河北省衡水中学2020届高三上学期期中考试数学(文)试题 含解析

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河北省衡水中学2020届高三上学期期中考试数学(文)试题 含解析

‎2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)期中数学试卷(文科)‎ 一、选择题(本大题共12小题)‎ 1. 下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的是 A. B. C. D. ‎ 2. 等差数列的前n项和为,已知,且,则等于 A. 100 B. ‎50 ‎C. 0 D. ‎ 3. 已知曲线在点处的切线与直线垂直,则实数a的值为   ‎ A. B. C. 1 D. 4‎ 4. 在中,D是AB边上一点,,且,则的值为 A. B. C. D. ‎ 5. 已知双曲线的离心率,且与椭圆有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. ‎ 6. 已知角满足,则 A. B. C. D. ‎ 7. 已知函数的部分图象如图所示,则 A. B. C. D. ‎ 8. 已知各项不为0的等差数列满足,数列是等比数列且,则等于 A. B. C. D. ‎ 9. 已知点P为双曲线右支上一点,点,分别为双曲线的左右焦点,点I是的内心三角形内切圆的圆心,若恒有成立,则双曲线的离心率取值范围是 A. B. C. D. ‎ 10. 函数向右平移个单位后得到,若在上单调递增,则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 11. 已知函数,若当时,有解,则m的取值范围为 A. B. C. D. ‎ 12. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆:,圆:,点,若点A,B分别为圆和圆上的动点,且,N为线段AB的中点,则MN的最小值为    ‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ 二、填空题(本大题共4小题)‎ 13. 己知向量,,则在方向上的投影为______.‎ 14. 若函数只有一个极值点,则k的取值范围为______.‎ 15. 已知抛物线E:的焦点为F,准线为,过F的直线m与E交于A,B两点,过A作,垂足为M,AM的中点为N,若,则______‎ 16. 数列为1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4,,首先给出,接着复制该项后,再添加其后继数2,于是,,然后再复制前面所有的项1,1,2,再添加2的后继数3,于是,,,,接下来再复制前面所有的项1,1,2,1,1,2,3,再添加4,,如此继续,则______.‎ 三、解答题(本大题共6小题)‎ 1. 己知的面积为,且且. 求角A的大小; 设M为BC的中点,且,的平分线交BC于N,求线段AN的长度. ‎ 2. 已知等差数列前n项和,等比数列前n项和为,,,. 若,求数列的通项公式; 若,求. ‎ 3. 已知点F为抛物线E:的焦点,点在抛物线E上,且.‎ 求抛物线E的方程; 已知点,延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切. ‎ 4. 已知数列的各项均为正数,它的前n项和满足,并且,,成等比数列. 求数列的通项公式; 设,为数列的前n项和,求. ‎ 1. 已知函数,.‎ Ⅰ求函数的单调区间;‎ Ⅱ令两个零点,,证明:. ‎ 2. 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:的焦距为4,且过点.‎ 求椭圆C的方程 设椭圆C的上顶点为B,右焦点为F,直线l与椭圆交于M、N两点,问是否存在直线l,使得F为的垂心,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由. ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查函数的单调性,奇偶性,是基础题.根据函数单调性,奇偶性,对选项逐一判断即可. 【解答】 解:对于A,函数满足,定义域关于原点对称,且在上单调递增,故A正确; 对于B,,定义域关于原点对称,函数为偶函数,但在上单调递减,故B错; 对于C,函数不是偶函数,故C错; 对于D,,定义域关于原点对称,函数为偶函数,但在上不是增函数,故D错; 故选A. 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解:设等差数列的公差为d,又, , 解得, , 故选:C. 由题意可得公差d的方程,解得d值代入等差数列的求和公式计算可得. 本题考查等差数列的性质和求和公式,求出公差是解决问题的关键,属基础题. 3.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查导数的运用:求切线的斜率,考查两直线垂直的条件,化简运算能力,属于基础题. 求得的导数,可得切线的斜率,由两直线垂直的条件可得a的方程,解方程可得所求值. 【解答】 解:的导数为, 可得在点处的切线斜率为, 由切线与直线垂直,可得, 即. 故选:C. 4.【答案】D ‎ ‎【解析】 解:由在中,D是AB边上一点,, 则, 即, 故选:D. 由平面向量的线性运算可得:,即,得解. 本题考查了平面向量基本定理及向量的线性运算,属中档题. 5.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查椭圆,双曲线的基本元素之间的关系问题,同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查. 先根据椭圆的方程求出焦点坐标,得到双曲线的c值,再由离心率求出a的值,最后根据得到b的值,可得到渐近线的方程. 【解答】 解:椭圆的焦点为, 故双曲线中的,且满足,故, , 所以双曲线的渐近线方程为 故选C. 6.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查了诱导公式,二倍角公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.由已知利用诱导公式可求,根据诱导公式,二倍角公式化简所求即可计算得解. 【解答】 解:, . 故选D. 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解:由函数的部分图象, 可得,由,求得. 再根据五点法作图,可得,,, , 故选:C. 由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,可得函数的解析式,从而求得的值. 本题主要考查由函数的部分图象求解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,属于基础题. 8.【答案】C ‎ ‎【解析】解:由, 得, 即, 即, ,, 则. 故选:C. 由条件利用等差数列的性质可得,求得  的值,再根据计算. 本题考查等差数列、等比数列的性质,求出是解题的关键,属于中档题. 9.【答案】D ‎ ‎【解析】解:设的内切圆半径为r,则,, , , , 由双曲线的定义可知:,, ,即. 又, 双曲线的离心率的范围是 故选:D. 根据条件和面积公式得出a,c的关系,从而得出离心率的范围. 本题考查了双曲线的性质,考查直线与双曲线位置关系的应用,考查计算能力,是中档题. 10.【答案】D ‎ ‎【解析】解:函数向右平移个单位后得到, 令,整理得, 由于在上单调递增, 所以,解得,由于,所以. 同理,解得,由于,所以. 故:的取值范围是 故选:D. 首先利用三角函数关系式的平移变换的应用求出的关系式,进一步利用函数的单调性和子集间的关系的应用求出结果. 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数性质的应用,三角函数的图象的平移变换的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型. 11.【答案】C ‎ ‎【解析】解:, 令,解得, 当时,,当时, 0'/>, 在上递减,在上递增, 当时,, 又,,, , , 故选:C. 先求导,判断出函数的单调性,可得函数值的情况,即可求出m的取值范围. 本题考查了导数和函数单调性和最值的关系,考查了运算能力和转化能力,属于中档题. 12.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查直线和圆的位置关系,两点间的距离公式,圆的标准方程,属于中档题. 设、,由已知条件可得设AB 中点为,则,利用线段的中点公式求得,再由的范围求得的范围,则的最小值可求. 【解答】 解:设、,则 ,, ,即, , 设AB中点,则, , , 即, 点的轨迹是以为圆心、半径等于的圆, 的取值范围是,, 的范围为,则的最小值为1. 故选:A. 13.【答案】1 ‎ ‎【解析】解:向量,, ,, 在方向上的投影为,. 故答案为:1. 根据,,得在上的投影为,,求出,代入投影的公式计算即可. 本题考查了平面向量的坐标运算,属于基础题. 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解:函数只有一个极值点, , 若函数只有一个极值点,只有一个实数解, 则:, 从而得到:, 当时,成立. 当时,设,, 如图: 当两函数相切时,,此时得到k的最大值,但时不成立. 故k的取值范围为: 综上:k的取值范围为: 故答案为:. 利用函数求导函数 ,只有一个极值点时只有一个实数解有,设新函数设,,等价转化数形结合法即可得出结论, 本题考查了利用导数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法,数形结合法,考查了推理能力,属于中档题. 15.【答案】16 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线位置关系的应用,是中档题. 由题意画出图形,得到直线AB的斜率,进一步求得直线AB的方程,与抛物线方程联立求解即可得答案. 【解答】 解:由题意画出图形如图, ‎ ‎ ,N为AM的中点,且, ,则直线AB的倾斜角为,斜率为. 由抛物线,得,则直线AB的方程为. 联立,得. 则, . 故答案为16. 16.【答案】1 ‎ ‎【解析】解:由数列的构造方法可知,,,, 可得,即, 故. 故答案为:1. 由数列的构造方法可知,,,,可得,即,进而得出结论. 本题考查了数列递推关系、归纳法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 17.【答案】解:由题可得:; 的面积为,; ; 又; . 如图 在中,AM为中线,; ‎ 由知; ,; 由余弦定理得. ; ; 又因为, , ; ; . ‎ ‎【解析】根据已知条件求出角的正切值,再结合角的范围即可求解; 先根据条件求出b,c,a;再借助于面积之间的关系求出CN,BN之间的比例关系,结合题中条件即可求解. 本题主要考查向量的数量积的应用以及三角形中的有关计算,属于中档题目.. 18.【答案】解:设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q, 由,,,,得 ,解得. ; 由,,得,即或. 当时,,此时,,; 当时,,此时,,. 综上,或5. ‎ ‎【解析】设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,由已知列关于d和q的方程组,求得q,可得数列的通项公式; 由,列式求得q,然后分类求解. 本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和的应用,考查计算能力,是中档题. 19.【答案】解:由抛物线定义可得:,解得. 抛物线E的方程为; 解法一:证明:点在抛物线E上, ,解得, 不妨取, 又因为, 则可得直线AF的方程:, 联立,化为, 解得或,从而. 又, , , ,轴平分, 因此点F到直线GA,GB的距离相等, 以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切. 解法二:证明:点在抛物线E上, ,解得, 不妨取, 由,可得直线AF的方程:, 联立,化为, 解得或,从而. 又, 可得直线GA,GB的方程分别为: ,, 故点到直线GA 的距离, 同理可得点到直线GB的距离. 因此以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切. ‎ ‎【解析】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及与圆的位置关系及其性质、点到直线的距离公式等基础知识,属于中档题. 由抛物线定义可得:,解得即可得出抛物线E的方程. 解法一:由点在抛物线E上,解得m,不妨取,,可得直线AF的方程,与抛物线方程联立化为,解得又,计算,,可得,,即可证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切. 解法二:由点在抛物线E上,解得m,不妨取,,可得直线AF的方程,与抛物线方程联立化为,解得又,可得直线GA,GB的方程,利用点到直线的距离公式可得:点到直线GA、GB的距离,若相等即可证明此以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切. 20.【答案】解:对任意,有当时, 有 当并整理得, 而的各项均为正数,所以. 当时,有,解得或2, 当时,,此时成立; 当时,,此时不成立;舍去. 所以,, . ‎ ‎【解析】根据可类比的得到,然后两式相减得到,再由的各项均为正数,可得到,再由等差数列的通项公式法可得到答案. 先根据,可得到,再由等差数列的前n项和公式可得到答案. 本题主要考查数列递推关系式的应用和等差数列的求和公式的应用.考查综合运用能力. 21.【答案】Ⅰ解:由题可知, ,单调递增,且, 当时,,当时,; 因此在上单调递减,在上单调递增. Ⅱ证明:由有两个零点可知 由且可知, 当时,,当时,; 即的最小值为, 因此当时,, 可知在上存在一个零点; 当时,, 可知在上也存在一个零点; 因此,即. ‎ ‎【解析】本小题考查函数与导数的相关知识.函数的单调性以及函数的最值的求法,零点判断定理的应用,是难题. Ⅰ求出函数的导数,利用导函数的符号判断函数的单调性,求出单调区间; Ⅱ求出的导数,求解函数的最小值,通过零点判断定理,转化两个零点,,所在位置,即可证明:. 22.【答案】解:由已知可得, 解得,, ‎ 所以椭圆C的方程为. 由已知可得,,, , , 可设直线l的方程为,代入椭圆方程整理,得 . 设,,则 ,, , , 即. ,, , 即. , 或. 由,得. 又时,直线l过B点,不合要求, , 故存在直线l:满足题设条件. ‎ ‎【解析】由已知列出关于a,b,c的方程组,解得a,b,c,写出结果即可; 由已知可得,,所以,因为,所以可设直线l的方程为,代入椭圆方程整理,得设,,由根与系数的关系写出两根之和和两根之积的表达式,再由垂心的性质列出方程求解即可. 本题考查了椭圆的方程,直线与椭圆的关系,三角形的垂心等概念,属于中档题. ‎
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