【数学】2019一轮复习苏教版回归教材纠错例析帮你减少高考失分点4学案
4.数列、不等式
1．等差数列及其性质
(1)等差数列的判定：an＋1－an＝d(d为常数)或an＋1－an＝an－an－1 (n≥2)．
(2)等差数列的性质
①当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)·d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0.
②若公差d>0，则为递增等差数列；若公差d<0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列．
③当m＋n＝p＋q时，则有am＋an＝ap＋aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap.
④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．
⑤为等差数列．
[问题1] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，S20＝17，则S30为________．
答案 15
2．等比数列及其性质
(1)等比数列的判定：＝q(q为常数，q≠0)或＝(n≥2)．
(2)等比数列的性质
①当m＋n＝p＋q时，则有am·an＝ap·aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am·an＝a.
②Sk，S2k－Sk，S3k－S2k(Sk≠0)成等比数列．
[问题2] (1)在等比数列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整数，则a10＝________.
(2)各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.
答案 (1)512 (2)10
3．求数列通项的常见类型及方法
(1)已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳、猜想法．
(2)如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义，可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式．
(3)若已知数列的递推公式为an＋1＝an＋f(n)，可采用累加法．
(4)数列的递推公式为an＋1＝an·f(n)，则采用累乘法．
(5)已知Sn与an的关系，利用关系式an＝ 求an.
(6)构造转化法：转化为等差或等比数列求通项公式．
[问题3] 已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2，则数列{an}的通项公式为an＝________.
答案 n·2n
解析 令x＝2，y＝2n－1，则f(xy)＝f(2n)＝2f(2n－1)＋2n－1f(2)，即an＝2an－1＋2n，＝＋1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，由此可得＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝n·2n.
4．数列求和的方法
(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；
(2)分组求和法；
(3)倒序相加法；
(4)错位相减法；
(5)裂项法
如：＝－；＝.
(6)并项法
数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．
[问题4] 数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N，n≥1)，若a2＝1，Sn是{an}的前n项和，则S21的值为________．
答案
5．如何解含参数的一元二次不等式
解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小，也是分大于、等于、小于三种情况．在解一元二次不等式时，一定要画出二次函数的图象，注意数形结合．
[问题5] 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0 (a>0)．
解 原不等式化为(x－1)<0.
∴当0
1时，不等式的解集为；
当a＝1时，不等式的解集为∅.
6．处理二次不等式恒成立的常用方法
(1)结合二次函数的图象和性质用判别式法，当x的取值为全体实数时，一般应用此法．
(2)转化为求函数最值问题，如大于零恒成立可转化最小值大于零．
(3)能分离变量的，尽量把参变量和变量分离出来．
(4)数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形．
[问题6] 如果kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，则实数k的取值范围是__________．
答案 (－1,0]
解析 当k＝0时，原不等式等价于－2<0，显然恒成立，所以k＝0符合题意．
当k≠0时，由题意，得
解得－11时，直线y＝－ax＋t分别过点(1,0)与(－1,0)时，ax＋y取得最大值与最小值，其值分别为a，－a.
易错点7 运用基本不等式忽视条件
例7 函数y＝的最小值为________．
易错分析 应用基本不等式求函数最值，当等号成立的条件不成立时，往往考虑函数的性质，结合函数的单调性，同时注意函数的定义域．
解析 y＝＝＝＋ .
设t＝，则t≥2，所以函数变为f(t)＝t＋(t≥2)．这时，f(t)在[2，＋∞)上单调递增，所以f(t)≥f(2)＝，所以函数y＝的最小值为.
答案
1．(2017·江苏龙岗中学调研)不等式＞1的解集是________．
答案
解析 ∵不等式＞1，
∴2x2＋x－1＜0，即(2x－1)(x＋1)＜0，
解得－1＜x＜，
∴原不等式的解集为.
2．(2017·江苏苏州质检)已知等差数列{an}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，则d的值为________．
答案 ±2
解析 因为{an}成等差数列，所以a1，a2，a3，a4，a5的均值为a3，所以方差为[(－2d)2＋(－d)2＋0＋(d)2＋(2d)2]＝2d2＝8⇒d＝±2.
3．已知数列{an}满足＝9·(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则(a5＋a7＋a9)＝________.
答案 －3
解析 由已知＝9·＝，所以an＋1＝an＋2，所以数列{an}是公差为2的等差数列，
a5＋a7＋a9＝(a2＋3d)＋(a4＋3d)＋(a6＋3d)＝(a2＋a4＋a6)＋9d＝9＋9×2＝27，(a5＋a7＋
a9)＝27＝－3.
4．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
答案 [－8,0]
解析 当a＝0时，－2≤0，不等式显然成立；
当a≠0时，由题意知
解得－8≤a＜0.
综上可知，－8≤a≤0.
5．(2017·江苏湖滨中学月考)若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9＝－36，S13＝－104，则a5与a7的等比中项为________．
答案 ±4
解析 由解得
所以d＝＝－2，所以a1＝4.
设a5与a7的等比中项为x，则x2＝a5a7＝32，
所以x＝±4.
6．(2017·江苏沛县中学质检)若x，y满足约束条件则z＝2x－y的取值范围是________．
答案 (－4,0]
解析 由z＝2x－y，得y＝2x－z，
作出不等式对应的平面区域(阴影部分)如图，
平移直线y＝2x－z，由图象可知当直线y＝2x－z经过点A(－2,0)时，直线y＝2x－z的截距最大，此时z最小．
当直线y＝2x－z经过点O(0,0)时，直线y＝2x－z的截距最小，此时z最大．
所以z的最小值为－4，最大值为0.
即－4＜z≤0.
7．对于数列{an}，定义数列{bn}满足：bn＝an＋1－an(n∈N*)，且bn＋1－bn＝1(n∈N*)，a3＝1，a4＝－1，则a1＝________.
答案 8
解析 由bn＋1－bn＝1知，数列{bn}是公差为1的等差数列，又b3＝a4－a3＝－2，所以b1
＝－4，b2＝－3，b1＋b2＝(a2－a1)＋(a3－a2)＝a3－a1＝－7，解得a1＝8.
8．已知a，b，c为正实数，且a＋2b≤8c，＋≤，则的取值范围为________．
答案 [27,30]
解析 方法一 由题意可得
设＝x，＝y，则
所求可转化为t＝3x＋8y.
又可化为
可行域如图所示，当直线t＝3x＋8y与曲线y＝相切时有最小值，当直线t＝3x＋8y经过点A时有最大值．
令解得A(2,3)，即tmax＝30.
又y＝，所以y′＝＝－，
解得x＝3，y＝，即切点坐标为，
所以tmin＝27，即t的取值范围为[27,30]．
方法二 因为＋≤≤，
所以8＋＋≤16，即＋≤8，
解得≤≤2，
所以≤
＝8＝8≤30；
由＋≤可知，≥＋，
则≥(3a＋8b)＝15＋＋≥27，
当且仅当＝，即3a＝4b时，取等号．
故的取值范围为[27,30]．
9．已知a＋b＝2，b>0，当＋取最小值时，实数a的值是________．
答案 －2
解析 方法一 ＋＝＋＝＋＋≥－＋2 ＝，
当且仅当a<0，且＝，即a＝－2，b＝4时取等号．
方法二 因为a＋b＝2，b>0，
所以＋＝＋，a<2.
设f(a)＝＋，a<2，
则f(a)＝
当a<0时，f(a)＝－－，
从而f′(a)＝－＝，
故当a<－2时，f′(a)<0；当－20，
故f(a)在(－∞，－2)上是减函数，在(－2,0)上是增函数，
故当a＝－2时，f(a)取得极小值；同理，当0≤a<2时，函数f(a)在a＝处取得极小值.
综上，当a＝－2时，f(a)min＝.
10．若a，b均为正实数，且＋≤m恒成立，则实数m的最小值是________．
答案
解析 由于a，b均为正实数，且＋≤m，
显然有m＞0，b≥a，
两边平方得a＋b－a＋2≤m2b，
即b＋2≤m2b，
于是m2≥1＋2 ，
令＝t(0＜t≤1)，
则m2≥1＋2在0＜t≤1时恒成立，
即m2≥1＋2 ，
从而m2≥2，故m的最小值为.
11．已知函数f(x)＝.
(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，求k的值；
(2)对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围．
解 (1)f(x)＞k⇔kx2－2x＋6k＜0.
由已知{x|x＜－3或x＞－2}是其解集，
得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.
由根与系数的关系可知，(－2)＋(－3)＝，
即k＝－.
(2)因为x＞0，f(x)＝＝≤＝，
当且仅当x＝时取等号．
由已知f(x)≤t对任意x＞0恒成立，故t≥，
即t的取值范围是.
12．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足8Sn＝a＋4an＋3(n∈N*)，且a1，a2，a7依次是等比数列{bn}的前三项．
(1)求数列{an}及{bn}的通项公式；
(2)是否存在常数a＞0且a≠1，使得数列{an－logabn}(n∈N*)是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解 (1)当n＝1时，8a1＝a＋4a1＋3，a1＝1或a1＝3.
当n≥2时，8Sn－1＝a＋4an－1＋3，
an＝Sn－Sn－1＝(a＋4an－a－4an－1)，
从而(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0.
因为{an}的各项均为正数，所以an－an－1＝4.
所以，当a1＝1时，an＝4n－3；
当a1＝3时，an＝4n－1.
又因为当a1＝1时，a1，a2，a7分别为1,5,25，构成等比数列，所以bn＝5n－1.
当a1＝3时，a1，a2，a7分别为3,7,27，不构成等比数列，舍去．
所以数列{an}和{bn}的通项公式分别为an＝4n－3，bn＝5n－1，n∈N*.
(2)存在满足条件的a，理由如下：
由(1)知，an＝4n－3，bn＝5n－1，从而
an－logabn＝4n－3－loga5n－1＝4n－3－(n－1)·loga5＝(4－loga5)n－3＋loga5.
由题意，得4－loga5＝0，所以a＝.
