2016年内蒙古包头一中高考一模数学文

2016年内蒙古包头一中高考一模数学文

2016 年内蒙古包头一中高考一模数学文 一．选择题(每题 5 分，共 60 分) 1.已知集合 2{|}{|} 44AxxxRBxxxZ ， ， ， ，则 A∩B( ) A.(0，2) B.[0，2] C.{0，1，2} D.{0，2} 解析：由 A 中不等式解得：-2≤x≤2，即 A=[-2，2]， 由 B 中不等式解得：0≤x≤16，x∈Z，即 B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12， 13，14，15，16}， 则 A∩B={0，1，2}， 答案：C． 2.已知 2 1001pxRxxqxsinx ： ， ＞ ， ： （， ）， ＞ ，则下列命题为真命题的 是( ) A.p∧q B.￢p∨q C.p∨￢q D.￢p∧￢q 解析：关于  2 2 311024pxRxxx ： ， ＞ ，成立， 故命题 p 是真命题， 关于 01qxsinx ： （， ）， ＞ ， ∵ 01xsinx （， ）， ， 故命题 q 是假命题， 故 p∨￢q 是真命题， 答案：C． 3.设 a，b∈R，若 a-|b|＞0，则下面不等式中正确的是( ) A.b-a＞0 B. 330ab ＜ C.b+a＜0 D. 220ab ＞ 解析：∵a-|b|＞0，∴a＞|b|，∴ 22ab＞ ，即 220ab ＞ ． 答案：D． 4.将函数   ( 6 )fxsinx ＝ 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的 2 倍，所得 函数 g(x)图象的一个对称中心可以是( ) A.( 0)12  ， B. ( 5 012 ) ， C. ( 0)3  ， D. ( 2 03 ) ， 解析：∵   1()26gxsinx ＝ ， ∴由 26 x k  ＝ ，∴可得 2 3x k k Z ＝ ， ， 令 0 3kx＝ ， ＝ ． 答案：C． 5.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的全面积为( ) A.12 B.16 C. 43 43  D. 4 3 4 解析：由三视图可知该几何体为四棱锥，底面四边形 ABCD 边长为 2 的正方形， 侧面是底边长、高都为 2 的等腰三角形， ∴几何体的全面积为 2×2+4× 1 2 ×2×2=12． 答案：A． 6.已知△ABC 满足 2 ABAB AC BA BC CA CB＝ ，则△ABC 是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 解析：∵△ABC 中， 2 ABABACBABCCACB＝ ， ∴ 2 ABABACABBCCACB＝ = ABACBCCACBABABCACB（ ） 即 22 0ABABCACBCACB＝ ，得 ∴CACBCACB即 ，可得△ABC 是直角三角形 答案：C 7.等差数列  na 中， 3a 和 9a 是关于 x 的方程 2 16064xxcc （ ＜ ）的两实根，则该数列 前 11 项和 11S =( ) A.58 B.88 C.143 D.176 解析：∵等差数列 中， 3a 和 9a 是关于 x 的方程 的两实根， ∴ 3916aa， ∴该数列前 11 项和  1139 1111 168822Saa ． 答案：B 8.如果函数 y=|x|-2 的图象与曲线 C： 22xy恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取 值范围是( ) A.{2}∪(4，+∞) B.(2，+∞) C.{2，4} D.(4，+∞) 解析：根据题意画出函数 y=|x|-2 与曲线 C： 22xy的图象，如图所示， 当 AB 与圆 O 相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过 O 作 OC⊥AB， ∵OA=OB=2，∠AOB=90°， ∴根据勾股定理得： 22AB  ， ∴ 1 22O C A B，此时 2 2OC ； 当圆 O 半径大于 2，即λ＞4 时，两函数图象恰好有两个不同的公共点， 综上，实数λ的取值范围是{2}∪(4，+∞)． 答案：A 9.执行如图所示的程序框图，若输出 S=15，则框图中①处可以填入( ) A.n≥4？ B.n≥8？ C.n≥16？ D.n＜16？ 解析：第一次执行循环体后，S=1，n=2，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=3，n=4，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=7，n=8，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=15，n=16，满足退出循环的条件； 故判断框中的条件应为 n≥16？. 答案：C 10.记集合 2216{|}Axyxy（ ， ） ，集合 B={(x，y)|x+y-4≤0，(x，y)∈A}表示的平面区 域分别为 12， ．若在区域 1 内任取一点 P(x，y)，则点 P 落在区域 2 中的概率为( ) A. 2 4    B. 32 4    C. 2 4    D. 32 4    解析：由题意，两个区域对应的图形如图， 其中 12 23 116 16 4 12 842SS     ＝ ， ＝ ＝ ， 由几何概型的公式可得点P落在区域Ω2中的概率为12 8 3 2 16 4   ＝ . 答案：B． 11.已知圆 M： 225 36xy  （ ） ，定点 50N（ ，），点 P 为圆 M 上的动点，点 Q 在 NP 上，点 G 在线段 MP 上，且满足 20NP NQGQ NP  ， ，则点 G 的轨迹方程为( ) A. 22 194 yx  B. 22 136 31 yx  C. 22 194 yx  D. 22 13 6 3 1 yx  解析：由 20NPNQGQNP ， ，知 Q 为 PN 的中点且 GQ⊥PN， ∴GQ 为 PN 的中垂线，∴|PG|=|GN| ∴|GN|+|GM|=|MP|=6， 故 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆，其长半轴长 a=3，半焦距 c= 5 ， ∴短半轴长 b=2， ∴点 G 的轨迹方程是 ． 答案：A． 12.已知 2 3 0 3 101 8333 log x x fx x x x    ，＜ （ ） ， ＞ ，若 a，b，c，d 是互不相同的四个正数，且 f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，则 abcd 的取值范围是( ) A.(21，25) B.(21，24) C.(20，24) D.(20，25) 解析：先画出 2 303 101 8333 log xx fx xxx    ，＜ （ ） ， ＞ 的图象，如图： ∵a，b，c，d 互不相同，不妨设 a＜b＜c＜d． 且 f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，3＜c＜4，d＞6． ∴-log3a=log3b，c+d=10， 即 ab=1，c+d=10， 故 21010abcdcccc（ ） ，由图象可知：3＜c＜4， 由二次函数的知识可知： 2223103104104 cc＜ ＜ ， 即 2211224cc＜ ＜ ， ∴abcd 的范围为(21，24)． 答案：B． 二．填空题(每题 5 分，共 20 分) 13.数列  na 中， 12 123*3 2 n n n aaaanNn a  ， ， （ ， ），则 2011a = . 解析：∵ ， ∴ 2 3 1 3 2 aa a，同理可得： 45678 112 23233aaaaa， ， ， ， ，…， ∴ 6nnaa  ． 则 201163 33333 2aaa  ． 答案： 3 2 ． 14.已知 x，y 均为正实数，且 x+3y=2，则 2xy xy  的最小值为 ． 解析：∵x，y 均为正实数，且 x+3y=2， 则    233 2212111137727262222 xyyy xxxyxyyxyxyx         ， 当且仅当  2 2 6 1 23 5xy   时取等号． ∴ 2 xy xy  的最小值为  1 7 2 62  ， 答案：  1 7 2 62  ． 15.已知点 P(x，y)满足 7 2 xy yx x      ，过点 P 的直线与圆 2250xy相交于 A，B 两点，则 |AB|的最小值为 . 解析：由约束条件 作出可行域如图， 联立 2 7 x xy    ＝ ＝ ，解得 A(2，5)． 由图可知，可行域内的点中， 1A 到原点的距离最大，为 29 ， ∴|AB|的最小值为 25029221 ＝ ． 答案： 221 ． 16.函数   0 34 )0 () ( xaxfx axa x    ＜（ ） 满足 1 2 1 2 0[]f x f x x x（ ） （ ）（ ）＜ 对定义域中的任 意两个不相等的 12xx， 都成立，则 a 的取值范围是 ． 解析： 1212 0[]fxfxxx（ ） （ ）（ ）＜ 对定义域中的任意两个不相等的 12xx， 都成立， 则函数 f(x)在 R 上递减， 当 x＜0 时， xya ，则 0＜a＜1① 当 x≥0 时，y=(a-3)x+4a，则 a-3＜0② 又 0 304aaa（ ） ③ 则由①②③，解得 10 4a ＜ ． 答案： 0 4 ]1（ ， ． 三．解答题. 17.已知△ABC 的周长为  4212 sinBsinCsinA，且 ＝ ． (Ⅰ)求边长 a 的值； (Ⅱ)若 S△ABC=3sinA，求 cosA 的值． 解析：(I)根据正弦定理把 2sinBsinCsinA ＝ 转化为边的关系，进而根据△ABC 的周长求 出 a 的值． (II)通过面积公式求出 bc 的值，代入余弦定理即可求出 cosA 的值． 答案：(I)根据正弦定理， 2sinBsinCsinA ＝ 可化为 2bca ＝ ． 联立方程组  4 2 1 2 abc b c a       ＝ ＝ ， 解得 a=4． ∴边长 a=4； (II)∵S△ABC=3sinA， ∴ 1 362 bcsinA sinA bc＝ ， ＝ ． 又由(I)可知， 2bc ＝4 ， ∴  2 22 2 2 2 1 2 2 3 b c bc ab c acosA bc bc   ＝ ＝ ＝ ． 18.如图，长方体 1 1 1 1 1 12ABCD A B C D AD AA AB   中， ， ，点 E 是线段 AB 中点． (1)证明： 1D E CE ； (2)求二面角 1D E C D的大小的余弦值； (3)求 A 点到平面 1C D E 的距离． 解析：(1)根据线面垂直的性质定理，证明 1C E D D E 面 即可证明： ； (2)建立坐标系，利用向量法即可求二面角 的大小的余弦值； (3)根据点到平面的距离公式，即可求 A 点到平面 的距离． 答案：(1)证明： 1DDABCDCEABCD面 ， 面 所以， 1DDCE ， Rt△DAE 中，AD=1，AE=1， 222DEADAE ， 同理： 22222CECDCDCEDE，又 ， ， DE⊥CE， DE∩CE=E， 所以， ， 又 11DEDEC 面 ， 所以， ． (2)设平面 的法向量为 mxyz（ ， ，）， 由(1)得 1 11111 0DECE（，， ）， （， ，） 1 1 0 0m D E x y m CE x y        ， 解得： 1 2xy，即 11122m （ ， ，）； 又平面 CDE 的法向量为 1DD =(0，0，1)， ∴ 1 1 1 61 3111144 m DDcosm DD mDD    ＜ ， ＞ ， 所以，二面角 1DECD的余弦值为 6 3 ， (3)由(1)(2)知 AE =(0，1，0)，平面 CD1E 的法向量为 故，A 点到平面 1C D E 的距离为 1 62 66 2 mAE d m   ． 19. 2014 年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车 中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查，将 他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80， 85)，[85，90)后得到如图的频率分布直方图． (1)求这 40 辆小型车辆车速的众数、平均数和中位数的估计值； (2)若从车速在[60，70)的车辆中任抽取 2 辆，求车速在[65，70)的车辆恰有一辆的概率． 解析：(1)众数的估计值为最高的矩形的中点，由此能求出众数的估计值；设图中虚线所对 应的车速为 x，由频率分布直方图能求出中位数的估计值和平均数的估计值． (2)从频率分布直方图求出车速在[60，65)的车辆数、车速在[65，70)的车辆数，设车速在[60， 65)的车辆设为 a，b，车速在[65，70)的车辆设为 c，d，e，f，利用列举法能求出车速在[65， 70)的车辆恰有一辆的概率． 答案：(1)众数的估计值为最高的矩形的中点， 即众数的估计值等于 77.5， 设图中虚线所对应的车速为 x， 则中位数的估计值为：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×(x-75)=0.5， 解得 x=77.5， 即中位数的估计值为 77.5， 平均数的估计值为：5×(62.5×0.01+67.5×0.02+72.5×0.04+77.5×0.06+82.5×0.05+87.5× 0.02)=77． (2)从图中可知，车速在[60，65)的车辆数为：m1=0.01×5×40=2(辆)， 车速在[65，70)的车辆数为： 2 0.025404m  (辆) 设车速在[60，65)的车辆设为 a，b， 车速在[65，70)的车辆设为 c，d，e，f， 则所有基本事件有： (a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)， (b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共 15 种 其中车速在[65，70)的车辆恰有一辆的事件有： (a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)共 8 种 ∴车速在[65，70)的车辆恰有一辆的概率为 8 15P＝ ． 20.已知椭圆 C： 22 2210yx abab（ ＞ ＞ ）的离心率为 2 2 ，左、右焦点分别为 12FF， ，点 G 在椭圆 C 上，且 12 120GF GF GF F  ， 的面积为 2． (Ⅰ)求椭圆 C 的方程； (Ⅱ)直线 l：y=k(x-1)(k＜0)与椭圆Γ相交于 A，B 两点．点 P(3，0)，记直线 PA，PB 的斜率分 别为 12 12 kkkk k， ，当 最大时，求直线 l 的方程． 解析：(Ⅰ)由椭圆的离心率为 2 2 、点 G 在椭圆上、 12 120GF GF GF F  ，及 的面积为 2 列式求得 2242ab， ，则椭圆方程可求； (Ⅱ)联立直线方程和椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系得到 A，B 两点横坐标的和与积，把 12kk k 转化为含有 k 的代数式，利用基本不等式求得使 12kk k 取得最 大值的 k，则直线Γ的方程可求． 答案：(Ⅰ)∵椭圆 22 2210yx abab（ ＞ ＞ ）的离心率为 ， ∴ 2= 2 ce a ，① ∵左右焦点分别为 12FF、 ，点 G 在椭圆上， ∴ 122GFGFa，② ∵ 12 120GFGFGF F ， 的面积为 2， ∴ 2 12 22 4GFGFc，③ 12 1 2 2GF GF  ，④ 联立①②③④，得 ， ∴椭圆 C 的方程为 22 142 yx ； (Ⅱ)联立   22 1 142 y k x yx   ＝ ，得 2 2 2 21 2 4 2 4 0k x k x k    （ ） ． 设 1122AxyBxy（ ， ）， （ ， ）， ∴ 22 1212 22 424 1212 kkxxxx kk   ＝ ， ＝ ．              2 121 2121 212 12121 212 111 333339 kxxx xxxk ky y kk kxxkxxx xxx   ＝ ＝ ＝ =   22 22222 222 222 22 244 11212244123 24458 24129 12391212 kk kkkkkkkkkkk kkk kk    ＝ =     33 5 4 108kk     ，当且仅当 10 4k ＝ 时，取得最值． 此时 l：  10 14yx   ． 21.已知函数 322xfxxegxkxx（ ） （ ） 和（ ） (1)若函数 g(x)在区间(1，2)不单调，求 k 的取值范围； (2)当 x∈[0，+∞)时，不等式 f(x)≥g(x)恒成立，求 k 的最大值． 解析：(1)求出 2'31gxkx （ ） ，通过①当 k≤0 时，②当 k＞0 时，函数 g(x)在区间(1，2) 不单调，判断导数的符号，得到函数有极值，即可求 k 的取值范围； (2)构造 322xh x f x g x x e kx x      （ ） （ ） （ ） （ ） ，转化 3220 xhxxekxx（ ） （ ） 在[0，+∞)上恒成立，通过 h'(0)=0，对 1 6k  时， 1 6k＞ 时，判断函数的单调性，以及函数的最值，是否满足题意，求出 k 的最大值． 答案：(1) ①当 k≤0 时， ≤0，所以 g(x)在(1，2)单调递减，不满足题意； ②当 k＞0 时，g(x)在(0 )1 3k， 上单调递减，在( 1 3 )k ， 上单调递增， 因为函数 g(x)在区间(1，2)不单调，所以 11 3k＜ ＜2 ，解得 11 12 3k＜ ＜ 综上 k 的取值范围是 11 123 k＜ ＜ ． (2)令 322xh x f x g x x e kx x      （ ） （ ） （ ） （ ） 依题可知 在[0，+∞)上恒成立 2' 1 3 1xh x x e kx   （ ） （ ） ，令 2' 1 3 1xx h x x e kx     （ ） （ ） （ ） ， 有φ(0)=h'(0)=0 且 '6xxxek （ ） （ ） ①当 6k≤1，即 1 6k  时， 因为 x≥0， 1xe  ，所以 '60 xxxek （ ） （ ） 所以函数φ(x)即 h'(x)在[0，+∞)上单调递增，又由φ(0)=h'(0)=0 故当 x∈[0，+∞)时，h'(x)≥h'(0)=0，所以 h(x)在[0，+∞)上单调递增 又因为 h(0)=0，所以 h(x)≥0 在[0，+∞)上恒成立，满足题意； ②当 6k＞1，即 1 6k＞ 时， 当 x∈(0，ln(6k))， '60 xxxek （ ） （ ）＜ ，函数φ(x)即 h'(x)单调递减， 又由φ(0)=h'(0)=0，所以当 x∈(0，ln(6k))，h'(x)＜h'(0)=0 所以 h(x)在(0，ln(6k))上单调递减，又因为 h(0)=0，所以 x∈(0，ln(6k))时 h(x)＜0， 这与题意 h(x)≥0 在[0，+∞)上恒成立相矛盾，故舍． 综上 ，即 k 的最大值是 1 6 ． 22.已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是 2 2 2 422 xt yt     ＝ ＝ (t 是参数)，以原 点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线 C 的极坐标方程 (2 4)cos ＝ ． (Ⅰ)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系； (Ⅱ)设 M 为曲线 C 上任意一点，求 x+y 的取值范围． 解析：(Ⅰ)由直线的参数方程消去 t 得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标 方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系； (Ⅱ)设出曲线 C 上的点的参数方程，由 x+y=sinθ+cosθ，利用两角和的正弦化简后可得 x+y 的取值范围． 答案：(Ⅰ)由 ，消去 t 得： 42yx ． 由 2 2 2 2 24 4 4()cos cos cos sin sin cos sin           ＝ ，得 ＝ ，即 ＝ ， ∴ 2 2 22 2 2 2 0cos sin x x y y       ＝ ，即 ＝ ． 化为标准方程得： 22 22122xy              ＝ ． 圆 心 坐 标 为 ( 2 2 )2 2， ， 半 径 为 1 ， 圆 心 到 直 线 4 2 0xy   的 距 离 224222 51 2 d   ＝ ＞ . ∴直线 l 与曲线 C 相离； (Ⅱ)由 M 为曲线 C 上任意一点，可设 2 2 2 2 xcos ysin       ＝ ＝ ， 则 2 ()4xysincossin  ， ∴x+y 的取值范围是 [ 22] ， ．