。这类题目主要考查学生的综合分析问题和解决问题的能力。下面就解决这类问题作一个初步的探究。 ‎ 一、代数中的规律 ‎“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。 找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把项数和项放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 例1 观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出第100个数是＿＿＿。 分析：解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。 我们把有关的量放在一起加以比较： 项数：1 2 3 4 5 ……‎ ‎ 项：0，3，8，15，24，……。 ‎ ‎ 容易发现，已知数的每一项，都等于它的项数的平方减1。因此，第n 项是-1，第100项是-1。 如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。解题的时候，不但考虑已知数的项数，还要考虑其他因素。 例2 （1）观察下列运算并填空 ‎1×2×3×4＋1＝24＋1＝25＝‎ ‎2×3×4×5＋1＝120＋1＝121＝112‎ ‎3×4×5×6＋1＝360＋1＝192‎ ‎4×5×6×7＋1＝ ＋1＝ ＝ 2‎ ‎7×8×9×10＋1＝ ＋1＝ ＝ 2‎ ‎（2）根据（1）猜想（n+1）(n+2)(n+3)(n+4)+1=( )2‎ 并用你所学的知识说明你的猜想。‎ 分析：第（1）题是具体数据的计算，第（2）题在计算的基础上仔细观察。已知四个数乘积加上1的和与结果中完全平方数的数的关系是猜想的正确性的解释，只要用完全平方数四个数的首尾两数乘积与1的和正好是完全平方数的底数，由此探索其存在的规律，解决猜想公式逆用就可解决 解：（1）4×5×6×7＋1＝840＋1＝841＝292‎ ‎ 7×8×9×10＋1＝5040＋1＝5041＝712‎ ‎（2）（n+1）(n+2)(n+3)(n+4)+1‎ ‎ ＝[(n+1)(n+4)+1]2‎ ‎ ＝（n2+5n+1）2‎ 例3. 观察下列算式：‎ ‎……‎ 用你所发现的规律写出的末位数字是__________。‎ 例4.观察下列式子：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎……‎ 请你将猜想得到的式子用含正整数n的式子表示出来__________。‎ 代数中的规律小结：‎ ‎ 1、找到题目中的不变量 ‎ 2、找到题目中的改变量，并认真观察改变量的变化规律 ‎ 3、观察与猜想结合找到变量与不变量之间的关系 二、 平面图形中的规律 图形变化也是经常出现的，它的变化规律以代数规律为基础。作这种数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。 例1 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，‎ ‎ ‎ 第n个图形中需要黑色瓷砖多少块？（用含n 的代数式表示）. ‎ 分析：这一题的关键是求第n 个图形中需要几块黑色瓷砖？ 在这三个图形中，前边4块黑瓷砖不变，变化的是后面的黑瓷砖。它们的数量分别是，第一个图形中多出0×3块黑瓷砖，第二个图形中多出1×3块黑瓷砖，第三个图形中多出2×3块黑瓷砖，依次类推，第n个图形中多出（n-1）×3块黑瓷砖。所以，第n个图形中一共有4+3（n-1）块黑瓷砖，也即（3n+1）块。 有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。‎ 例4 “观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)： ●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●…… 从第1个球起到第2004个球止，共有实心球多少个？” 分析：这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○。每个循环节里有3个实心球。我们只要知道 2004包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数。因为2004÷10 =200（余4）。所以，2004个球里有200个循环节，还余4个球。200个循环节里有200×3=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球。所以，一共有602个实心球。‎ 例5 ‎ ‎ 平面内的一条直线可以将平面分成两个部分，两条直线最多可以将平面分成四个部分，三条直线最多可以将平面分成七个部分…‎ 根据以上这些直线划分平面最初的具体的情况总结规律，探究十条直线最多可以将平面分成多少个部分。‎ 分析:1条直线将平面分成2个部分 ‎2条直线最多可以将平面分成4（＝2+2）个部分 ‎3条直线最多可以将平面分成7（＝4+3）个部分 ‎4条直线最多可以将平面分成11（＝7+4）个部分 可以从中发现每增加1条直线，分平面的部分数就增加，其规律是若原有(n-1)条直线，现增加1条直线，最多将平面分成的平面数就增加n，平面上的10条直线最多将平面分成：2+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝56个部分。一般的平面上的n条中线最多可将平面分成（2+2+3+4+…+n）个部分。‎ 三、空间图形中的规律 例6 如图，都是由边长为1的正方体叠成的图形。‎ 例如第①个图形的表面积为6个平方单位，第②个图形的表面积为18个平方单位，第③个图形的表面积是36个平方单位。依此规律，则第⑤个图形的表面积是 个平方单位。‎ ‎ 分析：应从不同的侧面进行观察 第1个图形的表面积是6（＝1×6）个平方单位，‎ 第2个图形的表面积是18（＝3×6）个平方单位 第3个图形的表面积是36（＝6×6）个平方单位 由此可以看出：每一个图形表面积都是6的倍数，而倍数是呈2，3，4，5…增加，所以可以推出第4个图形的表面积是60（＝10×6）个平方单位，因此第5个图形的表面积是90（＝15×6）个平方单位。‎ ‎ ‎ 例7 观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：‎ 如图①中：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；‎ 如图②中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；‎ 如图③中：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；……，则第⑥个图中，看不见的小立方体有 个.‎ 分析：先观察每个图形中有几个小正方体，然后发现每个正方体中看不到的正方体的个数是前面图形的正方体的个数，因此，第⑥个图中，看不见的小立方体有5=125个.‎ ‎ ‎ 因此,读者在遇到数学问题时应身临其境，从不同的角度去观察,去分析,用最简单的方法去解决.‎ 解题方法小结：‎ 一、要抓住题目中隐藏的不变量 二、抓住题目里的变量 三、要善于比较、分析、思考 四、要善于寻找事物的循环节 五、要勇敢进行计算，尝试，再尝试 强化练习：‎ ‎1、观察下列等式：        ，…… 则第n个等式可以表示为                     。‎ ‎2、观察下列各式：，，‎ ‎，……根据前面的规律，得：                     。（其中n为正整数）‎ ‎3、观察下列等式：观察下列等式：4－1=3，9-4=5，16-9=7，25-16=9，36-25=11，……这些等式反映了自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示了自然数，用关于n的等式表示这个规律为                     。‎ ‎4、 “”代表甲种植物，“”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植。按此规律，第六个图案中应种植乙种植物                     株。‎ ‎5、 “图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n个等腰直角三角形的斜边长为_____________。‎ ‎6、探索常见图形的规律，用火柴棒按下图的方式搭三角形 ‎   ‎ ‎  ⑴填写下表：‎ ‎ ‎ ‎ ⑵照这样的规律搭建下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？‎ ‎7、若有两张长方形的桌子，把它们拼成一张大的长方形桌子，有几种拼法？‎ ‎ ‎ 问题2.若按图2方式摆放桌子和椅子 ‎ ‎ ‎⑴一张桌子可坐6人，2张桌子可坐       人。‎ ‎⑵按照上图方式继续排列桌子，完成下表：‎ ‎ ‎ 问题3.如果按图3的方式将桌子拼在一起 ‎⑴2张桌子拼在一起可坐多少人？3张呢？n张呢？‎ ‎⑵教室有40张这样的桌子，按上图方式每5张拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐    人。‎ ‎⑶在⑵中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐   人。‎ ‎8、图3—4①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图3—4②；再分别连结图3—4②中间的小三角形三边的中点，得到图3—4③，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。‎ ‎③‎ ‎②‎ ‎①‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎……‎ ‎(1)将下表填写完整 图形编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎…‎ 三角形个数 ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎…‎ ‎（2）在第n个图形中有____________________个三角形（用含n的式子表示）。‎ ‎9、如图，把一个面积为1的正方形分等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去，试利用图形提示的规律计算：‎ ‎ ‎ ‎10．把棱长为的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个……按这种规律摆放，第五层的正方体的个数是 ‎ ‎11.观察下列图形并填表。‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ 个数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7…‎ 周长 ‎5‎ ‎8‎ ‎11‎ ‎14‎ ‎…‎ ‎1．用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律，拼成若干个图案：‎ ‎（1）第4个图案中有白色地面砖 块；‎ ‎（2）第个图案中有白色地面砖 块。‎ 第三个 第二个 第一个 ‎ ……‎ ‎2．下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有个棋子，每个图案棋子总数为S，按下图的排列规律推断，S与之间的关系可以用式子 来表示。‎ ‎ ……‎ ‎3．观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。‎ ‎①5，9，13，17， ， 。‎ ‎②4，5，7，11，19， ， 。‎ ‎③10，20，21，42，43， ， ，174，175。‎ ‎④4，9，19，34，54， ， ，144。‎ ‎⑤45，1，43，3，41，5， ， ，37，9。‎ ‎⑥6，1，8，3，10，5，12，7， ， 。‎ ‎⑦0，1，1，2，3，5， ， 。‎ ‎⑧180，155，131，108， ， 。‎ ‎⑨5，15，45，135， ， 。‎ ‎⑩60，63，68，75， ， 。‎ ‎4．你能很快算出吗？‎ 为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成10•+5,即求的值（为自然数），你试分析这些简单情况，从中控索其规律，并归纳，推测出结论（在下面空格内填上你的控索结果）。‎ （1） 通过计算，控索规律：‎ 可写成 可写成 可写成 可写成 ‎…………‎ 可写成 ‎ 可写成 ‎ （1） 从第（1）的结果，归纳、推测得： ‎ （2） 根据上面的归纳、推测，请算出： ‎ ‎5．观察下列几个算式，找出规律：‎ ‎1＋2＋1=4‎ ‎1＋2＋3＋2＋1=9‎ ‎1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16‎ ‎1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25‎ ‎……‎ 利用上面规律，请你迅速算出：‎ ‎①1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1= ‎ ‎②据①你会算出1＋2＋3＋…＋100是多少吗？‎ ‎③据上你能推导出1＋2＋3＋…＋的计算公式吗？‎ ‎6．给出下列算式：，，，，…，观察上面的一系列等式，你能发现什么规律？用代数式表示这个规律是 。‎ ‎7．研究下列算式，你会发现有什么规律？‎ ‎；；；……‎ 请将你找出的规律用公式表示出来： 。‎ ‎8．如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律填写：‎ 所表示的数： 。 ‎ 所表示的数： 。‎ ‎9．因为，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 那么 。‎ ‎10．将1，，，，，，…按一定规律排成下表：‎ 试找出在第 行第 个数 ‎11．如下图：‎ ‎9‎ ‎（1） ‎ ‎25‎ ‎31‎ ‎36‎ ‎43‎ ‎466‎ ‎17‎ ‎21‎ ‎227‎ ‎45‎ ‎24‎ ‎285‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ 课后作业：‎ ‎1．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子．‎ ‎…‎ ‎2. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是 ‎0‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎22‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎44‎ m ‎6‎ A．38 B．52 C．66 D．74‎ 第12题 ‎3．如图，，过上到点的距离分别为 的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为．‎ 则第一个黑色梯形的面积 ；观察图中的规律，‎ 第n(n为正整数)个黑色梯形的面积 ．‎ 本周作业 上周作业完成情况 教学主管 日期、时间 学生签名