【数学】2020届一轮复习苏教版第三章第1讲导数的概念及运算学案

【数学】2020届一轮复习苏教版第三章第1讲导数的概念及运算学案

第1讲　导数的概念及运算 考试要求　1.导数的概念及其实际背景(A级要求)；2.导数的几何意义(B级要求)；3.根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数(A级要求)；4.利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数(B级要求)；5.求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b))的导数(B级要求).‎ 知 识 梳 理 ‎1.导数的概念 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0).‎ 若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x).‎ ‎2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点P的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).‎ ‎3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝C(C为常数)‎ f′(x)＝0‎ f(x)＝xα(α∈Q*)‎ f′(x)＝αxα－1‎ f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0)‎ f′(x)＝axln__a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax ‎(a>0，且a≠1)‎ f′(x)＝ ‎4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有：‎ ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎(3)′＝(g(x)≠0).‎ ‎5.复合函数求导的运算法则 一般地，设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′x＝φ′(x)，函数y＝f(u)在u处有导数y′u＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也有导数，且y′x＝y′u·u′x.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.(　　)‎ ‎(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).(　　)‎ ‎(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.(　　)‎ ‎(4)若f(x)＝a3＋2ax＋x2，则f′(x)＝3a2＋2x.(　　)‎ 解析　(1)f′(x0)表示函数f(x)的导数在x0处的值，而(f(x0))′表示函数值f(x0)的导数，其意义不同，(1)错误.‎ ‎(2)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(2)错误.‎ ‎(4)f(x)＝a3＋2ax＋x2＝x2＋2ax＋a3，∴f′(x)＝2x＋2a，(4)错误.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2.(选修2－2P14练习2改编)有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为________.‎ 解析　由题意知机器人的速度方程为v(t)＝s′(t)＝2t－，故当t ‎＝2时，机器人的瞬时速度为v(2)＝2×2－＝.‎ 答案　 ‎3.(2018·天津卷)已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________.‎ 解析　由题意得f′(x)＝exln x＋ex·，则f′(1)＝e.‎ 答案　e ‎4.(2018·全国Ⅱ卷)曲线y＝2ln x在点(1，0)处的切线方程为________.‎ 解析　由题意知y′＝，所以曲线在点(1，0)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝2，故所求切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.‎ 答案　y＝2x－2‎ ‎5.(2018·南通、泰州调研)若曲线y＝xln x在x＝1与x＝t处的切线互相垂直，则正数t的值为________.‎ 解析　y′＝ln x＋1，所以曲线在x＝1和x＝t处的切线的斜率分别为1和1＋ln t，所以1·(1＋ln t)＝－1，所以t＝e－2.‎ 答案　e－2‎ 考点一　导数的计算 ‎【例1】 求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；‎ ‎(2)y＝sin (1－2cos2)；‎ ‎(3)y＝；‎ ‎(4)y＝ln .‎ 解　(1)进行积的导数计算很烦琐，故先展开再求导.因为y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，所以y′＝3x2＋12x＋11.‎ ‎(2)因为y＝sin＝－sin x，所以y′＝′＝－(sin x)′＝－cos x.‎ ‎(3)y′＝′＝＝.‎ ‎(4)y′＝′＝′‎ ‎＝ ‎＝.‎ 规律方法　(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错.‎ ‎(2)如函数为根式形式，可先化为分数指数幂再求导.‎ ‎【训练1】 (1)已知f(x)＝x2＋2xf′(2 019)＋2 019ln x，则f′(2 019)＝________.‎ ‎(2)(2019·扬州中学质检)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.‎ 解析　(1)f′(x)＝x＋2f′(2 019)＋，‎ 所以f′(2 019)＝2 019＋2f′(2 019)＋，‎ 即f′(2 019)＝－(2 019＋1)＝－2 020.‎ ‎(2)由f(ex)＝x＋ex可得f(x)＝x＋ln x，∴f′(x)＝1＋，∴f′(1)＝1＋1＝2.‎ 答案　(1)－2 020　(2)2‎ 考点二　导数的几何意义 角度1　求切线方程 ‎【例2－1】 (1)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________.‎ ‎(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________.‎ 解析　(1)∵y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.‎ ‎(2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，‎ ‎∴设切点为(x0，y0).‎ 又∵f′(x)＝1＋ln x，∴ 解得x0＝1，y0＝0.‎ ‎∴切点为(1，0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.‎ ‎∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.‎ 答案　(1)5x＋y＋2＝0　(2)x－y－1＝0‎ 角度2　求切点坐标 ‎【例2－2】 (1)(2019·泰州模拟)已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为________.‎ ‎(2)(2019·苏、锡、常、镇四市调研)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.‎ 解析　(1)设切点的横坐标为x0，‎ ‎∵曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，‎ ‎∴y′＝－，即－＝，‎ 解得x0＝3或x0＝－2(舍去，不符合题意)，‎ 即切点的横坐标为3.‎ ‎(2)由y＝ex得y′＝ex，知曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率k1＝e0＝1.‎ 设P(m，n)，又y＝(x>0)的导数y′＝－，‎ 曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－.‎ 依题意k1k2＝－1，所以m＝1，从而n＝1.‎ 则点P的坐标为(1，1).‎ 答案　(1)3　(2)(1，1)‎ 角度3　求与切线有关的参数值(或范围)‎ ‎【例2－3】 (1)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.‎ ‎(2)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.‎ 解析　(1)由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，得曲线在点(1，1)的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x ‎＋1相切，消去y得ax2＋ax＋2＝0，得a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.‎ ‎(2)y＝ln x＋2的切线为y＝·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为x1).‎ y＝ln(x＋1)的切线为y＝x＋ln(x2＋1)－(设切点横坐标为x2).‎ ‎∴ 解得x1＝，x2＝－，∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2.‎ 答案　(1)8　(2)1－ln 2‎ 规律方法　(1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点.‎ ‎(2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点，“曲线过点P的切线”则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标.‎ ‎(3)当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.‎ ‎(4)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.‎ ‎(5)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可.‎ ‎(6)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.‎ ‎【训练2】 (1)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________.‎ ‎(2)(2019·常州复习检测)已知曲线y＝在点(3，2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝________.‎ 解析　(1)设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.‎ 又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，‎ 所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.‎ 因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.‎ 则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.‎ ‎(2)y′＝－，‎ 又切线与直线ax＋y＋1＝0垂直.‎ ‎∴－a·＝－1，则a＝－2.‎ 答案　(1)2x－y＝0　(2)－2‎ ‎ ‎ 一、必做题 ‎1.(2018·全国Ⅱ卷)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________.‎ 解析　∵y＝2ln(x＋1)，∴y′＝.当x＝0时，y′＝2，∴曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.‎ 答案　y＝2x ‎2.(2019·苏州调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为________.‎ 解析　函数y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝，切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x0＝‎ ‎－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为.‎ 答案　 ‎3.(2019·海安中学阶段检测)已知曲线y＝(x<0)的一条切线斜率为－4，则切点的横坐标为________.‎ 解析　y′＝－＝－4，x<0，解得x＝－1，即切点的横坐标是－1.‎ 答案　－1‎ ‎4.(2018·全国Ⅲ卷)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.‎ 解析　y′＝(ax＋1＋a)ex，由曲线在点(0，1)处的切线的斜率为－2，得y′|x＝0＝(ax＋1＋a)ex|x＝0＝1＋a＝－2，所以a＝－3.‎ 答案　－3‎ ‎5.(2019·南师附中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.‎ 解析　由题图形可知f(3)＝1，f′(3)＝－，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，‎ ‎∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0.‎ 答案　0‎ ‎6.(2019·苏北四市模拟)设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________.‎ 解析　∵y′＝，∴y′|x＝＝－1.‎ 由条件知＝－1，∴a＝－1.‎ 答案　－1‎ ‎7.函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________.‎ 解析　设y＝f(x)＝xex，令y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)＝0，得x＝－1.当x＜－1时，y′＜0；当x＞－1时，y′＞0，故x＝－1为函数f(x)的极值点，切线斜率为0，‎ 又f(－1)＝－e－1＝－，故切点坐标为，切线方程为y＋＝0(x＋1)，即y＝－.‎ 答案　y＝－ ‎8.若x轴是曲线f(x)＝ln x－kx＋3的一条切线，则k＝________.‎ 解析　由f(x)＝ln x－kx＋3得f′(x)＝－k，设点M(x0，y0)是曲线y＝f(x)上一点，则曲线f(x)＝ln x－kx＋3在点M处的切线方程为y－(ln x0－kx0＋3)＝(x－x0‎ ‎)，∵x轴是曲线f(x)＝ln x－kx＋3的一条切线，‎ ‎∴解得k＝e2.‎ 答案　e2‎ ‎9.已知两曲线f(x)＝2sin x，g(x)＝acos x，x∈相交于点P.若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为________.‎ 解析　f′(x)＝2cos x，g′(x)＝－asin x，设P(x1，y1)，‎ 由题设可得 解得sin x1＝，cos x1＝，a＝.‎ 答案　 ‎10.求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝exln x；‎ ‎(2)y＝x；‎ ‎(3)y＝x－sincos；‎ ‎(4)y＝.‎ 解　(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex ‎＝ex.‎ ‎(2)因为y＝x3＋1＋，‎ 所以y′＝(x3)′＋(1)′＋′＝3x2－.‎ ‎(3)因为y＝x－sin x，‎ 所以y′＝′＝x′－′‎ ‎＝1－cos x.‎ ‎(4)y′＝′＝＝－.‎ ‎11.已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：‎ ‎(1)斜率最小的切线方程；‎ ‎(2)切线l的倾斜角α的取值范围.‎ 解　(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，‎ 所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，‎ 所以斜率最小的切线过点，斜率k＝－1，‎ 所以切线方程为3x＋3y－11＝0.‎ ‎(2)由(1)得k≥－1，‎ 所以tan α≥－1，所以α∈∪.‎ 二、选做题 ‎12.(2019·镇江联考)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋b是曲线y＝aln x的切线，则当a>0时，实数b的最小值是________.‎ 解析　由y＝aln x得y′＝，设切点为M(x0，y0)，则曲线y＝aln x在点M(x0，y0)处的切线方程为y－aln x0＝(x－x0)，即y＝x＋aln x0－a，则 ‎∴b＝aln a－a(a>0)，b′＝ln a，当01时，b′>0，∴当a＝1时，b取得最小值－1.‎ 答案　－1‎ ‎13.对于函数y＝f(x)，y＝g(x)，如果它们的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称函数f(x)和g(x)在点P处相切，称点P为这两个函数的切点.设函数f(x)＝ax2－bx(a≠0)，g(x)＝ln x.‎ ‎(1)当a＝－1，b＝0时，判断函数f(x)和g(x)的图象是否相切，并说明理由；‎ ‎(2)已知a＝b，a>0，且函数y＝f(x)和y＝g(x)相切，求切点P的坐标.‎ 解　(1)当a＝－1，b＝0时，函数f(x)和g(x)的图象不相切.‎ 理由如下：由条件知f(x)＝－x2，由g(x)＝ln x，得x>0时，因为f′(x)＝－2x，g′(x)＝，所以当x>0时，f′(x)＝－2x<0，g′(x)＝>0，所以对于任意的x>0，f′(x)≠g′(x).‎ 故当a＝－1，b＝0时，函数f(x)和g(x)不相切.‎ ‎(2)若a＝b，则f′(x)＝2ax－a，由题意得g′(x)＝，设切点坐标为(s，t)，其中s>0，由题意得 as2－as＝ln s，①‎ ‎2as－a＝，②‎ 由②得a＝，代入①得＝ln s(*).‎ 因为a＝>0且s>0，所以s>.‎ 设函数F(x)＝－ln x，x∈，‎ 则F′(x)＝.‎ 令F′(x)＝0，解得x＝1或x＝(舍).‎ 当x变化时，F′(x)与F(x)的变化情况如下表所示：‎ x ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ F′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ F(x)‎  极大值  所以当x＝1时，F(x)取到最大值F(1)＝0，且 当x∈∪(1，＋∞)时F(x)<0.‎ 因此，当且仅当x＝1时，F(x)＝0.所以方程(*)有且仅有一解s＝1.‎ 于是t＝ln s＝0，因此切点P的坐标为(1，0).‎