人教A版数学必修一单元质量评估(三)

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温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。 单元质量评估(三) (第三章) (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2015·洛阳高一检测)函数 f(x)的图象如图所示,函数 f(x)零点的个数为 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【解析】选 D.由图象知与 x 轴有 4 个交点,则函数 f(x)共有 4 个零点. 2.(2015·宜昌高一检测)若函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条 曲线,则下列说法正确的是 ( ) A.若 f(a)f(b)>0,不存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 B.若 f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 C.若 f(a)f(b)>0,有可能存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 D.若 f(a)f(b)<0,有可能不存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 【解析】选 C.f(a)f(b)<0 时,存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0,f(a)f(b)>0 时, 可能存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0. 【补偿训练】下列函数中能用二分法求零点的是 ( ) 【解析】选 C.在 A 中,函数无零点,在 B 和 D 中,函数有零点,但它们在零点两侧 的函数值的符号相同,因此它们都不能用二分法来求零点.而在 C 中,函数图象是 连续不断的,且图象与 x 轴有交点,并且其零点两侧的函数值异号,所以 C 中的函 数能用二分法求其零点. 3.已知方程 x=3-lgx,下列说法正确的是 ( ) A.方程 x=3-lgx 的解在区间(0,1)内 B.方程 x=3-lgx 的解在区间(1,2)内 C.方程 x=3-lgx 的解在区间(2,3)内 D.方程 x=3-lgx 的解在区间(3,4)内 【解析】选 C.2<3-lg2,3>3-lg3,又 f(x)=x+lgx-3 在(0,+∞)上是单调递增的, 所以方程 x=3-lgx 的解在区间(2,3)内. 4.(2015·长沙高一检测)已知 f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,那 么下面命题错误的是 ( ) A.函数 f(x)在(1,2)或[2,3]内有零点 B.函数 f(x)在(3,5)内无零点 C.函数 f(x)在(2,5)内有零点 D.函数 f(x)在(2,4)内不一定有零点 【解析】选 C.f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,则区间(1,3)内必有 零点,(2,5)内不一定有零点,(3,5)内无零点,所以选 C. 5.(2015·临川高一检测)设 x0 是方程 lnx+x=4 的解,则 x0 在下列哪个区间内 ( ) A.(3,4) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 【解析】选 D.令 f(x)=lnx+x-4,由于 f(2)=ln2+2-4<0,f(3)=ln3+3-4>0, f(2)·f(3)<0,又因为函数 f(x)在(2,3)内连续,故函数 f(x)在(2,3)内有零点, 即方程 lnx+x=4 在(2,3)内有解. 6.(2015·新余高一检测)下列方程在区间(0,1)存在实数解的是 ( ) A.x2+x-3=0 B. x+1=0 C. x+lnx=0 D.x2-lgx=0 【解题指南】先从好判断的一次方程、二次方程入手,不好求解的利用函数图象 的交点进行判断. 【 解 析 】 选 C.x2+x-3=0 的 实 数 解 为 x= 和 x= , 不 属 于 区 间 (0,1); x+1=0 的实数解为 x=-2,不属于区间(0,1);x2-lgx=0 在区间(0,1)内无解, 所以选 C,图示如下: 7.(2015·郑州高一检测)函数 f(x)=3x-log2(-x)的零点所在区间是 ( ) A. B.(-2,-1) C.(1,2) D. 【解题指南】本题如果注意到定义域可排除 C,D 选项,用 f(a)·f(b)<0 去验证 B 选项即可得到答案. 【解 析】 选 B.f(x)=3x-log2(-x)的定 义域为 (-∞,0),所以 C,D 不能 选; 又 f(-2)·f(-1)<0,且 f(x)在定义域内是单调递增函数,故零点在(-2,-1)内. 【补偿训练】在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 C.将选项代入 f(x)=ex+4x-3. 检验 f f =( -2)( -1)<0, 且 f(x)=ex+4x-3 的图象在 上连续不断,故选 C. 8.某种型号的手机自投放市场以来,经过两次降价,单价由原来的 2000 元降到 1280 元,则这种手机的价格平均每次降低的百分率是 ( ) A.10% B.15% C.18% D.20% 【解析】选 D.设平均每次降低的百分率为 x,则 2000(1-x)2=1280,解得 x=0.2, 故平均每次降低的百分率为 20%. 9.向高为 H 的圆锥形漏斗注入化学溶液(漏斗下方口暂时关闭),注入溶液量 V 与 溶液深度 h 的函数图象是 ( ) 【解析】选 A.注入溶液量 V 随溶液深度 h 的增加增长越来越快,故选 A. 10.若方程 ax-x-a=0 有两个解,则 a 的取值范围是 ( ) A.(1,+∞) B.(0,1) C.(0,+∞) D.∅ 【解析】选 A.画出 y1=ax,y2=x+a 的图象知 a>1 时成立. 【补偿训练】函数 f(x)= +k 有两个零点,则 ( ) A.k=0 B.k>0 C.0≤k<1 D.k<0 【解析】选 D.在同一平面直角坐标系中画出 y1= 和 y2=-k 的图象: 由图象知,-k>0 即 k<0. 11.(2015·福州高一检测)若函数 f 的零点与 g =4x+2x-2 的零点之差的绝对 值不超过 0.25,则 f 可以是 ( ) A.f =4x-1 B.f =(x-1)2 C.f =ex-1 D.f =ln 【解析】选 A.f =4x-1 的零点为 x= ,f =(x-1)2 的零点为 x=1,f =ex-1 的 零点为x=0,f =ln 的零点为x= .现在我们来估算g =4x+2x-2的零点, 因为 g(0)= -1,g =1,g <0,且 g(x)在定义域上是单调递增函数,所以 g(x) 的零点 x∈ ,又函数 f 的零点与 g =4x+2x-2 的零点之差的绝对值不超 过 0.25,只有 f =4x-1 的零点适合. 12.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距 80km 的两城镇间旅行的 函数图象,由图可知:骑自行车者用了 6 小时,沿途休息了 1 小时,骑摩托车者用 了 2 小时,根据这个函数图象,推出关于这两个旅行者的如下信息: ①骑自行车者比骑摩托车者早出发了 3 小时,晚到 1 小时; ②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动; ③骑摩托车者在出发了 1.5 小时后,追上了骑自行车者.其中正确信息的序号是 ( ) A.①②③ B.①③ C.②③ D.①② 【解析】选 A.由图象可得:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了 3 小时,晚到 1 小时,正确;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动,正确;③骑摩托 车者在出发了 1.5 小时后,追上了骑自行车者,正确. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线 上) 13.(2015·南昌高一检测)用“二分法”求方程 x3-2x-5=0 在区间[2,3]内的实根, 取区间中点为 x0=2.5,那么下一个有根的区间是 . 【解析】令 f(x)=x3-2x-5,f(2.5)·f(2)<0 所以下一个有根的区间是(2,2.5). 答案:(2,2.5) 14.已知函数 f(x)= 若关于 x 的方程 f(x)-k=0 有唯一一个实数根,则实数 k 的取值范围是 . 【解析】关于 x 的方程 f(x)-k=0 有唯一一个实数根,等价于函数 y=f(x)与 y=k 的图象有唯一一个交点,在同一个平面直角坐标系中作出它们的图象.由图象可 知实数 k 的取值范围是[0,1)∪(2,+∞). 答案:[0,1)∪(2,+∞) 【 补 偿 训 练 】 若 函 数 f(x)=|7x-1|-k 有 两 个 零 点 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是 . 【解析】函数 f(x)=|7x-1|-k 有两个零点,等价于方 程 k=|7x-1|有两个不等实根, 即函数 y=|7x-1|的图象与 y=k 的图象有两个公共点, 结合图象知 00,f(x)=lgx+x-3 是 单调递增函数,所以 k=2. 答案:2 16.定义在 R 上的偶函数 y=f(x),当 x≥0 时,y=f(x)是单调递减的,f(1)·f(2)<0, 则 y=f(x)的图象与 x 轴的交点个数是 . 【解析】f(1)·f(2)<0,y=f(x)在区间(1,2)内有一个零点,由偶函数的对称性知, 在区间(-2,-1)内也有一个零点,所以共有 2 个零点. 答案:2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 17.(10 分)(2015·杭州高一检测)已知函数 f(x)的图象是连续的,有如下表格, 判断函数在哪几个区间上有零点. x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 f(x) -3.51 1.02 2.37 1.56 -0.38 1.23 2.77 3.45 4.89 【 解 析 】 因 为 函 数 的 图 象 是 连 续 不 断 的 , 并 且 由 对 应 值 表 可 知 f ·f <0,f ·f(0)<0,f ·f <0,所以函数 f 在区间 (-2,-1.5),(-0.5,0)以及(0,0.5)内有零点. 18.(12 分)设 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab 的两个零点分别是-3,2. (1)求 f(x). (2)当函数 f(x)的定义域为[0,1]时,求其值域. 【解析】(1)因为 f(x)的两个零点分别是-3,2,所以 即 解得 a=-3,b=5, f(x)=-3x2-3x+18. (2)由(1)知 f(x)=-3x2-3x+18 的对称轴 x=- ,函数开口向下,所以 f(x)在[0,1] 上为减函数,f(x)的最大值 f(0)=18,最小值 f(1)=12,所以值域为[12,18]. 19.(12 分)用二分法求方程 2x+x-8=0 在区间(2,3)内的近似解.(精确度为 0.1, 参考数据:22.5≈5.657,22.25≈4.757,22.375≈5.187,22.4375≈5.417,22.75≈6.727) 【解析】设函数 f(x)=2x+x-8, 则 f(2)=22+2-8=-2<0, f(3)=23+3-8=3>0, 所以 f(2)·f(3)<0, 说明这个函数在区间(2,3)内有零点 x0,即原方程的解. 用二分法逐次计算,列表如下: 区间 中点的值 中点函数近似值 (2,3) 2.5 0.157 (2,2.5) 2.25 -0.993 (2.25,2.5) 2.375 -0.438 (2.375,2.5) 2.437 5 -0.145 5 由表可得 x0∈(2,2.5),x0∈(2.25,2.5), x0∈(2.375,2.5),x0∈(2.4375,2.5). 因为|2.4375-2.5|=0.0625<0.1, 所以方程 2x+x-8=0 在区间(2,3)内的近似解可取为 2.4375. 20.(12 分)(2015·潍坊高一检测)已知二次函数 f(x)的图象过点(0,3),它的图 象的对称轴为 x=2,且 f(x)的两个零点的平方和为 10,求 f(x)的解析式. 【解题指南】设出解析式,利用根与系数的关系求出未知量. 【解析】设二次函数为 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意知:c=3,- =2. 设 x1,x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两根, 则 + =10,所以(x1+x2)2-2x1x2=10, 所以 - =10,所以 16- =10, 所以 a=1.代入- =2 中,得 b=-4. 所以 f(x)=x2-4x+3. 21.(12 分)(2015·徐州高一检测)在经济学中,函数 f(x)的边际函数为 Mf(x), 定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x),某公司每月最多生产 100 台报警系统装置,生产 x 台 的收入函数为 R(x)=3000x-20x2(单位:元),其成本函数为 C(x)=500x+4000(单位: 元),利润的函数等于收入与成本之差.求出利润函数 p(x)及其边际利润函数 Mp(x);判断它们是否具有相同的最大值;并写出本题中边际利润函数 Mp(x)最大 值的实际意义. 【解析】p(x)=R(x)-C(x)=-20x2+2500x-4000,x∈[1,100],x∈N,所以 Mp(x)=p(x+1)-p(x)=[-20(x+1)2+2500(x+1)-4000]-(-20x2+2500x-4000), =2480-40x,x∈[1,100],x∈N; 所以 p(x)=-20 +74125,x∈[1,100],x∈N, 故当 x=62 或 63 时,p(x)max=74120(元), 因为 Mp(x)=2480-40x 为减函数,当 x=1 时有最大值 2440.故不具有相等的最大值. 边际利润函数取最大值时,说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大. 22.(12 分)A 地某校准备组织学生及学生家长到 B 地进行社会实践,为便于管理, 所有人员必须乘坐在同一列火车上;根据报名人数,若都买一等座单程火车票需 17010 元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需 11220 元;已知学生家长与 教师的人数之比为 2∶1,从 A 到 B 的火车票价格(部分)如下表所示: 运行区间 公布票价 学生票 上车站 下车站 一等座 二等座 二等座 A B 81(元) 68(元) 51(元) (1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人? (2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买 x 张(x 小于参加社会实践的人数), 其余的须买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计 最经济的购票方案,并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式. (3)请你做一个预算,按第(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花多少 钱?最多要花多少钱? 【解析】(1)设参加社会实践的老师有 m 人,学生有 n 人,则学生家长有 2m 人,若 都买二等座单程火车票且花钱最少,则全体学生都需买二等座火车票,依题意 得: 解得 则 2m=20, 答:参加社会实践的老师、家长与学生各有 10 人、20 人与 180 人. (2)由(1)知所有参与人员总共有 210 人,其中学生有 180 人, ①当 180≤x<210 时,最经济的购票方案为: 学生都买学生票共 180 张,(x-180)名成年人买二等座火车票,(210-x)名成年人 买一等座火车票. 所以火车票的总费用(单程)y 与 x 之间的函数关系式为: y=51×180+68(x-180)+81(210-x), 即 y=-13x+13950(180≤x<210). ②当 0

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