2020版高中数学 第2章 数列第2课时 等差数列前n项和的综合应用

2020版高中数学 第2章 数列第2课时 等差数列前n项和的综合应用

第2课时　等差数列前n项和的综合应用 ‎1.掌握等差数列前n项和的性质及应用.(重点) ‎2.会求等差数列前n项和的最值.(重点、易错点) ‎3.能用裂项相消法求和.(难点) ‎[基础·初探]‎ 教材整理　等差数列前n项和的性质 阅读教材P40～P41，完成下列问题. ‎ ‎1.Sn与an的关系 an＝ ‎2.等差数列前n项和的性质 ‎(1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列.‎ ‎(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数).‎ ‎3.等差数列前n项和Sn的最值 ‎(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值.‎ ‎(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值.‎ 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值.‎ ‎1.下列说法中正确的有________.(填序号)‎ ‎(1)若Sn为等差数列{an} 的前n项和，则数列也是等差数列；‎ ‎(2)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1；‎ ‎(3)若a1>0，d<0，则等差数列中所有正项之和最大；‎ ‎(4)在等差数列中，Sn是其前n项和，则有S2n－1＝(2n－1)an.‎ ‎【解析】　(1)正确.因为由等差数列前n项和公式知＝n＋a1－d，所以数列为等差数列.‎ 9‎ ‎(2)错误.当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.‎ ‎(3)正确.由实数的运算可知该说法正确.‎ ‎(4)正确.因为S2n－1＝ ‎＝[an＋(1－n)d＋an＋(n－1)d]＝(2n－1)an.‎ ‎【答案】　(1)(3)(4)‎ ‎2.一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为________.‎ ‎【解析】　由条件知a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝30，‎ 又∵a1＋a11＝a3＋a9＝a5＋a7，∴a5＋a7＝‎2a6＝10，‎ ‎∴中间项a6＝5.‎ ‎【答案】　5‎ ‎3.等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则S6＝________.‎ ‎【解析】　由S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，‎ ‎∴4＋(S6－9)＝2×5，∴S6＝15.‎ ‎【答案】　15‎ ‎4.已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为________.‎ ‎【解析】　由an≤0得，2n－48≤0，n≤24.‎ ‎∴当n＝23或24时，Sn最小.‎ ‎【答案】　23或24‎ ‎[小组合作型]‎ 由数列的前n项和Sn求an ‎　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？‎ ‎【精彩点拨】　‎ 9‎ ‎【自主解答】　根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an与Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1)，‎ 可知，当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2＋(n－1)＝2n－，①‎ 当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，‎ 也满足①式.‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an＝2n－.‎ 由此可知：数列{an}是以为首项，以2为公差的等差数列.‎ ‎1.已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示.‎ ‎2.由数列的前n项和Sn求an的方法，不仅适用于等差数列，它也适用于其他数列.‎ ‎[再练一题]‎ ‎1.已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式.‎ ‎(1)Sn＝2n2－3n；‎ ‎(2)Sn＝3n－2.‎ ‎【解】　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1；‎ 当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5，‎ 则an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5)‎ ‎＝2n2－3n－2n2＋7n－5‎ ‎＝4n－5.‎ 此时若n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1，‎ 故an＝4n－5.‎ ‎(2)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1；‎ 当n≥2时，Sn－1＝3n－1－2，‎ 则an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1‎ ‎＝3·3n－1－3n－1＝2·3n－1.‎ 此时若n＝1，an＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1，‎ 故an＝ 9‎ 等差数列前n项和的性质应用 ‎　(1)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为(　　) ‎ ‎【导学号：18082028】‎ A.9 B.12‎ C.16 D.17‎ ‎(2)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________.‎ ‎【精彩点拨】　(1)解决本题关键是能发现S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，a17＋a18＋a19＋a20能构成等差数列.‎ ‎(2)利用等差数列奇偶项和的性质求解，或利用“基本量法”求解.‎ ‎【自主解答】　(1)法一：由题意知：S4＝1，S8－S4＝3，‎ 而S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16成等差数列.‎ 即1,3,5,7,9，‎ a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝9.‎ 法二：S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1， ①‎ S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝3， ②‎ 由②－①得4×4d＝2，即8d＝1，‎ ‎∴a17＋a18＋a19＋a20＝(a5＋a6＋a7＋a8)＋4×12d ‎＝3＋48d＝3＋6＝9.‎ 法三： 即②－①得d＝，‎ ‎∴a17＋a18＋a19＋a20＝‎4a17＋ ‎＝4＝4 ‎＝4＋64d＝1＋8＝9.‎ ‎(2)法一：(巧用性质)因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝，即132－120＝，解得n＝10.‎ 法二：(基本量思想)可设等差数列的首项为a1，公差为d.依题意可列方程组 即 9‎ 所以＝，即n＝10.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)10‎ 若数列{an}为等差数列，公差为d，其前n项和为Sn.‎ ‎(1)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成公差为k2d的等差数列.‎ ‎(2)若项数为2n项，则Sn＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，S偶∶S奇＝an＋1∶an；若项数为2n＋1项，则S2n＋1＝(2n＋1)a2n＋1，S偶－S奇＝－an＋1，S偶∶S奇＝n∶n＋1.‎ ‎[再练一题]‎ ‎2.(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，则S13＝____________________.‎ ‎(2)等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________. ‎ ‎【导学号：18082029】‎ ‎【解析】　(1)由a2＋a7＋a12＝24，得a7＝8.‎ 所以S13＝×13＝a7·13＝104.‎ ‎(2)因为an＝2n＋1，所以a1＝3.‎ 所以Sn＝＝n2＋2n，所以＝n＋2，‎ 所以是公差为1，首项为3的等差数列，‎ 所以前10项和为3×10＋×1＝75.‎ ‎【答案】　(1)104　(2)75‎ ‎[探究共研型]‎ 等差数列前n项和Sn的函数特征 探究1　将首项为a1＝2，公差d＝3的等差数列的前n项和看作关于n的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n项和为Sn＝3n2＋n，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？‎ ‎【提示】　首项为2，公差为3的等差数列的前n项和为Sn＝2n＋＝n2＋n，‎ 9‎ 显然Sn是关于n的二次型函数.‎ 如果一个数列的前n项和为Sn＝3n2＋n，那么当n＝1时，S1＝a1＝4.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n－2，则该数列的通项公式为an＝6n－2，所以该数列为等差数列.‎ 一般地，等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋d＝n2＋n，若令A＝，B＝a1－，则上式可写成Sn＝An2＋Bn(A，B可以为0).‎ 探究2　已知一个数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n，试画出Sn关于n的函数图象.‎ 你能说明数列{an}的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？‎ ‎【提示】　Sn＝n2－5n＝－，它的图象是分布在函数y＝x2－5x的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了{an}前n项为负数.由Sn的图象可知，Sn有最小值且当n＝2或3时，Sn最小，最小值为－6，即数列{an}前2项或前3项和最小.‎ ‎　数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)问{an}的前多少项和最大；‎ ‎(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和S′n.‎ ‎【精彩点拨】　(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项.‎ ‎(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解.‎ ‎(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解.‎ ‎【自主解答】　(1)法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，‎ 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n.故{an}的通项公式为an＝34－2n.‎ 法二：由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知 9‎ 解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.‎ ‎(2)法一：令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，‎ 故数列{an}的前17项大于或等于零.‎ 又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大.‎ 法二：由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝.‎ 距离最近的整数为16,17.由Sn＝－n2＋33n的 图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0，‎ 故数列{an}的前16项或前17项的和最大.‎ ‎(3)由(2)知，当n≤17时，an≥0；‎ 当n≥18时，an<0.‎ 所以当n≤17时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|‎ ‎＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.‎ 当n≥18时，‎ Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|‎ ‎＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)‎ ‎＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn ‎＝n2－33n＋544.‎ 故Sn′＝ ‎1.在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法 ‎(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小).‎ ‎(2)借助二次函数的图象及性质求最值.‎ ‎2.寻求正、负项分界点的方法 ‎(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找.‎ ‎(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点.‎ ‎3.求解数列{|an|}的前n项和，应先判断{an}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题.‎ ‎[再练一题]‎ ‎3.在等差数列中，a10＝23，a25＝－22.‎ 9‎ ‎(1)该数列第几项开始为负；‎ ‎(2)求数列{|an|}的前n项和.‎ ‎【解】　设等差数列{an}中，公差为d，由题意得 ‎∴ ‎(1)设第n项开始为负，‎ an＝50－3(n－1)＝53－3n<0，‎ ‎∴n>，‎ ‎∴从第18项开始为负.‎ ‎(2)|an|＝|53－3n|‎ ‎＝ 当n≤17时，Sn′＝－n2＋n；‎ 当n>17时，‎ Sn′＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|‎ ‎＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)，‎ Sn′＝－＋2S17‎ ‎＝n2－n＋884，‎ ‎∴Sn′＝ ‎1.设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和.若S10＝S11，则a1＝(　　)‎ A.18 B‎.20 ‎‎ C.22 D.24‎ ‎【解析】　由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，‎ a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.‎ ‎【答案】　B ‎2.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　)‎ A.5 B‎.4 ‎‎ C.3 D.2‎ ‎【解析】　由题意得S偶－S奇＝5d＝15，‎ ‎∴d＝3.‎ 或由解方程组 求得d＝3，故选C.‎ 9‎ ‎【答案】　C ‎3.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.‎ ‎【解析】　当n＝1时，a1＝S1＝2，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－1)－[(n－1)2－1]‎ ‎＝2n－1，又因为n＝1时an＝2n－1＝1≠a1，‎ 所以an＝ ‎【答案】　 ‎4.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值为________. ‎ ‎【导学号：18082030】‎ ‎【解析】　等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.‎ ‎【答案】　－1‎ ‎5.已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n.‎ ‎(1)求数列 {an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解】　(1)∵Sn＝2n2－30n，‎ ‎∴当n＝1时，a1＝S1＝－28.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－30n)－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.‎ 当n＝1时也满足此式，‎ ‎∴an＝4n－32，n∈N＋.‎ ‎(2)由(1)知bn＝an＋an＋1＝(4n－32)＋(4n－28)＝8n－60，‎ ‎∴数列{bn}是以8为公差的等差数列，‎ b1＝－52，∴Tn＝×n＝4n2－56n.‎ 9‎