【数学】2019届一轮复习北师大版 不等式选讲 学案

【数学】2019届一轮复习北师大版 不等式选讲 学案

第29练　不等式选讲 ‎[明考情]‎ 不等式选讲是每年的高考必考题，以选做题的形式呈现，主要考查基本运算能力和推理论证能力，中低档难度.‎ ‎[知考向]‎ ‎1.绝对值不等式的解法.‎ ‎2.不等式的证明.‎ ‎3.不等式的应用.‎ 考点一　绝对值不等式的解法 方法技巧　|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 ‎(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.‎ ‎(2)利用“零点分区间法”求解，体现了分类讨论的思想.‎ ‎(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.‎ ‎1.已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；‎ ‎(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值.‎ 解　(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝ 当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|，得－2x＋6≥4，解得x≤1；‎ 当2＜x＜4时，由f(x)≥4－|x－4|，得2≥4，无解；‎ 当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|，得2x－6≥4，解得x≥5.‎ 所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.‎ ‎(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，则h(x)＝ 由|h(x)|≤2，解得≤x≤.‎ 又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，所以于是a＝3.‎ ‎2.(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥1的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围.‎ 解　(1)f(x)＝ 当x＜－1时，f(x)≥1无解；‎ 当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，‎ 解得1≤x≤2；‎ 当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.‎ 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.‎ ‎(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x，而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤，‎ 当且仅当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.‎ 故m的取值范围是.‎ ‎3.(2016·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；‎ ‎(2)设函数g(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围.‎ 解　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.‎ 解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.‎ 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.‎ ‎(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，‎ 当x＝时等号成立，‎ 所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3. ①‎ 当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解；‎ 当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.‎ 所以a的取值范围是[2，＋∞).‎ ‎4.已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.‎ ‎(1)解不等式|g(x)|＜5；‎ ‎(2)若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.‎ 解　(1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，‎ 所以－7＜|x－1|＜3，可得不等式的解集为(－2，4).‎ ‎(2)因为对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，‎ 所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}.‎ 又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，‎ 所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，‎ 所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[－1，＋∞).‎ 考点二　不等式的证明 要点重组　(1)含绝对值的不等式的性质 ‎|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.‎ ‎(2)算术—几何平均不等式.如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立.‎ ‎(3)柯西不等式 ‎①设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立.‎ ‎②设a1，a2，a3，…an，b1，b2，b3，…bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立.‎ ‎5.已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1].‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.‎ ‎(1)解　因为f(x＋2)＝m－|x|，所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.‎ 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}.‎ 又f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m＝1.‎ ‎(2)证明　由(1)知＋＋＝1，‎ 又a，b，c∈R＋，由柯西不等式，得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)·≥2＝9.‎ 当且仅当a＝2b＝3c时，等号成立.‎ 所以a＋2b＋3c≥9.‎ ‎6.(2017·全国Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2，证明：‎ ‎(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；‎ ‎(2)a＋b≤2.‎ 证明　(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)‎ ‎＝4＋ab(a4＋b4－2a2b2)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.‎ ‎(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)＝2＋，‎ 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.‎ ‎7.已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.‎ ‎(1)解　因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，‎ 所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.‎ ‎(2)证明　由(1)知p＋q＋r＝3，‎ 又因为p，q，r是正实数，‎ 所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，‎ 即p2＋q2＋r2≥3，当且仅当p＝q＝r＝1时取等号.‎ ‎8.已知a＞b＞0，且m＝a＋.‎ ‎(1)试利用基本不等式求m的最小值t；‎ ‎(2)若实数x，y， 满足x2＋4y2＋ 2＝t，求证：|x＋2y＋ |≤3.‎ ‎(1)解　由三个数的基本不等式，得 m＝(a－b)＋b＋≥3＝3‎ ‎(当且仅当a－b＝b＝，即b＝1，a＝2时取“＝”号)，故有t＝3.‎ ‎(2)证明　∵x2＋4y2＋ 2＝3，∴由柯西不等式，得 ‎[x2＋(2y)2＋ 2](12＋12＋12)≥(x＋2y＋ )2，‎ 当且仅当＝＝＝1，即x＝ ＝1，y＝时取“＝”号.‎ 整理得(x＋2y＋ )2≤9，‎ 即|x＋2y＋ |≤3.‎ 考点三　不等式的应用 方法技巧　利用不等式的性质和结论可以求函数的最值，解决一些参数范围问题，恒成立问题，解题中要注意问题的转化.‎ ‎9.已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|，不等式t≤f(x)在R上恒成立.‎ ‎(1)求t的取值范围；‎ ‎(2)记t的最大值为T，若正实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝T，求a＋2b＋c的最大值.‎ 解　(1)因为f(x)＝|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，‎ 所以f(x)min＝3.‎ 因为不等式t≤f(x)在R上恒成立，‎ 所以t≤f(x)min＝3，t的取值范围为(－∞，3].‎ ‎(2)由(1)得T＝tmax＝3，‎ 由柯西不等式，得(a＋2b＋c)2≤(12＋22＋12)(a2＋b2＋c2)＝18，‎ 所以a＋2b＋c≤3.‎ 当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时，a＋2b＋c的最大值为3.‎ ‎10.已知a2＋2b2＋3c2＝6，若存在实数a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c>|x＋1|成立，求实数x的取值范围.‎ 解　由柯西不等式知，‎ ‎[12＋()2＋()2][a2＋(b)2＋(c)2]≥(1·a＋·b＋·c)2，‎ 即6×(a2＋2b2＋3c2)≥ (a＋2b＋3c)2.‎ 又∵a2＋2b2＋3c2＝6，‎ ‎∴6×6≥(a＋2b＋3c)2，‎ ‎∴－6≤a＋2b＋3c≤6.‎ ‎∵存在实数a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c>|x＋1|成立，‎ ‎∴|x＋1|<6，∴－70.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.‎ 解　(1)当a＝1时，‎ f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；‎ 当－10，‎ 解得0，解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题设可得f(x)＝ 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，‎ ‎△ABC的面积为(a＋1)2.‎ 由题设得(a＋1)2>6，故a>2.‎ 所以a的取值范围为(2，＋∞).‎ 例　(10分)已知函数f(x)＝|3x＋2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)＜4－|x－1|；‎ ‎(2)已知m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围.‎ 审题路线图 ‎(1)―→ ‎(2)⇒ ―→ 规范解答·评分标准 解　(1)不等式f(x)＜4－|x－1|，‎ 即|3x＋2|＋|x－1|＜4，‎ 当x＜－时，不等式可化为－3x－2－x＋1＜4，‎ 解得－＜x＜－；………………………………………………………………………1分 当－≤x≤1时，不等式可化为3x＋2－x＋1＜4，‎ 解得－≤x＜；…………………………………………………………………………2分 当x＞1时，不等式可化为3x＋2＋x－1＜4，无解 ‎……………………………………………………………………………………………3分 综上所述，不等式的解集为.…………………………………………………4分 ‎(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，‎ 当且仅当m＝n＝时，等号成立.………………………………………………………5分 令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝ ‎∴x＝－时，g(x)max＝＋a.……………………………………………………………8分 要使不等式|x－a|－f(x)≤＋对任意的x∈R恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4，‎ 即0＜a≤.……………………………………………………………………………10分 构建答题模板 ‎ ‎[第一步]　解不等式.‎ ‎[第二步]　转化：将恒成立问题或有解问题转化成最值问题.‎ ‎[第三步]　求解：利用求得的最值求解取值范围.‎ ‎1.设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值.‎ 解　(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2，‎ 由此可得x≥3或x≤－1.‎ 故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}.‎ ‎(2)由f(x)≤0，得|x－a|＋3x≤0.‎ 此不等式化为不等式组或 即或 因为a>0，所以不等式组的解集为.‎ 由题设可得－＝－1，故a＝2.‎ ‎2.(2016·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集.‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.‎ ‎(1)解　f(x)＝ 当x≤－时，由f(x)<2，得－2x<2，‎ 解得x>－1，所以－1

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