高考中立体几何与三棱柱

高考中立体几何与三棱柱

‎1.【2012高考重庆文20】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）‎ 已知直三棱柱中，，，为的中点。（Ⅰ）求异面直线和的距离；（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值。‎ ‎ ‎ ‎【解析】（Ⅰ）如答（20）图1，因AC=BC， D为AB的中点，故CD AB。又直三棱柱中， 面 ，故 ，所以异面直线 和AB的距离为 ‎（Ⅱ）：由故 面 ，从而 ，故 为所求的二面角的平面角。‎ 因是在面上的射影，又已知 由三垂线定理的逆定理得从而，都与互余，因此，所以≌，因此得 从而 所以在中，由余弦定理得 ‎2.【2012高考新课标文19】（本小题满分12分）‎ 如图，三棱柱ABC－A1B‎1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点 C B A D C1‎ A1‎ ‎(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC ‎（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.‎ ‎【答案】‎ ‎3.【2012高考陕西文18】（本小题满分12分）‎ 直三棱柱ABC- A1B‎1C1中，AB=A A1 ，=‎ ‎（Ⅰ）证明;‎ ‎（Ⅱ）已知AB=2，BC=，求三棱锥 的体积 ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎4.【2012高考辽宁文18】(本小题满分12分) ‎ 如图，直三棱柱，，AA′=1，点M，N分别为和的中点。‎ ‎ (Ⅰ)证明：∥平面;‎ ‎ (Ⅱ)求三棱锥的体积。‎ ‎（椎体体积公式V=Sh,其中S为地面面积，h为高）‎ ‎5.【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎ （2）直线平面．‎ ‎【答案】证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面。‎ ‎ 又∵平面，∴。‎ ‎ 又∵平面，∴平面。‎ ‎ 又∵平面，∴平面平面。‎ ‎ （2）∵，为的中点，∴。‎ ‎ 又∵平面，且平面，∴。‎ ‎ 又∵平面，，∴平面。‎ ‎ 由（1）知，平面，∴∥。‎ ‎ 又∵平面平面，∴直线平面 ‎6. （2013新课标Ⅱ）18．（本小题满分12分）‎ 如图，直棱柱中，分别是的中点，．‎ ‎ （Ⅰ）证明：平面； ‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值．‎ ‎7. （2013新课标1卷18）如图，三棱柱中，A B C C1‎ A1‎ B1‎ ,,‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若平面平面,，求直线与平面所成角的正弦值 解：（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，，，‎ ‎∵AB=，=，∴是正三角形，‎ ‎∴⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB， ‎ ‎ ∵=E，∴AB⊥面， ‎ ‎∴AB⊥； ……6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，⊥AB，‎ 又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，∴EC⊥，‎ ‎∴EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，‎ 有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(－1,0,0),则=（1,0，）,==(－1,0,),=(0,－,), ……9分 设=是平面的法向量，‎ 则，即，可取=（，1，-1），‎ ‎∴=，‎ ‎∴直线A‎1C 与平面BB‎1C1C所成角的正弦值为. ……12分 ‎8.（2013北京卷理17）如图，在三棱柱中，是边长为 的正方形，平面平面，.‎ C ‎1‎ B ‎1‎ A ‎1‎ C B A ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎（3）证明：在线段上存在点，使得，并求的值。‎ ‎ ‎ 解：（I）因为AA1C1C为正方形，所以AA1 ⊥AC.‎ 因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.‎ ‎(II)由（I）知AA1 ⊥AC，AA1 ⊥AB. 由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC. 如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－,则B(0，3，0),A1(0，0，4),B1(0，3，4),C1(4，0，4)，‎ 设平面A1BC1的法向量为，则,即，‎ 令，则，，所以.‎ 同理可得，平面BB1C1的法向量为,所以. 由题知二面角A1－BC1－B1为锐角，所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为.‎ ‎(III)设D是直线BC1上一点，且. 所以.解得，，.‎ 所以. ‎ 由，即.解得.‎ 因为，所以在线段BC1上存在点D，‎ 使得AD⊥A1B.‎ 此时，.‎ ‎9.（2013四川卷理19）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段的中点．‎ ‎（Ⅰ）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；‎ ‎（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值．‎ 解：如图,在平面内,过点做直线//,因为在平面外,。‎ 在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知,//平面.‎ 由已知,,是的中点,所以,,则直线.‎ 因为平面,所以直线.又因为在平面内,且与相交,所以直线平面. …………………………………………………………………………….6分 解法一:‎ 连接,过作于,过作于,连接.‎ 由知,平面,所以平面平面.‎ 所以平面,则.‎ 所以平面,则.‎ 故为二面角的平面角(设为).‎ 设,则由,,有,.‎ 又为的中点,所以为的中点,且,‎ 在中, ;在中, .‎ 从而,,,‎ 所以.‎ 所以.‎ 故二面角的余弦值为. ………………12分 解法二: ‎ 设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合).‎ 则,.‎ 因为为的中点,所以分别为的中点, ‎ 故,‎ 所以,,.‎ 设平面的一个法向量为,则 即故有 从而 取,则,所以.‎ 设平面的一个法向量为,则 即故有 从而 取,则,所以.‎ 设二面角的平面角为,又为锐角,‎ 则.‎ 故二面角的余弦值为. ………………12分 ‎10. （2013湖南卷文17）如图，在直棱柱中，,,,是中点，点在棱上运动。‎ A B C D A ‎1‎ B ‎1‎ C ‎1‎ E ‎（1）证明：；‎ ‎（2）当异面直线所成的角为时，‎ 求三棱锥的体积。‎ ‎ ‎ 解： (Ⅰ) .‎ ‎.‎ ‎(证毕)‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎.‎ ‎11. （2013新课标2卷文18）如图，直三棱柱中，分别的中点。‎ A ‎1‎ B ‎1‎ C ‎1‎ A B C D E ‎（1）证明：∥平面；‎ ‎（2）设,,‎ 求三棱锥的体积。‎ ‎ ‎ ‎12.（2013天津卷文17）如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，分别为棱的中点。‎ ‎（1）证明：∥平面；‎ ‎（2）证明平面平面 ‎（3）直线与平面所成角的正弦值