2012年浙江高考理科数学试题及解析

2012年浙江高考理科数学试题及解析

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）‎ ‎ 数 学（理科）‎ 选择题部分（共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x 2－2x－3≤0}，则A∩(RB)＝‎ A．(1，4) B．(3，4) C．(1，3) D．(1，2)‎ ‎【解析】A＝(1，4)，B＝(－3，1)，则A∩(RB)＝(1，4)．‎ ‎【答案】A ‎2．已知i是虚数单位，则＝‎ A．1－2i B．2－i C．2＋i D．1＋2i ‎【解析】＝＝＝1＋2i．‎ ‎【答案】D ‎3．设aR，则“a＝‎1”‎是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0显然平行；若直线l1与直线l2平行，则有：，解之得：a＝1 or a＝﹣2．所以为充分不必要条件．‎ ‎【答案】A ‎4．把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是 ‎【解析】把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y1＝cosx＋1，向左平移1个单位长度得：y2＝cos(x—1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y3＝cos(x—1)．令x＝0，得：y3＞0；x＝，得：y3＝0；观察即得答案．‎ ‎【答案】B ‎5．设a，b是两个非零向量．‎ A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|‎ C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|‎ ‎【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实 数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．‎ ‎【答案】C ‎6．若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 ‎【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：‎ ‎4个都是偶数：1种；‎ ‎2个偶数，2个奇数：种；‎ ‎4个都是奇数：种．‎ ‎∴不同的取法共有66种．‎ ‎【答案】D ‎7．设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是 A．若d＜0，则数列{S n}有最大项 B．若数列{S n}有最大项，则d＜0‎ C．若数列{S n}是递增数列，则对任意的nN*，均有S n＞0‎ D．若对任意的nN*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列 ‎【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n}是递增数列，但是S n＞0不成立．‎ ‎【答案】C ‎8．如图，F1，F2分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F‎1F2|，则C的离心率是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【解析】如图：|OB|＝b，|O F1|＝c．∴kPQ＝，kMN＝﹣．‎ 直线PQ为：y＝(x＋c)，两条渐近线为：y＝x．由，得：Q(，)；由，得：P(，)．∴直线MN为：y－＝﹣(x－)，‎ 令y＝0得：xM＝．又∵|MF2|＝|F‎1F2|＝‎2c，∴‎3c＝xM＝，解之得：，即e＝．‎ ‎【答案】B ‎9．设a＞0，b＞0‎ A．若，则a＞b B．若，则a＜b C．若，则a＞b D．若，则a＜b ‎【解析】若，必有．构造函数：，则恒成立，故有函数在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除．‎ ‎【答案】A ‎10．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝．将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着，在翻着过程中，‎ A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 ‎【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C是正确的．‎ ‎【答案】C 非选择题部分（共100分）‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．‎ ‎11．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三 棱锥的体积等于___________cm3．‎ ‎【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于．‎ ‎【答案】1‎ ‎12．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ‎______________．‎ ‎【解析】T，i关系如下图：‎ T ‎1‎ i ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎【答案】‎ ‎13．设公比为q(q＞0)的等比数列{a n}的前n项和为{S n}．若 ‎ ‎，，则q＝______________．‎ ‎【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子．‎ 即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)．‎ ‎【答案】‎ ‎14．若将函数表示为 ‎ 其中，，，…，为实数，则＝______________．‎ ‎【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．‎ 即：．‎ 法二：对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用赋值法，令得：，即．‎ ‎【答案】10‎ ‎15．在ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝______________．‎ ‎【解析】此题最适合的方法是特例法．‎ 假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图，‎ AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝．‎ cos∠BAC＝．＝‎ ‎【答案】29‎ ‎16．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x 2＋a到直线l：y＝x的距离等于C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2到直线l：y＝x的距离，‎ 则实数a＝______________．‎ ‎【解析】C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l：y＝x的距离为：，故曲线C2到直线l：y＝x的距离为．‎ 另一方面：曲线C1：y＝x 2＋a，令，得：，曲线C1：y＝x 2＋a到直线l：y＝x的距离的点为(，)，．‎ ‎【答案】‎ ‎17．设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝______________．‎ ‎【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况：‎ ‎(A)， 无解；‎ ‎(B)， 无解．‎ 因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图)‎ 我们知道：函数y1＝(a－1)x－1，y2＝x 2－ax－1都过定点P(0，1)．‎ 考查函数y1＝(a－1)x－1：令y＝0，得M(，0)，还可分析得：a＞1；‎ 考查函数y2＝x 2－ax－1：显然过点M(，0)，代入得：，解之得：，舍去，得答案：．‎ ‎【答案】‎ 三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．(本小题满分14分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝，‎ sinB＝cosC．‎ ‎(Ⅰ)求tanC的值；‎ ‎(Ⅱ)若a＝，求ABC的面积．‎ ‎【解析】本题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。‎ ‎(Ⅰ)∵cosA＝＞0，∴sinA＝，‎ 又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA ‎＝cosC＋sinC．‎ 整理得：tanC＝．‎ ‎(Ⅱ)由图辅助三角形知：sinC＝‎ 又由正弦定理知：，‎ 故． (1)‎ 对角A运用余弦定理：cosA＝． (2)‎ 解(1) (2)得： or b＝(舍去)．‎ ‎∴ABC的面积为：S＝．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ．‎ ‎19．(本小题满分14分)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．‎ ‎(Ⅰ)求X的分布列；‎ ‎(Ⅱ)求X的数学期望E(X)．‎ ‎【解析】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。‎ ‎(Ⅰ) X的可能取值有：3，4，5，6．‎ ‎ ； ;‎ ‎； ．‎ 故，所求X的分布列为 X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎ (Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为：‎ E(X)＝．‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) ．‎ ‎20．(本小题满分15分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点．‎ ‎(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；‎ ‎(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．‎ ‎【解析】本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。‎ ‎(Ⅰ)如图连接BD.‎ ‎∵M，N分别为PB，PD的中点，‎ ‎∴在PBD中，MN∥BD．‎ 又MN平面ABCD，‎ ‎∴MN∥平面ABCD；‎ ‎(Ⅱ)如图建系：‎ A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，，0)，‎ N(，0，0)，C(，3，0)．‎ 设Q(x，y，z)，则．‎ ‎∵，∴．‎ 由，得：． 即：．‎ 对于平面AMN：设其法向量为．‎ ‎∵．‎ 则． ∴．‎ 同理对于平面AMN得其法向量为．‎ 记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为，‎ 则．‎ ‎∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为．‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) ．‎ ‎21．(本小题满分15分)如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程；‎ ‎(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程．‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)由题：； (1)‎ 左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：． (2)‎ 由(1) (2)可解得：．‎ ‎∴所求椭圆C的方程为：．‎ ‎(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．‎ ‎∵A，B在椭圆上，‎ ‎∴．‎ 设直线AB的方程为l：y＝﹣(m≠0)，‎ 代入椭圆：．‎ 显然．‎ ‎∴﹣＜m＜且m≠0．‎ 由上又有：＝m，＝．‎ ‎∴|AB|＝||＝＝．‎ ‎∵点P(2，1)到直线l的距离为：．‎ ‎∴SABP＝d|AB|＝|m＋2|，‎ 当|m＋2|＝，即m＝﹣3 or m＝0(舍去)时，(SABP)max＝．‎ 此时直线l的方程y＝﹣．‎ ‎【答案】 (Ⅰ) ；(Ⅱ) y＝﹣．‎ ‎22．(本小题满分14分)已知a＞0，bR，函数．‎ ‎(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，‎ ‎(ⅰ)函数的最大值为|‎2a－b|﹢a；‎ ‎(ⅱ) ＋|‎2a－b|﹢a≥0；‎ ‎(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．‎ ‎【解析】本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。‎ ‎(Ⅰ)‎ ‎(ⅰ)．‎ 当b≤0时，＞0在0≤x≤1上恒成立，‎ 此时的最大值为：＝|‎2a－b|﹢a；‎ 当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，‎ 此时的最大值为：‎ ‎＝|‎2a－b|﹢a；‎ 综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|‎2a－b|﹢a；‎ ‎(ⅱ) 要证＋|‎2a－b|﹢a≥0，即证＝﹣≤|‎2a－b|﹢a．‎ 亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|‎2a－b|﹢a，‎ ‎∵，∴令．‎ 当b≤0时，＜0在0≤x≤1上恒成立，‎ 此时的最大值为：＝|‎2a－b|﹢a；‎ 当b＜0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，‎ ‎≤|‎2a－b|﹢a；‎ 综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|‎2a－b|﹢a．‎ 即＋|‎2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立．‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数在0≤x≤1上的最大值为|‎2a－b|﹢a，‎ 且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|‎2a－b|﹢a)要大．‎ ‎∵﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，‎ ‎∴|‎2a－b|﹢a≤1．‎ 取b为纵轴，a为横轴．‎ 则可行域为：和，目标函数为z＝a＋b．‎ 作图如下：‎ 由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P(1，2)时，有．‎ ‎∴所求a＋b的取值范围为：．‎ ‎【答案】(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ) ．‎