湖北省鄂州市2011年中考数学试题(解析版)

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湖北省鄂州市2011年中考数学试题(解析版)

湖北鄂州市2011年初中毕业生学业水平考试 数学试题 ‎(考试时间120分钟 满分120分)‎ 注意事项:‎ 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.‎ 2. 选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.‎ 3. 非选择题的作答:用‎0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷上无效.‎ 4. 考生必须保持答题卡整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.‎ 一、填空题(共8道题,每小题3分,共24分)‎ ‎1.(2011湖北鄂州,1,3分)的倒数是________.‎ ‎【解题思路】: 的倒数是:,。‎ ‎【答案】-2‎ ‎【点评】本题考查了倒数的概念,即当a≠0时,a与互为倒数。特别要注意的是:负数的倒数还是负数,此题难度较小。‎ ‎2.(2011湖北鄂州,2,3分)分解因式‎8a2-2=____________________________.‎ ‎【解题思路】本题要先提取公因式2,再运用平方差公式将写成,即原式可分解为:‎8a2-2‎ ‎【答案】2(‎2a+1)(‎2a-1)‎ ‎【点评】本题考查了提公因式法,公式法分解因式,先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解,分解因式一定要彻底.利用相应的公式和分解因式的先后顺序即可得到答案。(分解因式即将一个多项式写成几个因式的乘积的形式)。‎ 难度中等。‎ ‎3.(2011湖北鄂州,3,3分)要使式子有意义,则a的取值范围为_____________________.‎ ‎【解题思路】:‎ 此式子要有意义首先分母不为0,分子中的二次根式中的被开方数≥0,所以 时,才有意义。‎ ‎【答案】a≥-2且a≠0‎ ‎【点评】本题考查分式有意义分母不为0,二次根式有意义被开方数≥0,同时还涉及解不等式的知识,综合性较强。‎ 难度中等 ‎4.(2011湖北鄂州,4,3分)如图:点A在双曲线上,AB⊥x轴于B,且△AOB的面积S△AOB=2,则k=______.‎ A B O x y ‎ 第4题图 ‎【解题思路】:由反比例函数解析式可知:系数,‎ ‎∵S△AOB=2即,∴;‎ 又由双曲线在二、四象限k<0,∴k=-4‎ ‎【答案】-4‎ ‎【点评】本题考查反比例函数k值的确定,结合三角形面积的2倍即是k的绝对值,再观察反比例函数图像所在的象限,从而确定k的符号。体现数形结合,有一定的综合性。‎ 难度中等 ‎5.(2011湖北鄂州,5,3分)如图:矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为_______.‎ A B C D ‎ 第5题图 ‎【解题思路】由矩形性质可知∠B=90°,对角线AC=10,BC=8可运用勾股定理得AC=6;再利用平移的知识将每个小矩形的边分别上、下、左、右平移即可发现5个小矩形的周长之和是矩形ABCD的周长=(6+8)×2=28。‎ ‎【答案】28‎ ‎【点评】本题考查勾股定理和平移的知识,体现图形变换的数学问题,涉及操作与知识相结合。学生比较容易发现,从而求解。‎ 难度较小 ‎6.(2011湖北鄂州,6,3分)如图,在△ABC中E是BC上的一点,EC=2BE,点D是AC的中点,设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC,S△ADF,S△BEF,且S△ABC=12,则S△ADF-S△BEF=_________.‎ ‎ 第6题图 A B C E F D ‎【解题思路】由D是AC的中点且S△ABC=12,可得;同理EC=2BE即EC= ,可得,又等量代换可知S△ADF-S△BEF=2‎ ‎【答案】2‎ ‎【点评】此题考查高不变,底为中点或三等分点构成的三角形与原三角形的面积之间的关系,就是底之间的关系;另考查转换的数学思想方法。‎ 难度较小。‎ ‎7.(2011湖北鄂州,7,3分)若关于x,y的二元一次方程组的解满足,则a的取值范围为______.‎ ‎【解题思路】:‎ 法一:将(1)+(2)得,则<2 ∴a<4.‎ 法二:也可解方程组(用含a的代数式表示x、y,再用含a的代数式表示x+y,解有关a的不等式。‎ ‎【答案】a<4 ‎ ‎【点评】:此题更侧重考查学生的观察能力(1)+(2)系数相同,用法一易得x+y,求解较简便,有整体的数学思想的考查初衷,然后是考查不等式的解法,有一定的综合性。用法二也可,但计算较繁。‎ 难度中等。‎ ‎8.(2011湖北鄂州,8,3分)如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠CAP=_______________.‎ A B C P D ‎ 第8题图 ‎【解题思路】是利用角平分线的性质定理和判定定理证AP是∠BAC外角的平分线!而∠BAC=2∠BPC也是可证的!由∠BPC=40°和角平分线性质,‎ 得∠ACD-2∠ABC=2×40°=80°即∠BAC=80°,‎ 则∠BAC的外角为100°,∠CAP=×100°=50°。‎ ‎【答案】50°‎ ‎【点评】此题考查学生对角平分线性质和三角形外角的知识,学生要证AP是∠BAC外角的平分线,需要添加辅助线才行。‎ 难度较大 二、选择题(A,B,C,D四个答案中,有且只有一个是正确的,每小题3分,共21分)‎ ‎9.(2011湖北鄂州,9,3分)cos30°=( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解题思路】 直接作答:cos30°=。也可分析A: 、B:、D:‎ ‎【答案】C ‎【点评】:直接考查特殊三角函数值,学生可通过记忆特殊三角函数值,也可结合画直角三角形求解。‎ 难度较小。‎ ‎10.(2011湖北鄂州,10,3分)计算=( )‎ A.2 B.-‎2 ‎ C.6 D.10‎ ‎【解题思路】:正面求解:原式= ‎ ‎【答案】A ‎【点评】此题考查有理数的运算包括2的平方的相反数;(-2)的平方;及的-1次幂,涉及有理数计算等问题,尤其符号容易出错,需要细心求解。 难度较小 ‎11.(2011湖北鄂州,11,3分)下列说法中 ‎①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,则这两个角相等 ‎②数据5,2,7,1,2,4的中位数是3,众数是2‎ ‎③等腰梯形既是中心对称图形,又是轴对称图形 ‎④Rt△ABC中,∠C=90°,两直角边a,b分别是方程x2-7x+7=0的两个根,则AB边上的中线长为 正确命题有( )‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎【解题思路】①:画图可发现应考虑2种情况,还可以互补,命题不正确;②:排列为1,2,2,4,5,7 中位数为=3,众数为2,命题正确;③等腰梯形只是轴对称图形,不是中心对称图形,命题不正确;‎ ‎④,‎ ‎∴AB= ,而斜边上的中线等于斜边的一半为,正确。‎ 所以正确的有②、④,2个。‎ ‎【答案】C ‎【点评】本题考查概念有角;中位数、众数;特殊四边形的对称性;一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半等综合了多个基础知识点。认真分析每一个命题,就能正确解答。难度中等 ‎12.(2011湖北鄂州,12,3分)一个几何体的三视图如下:其中主视图都是腰长为4、底边为2的等腰三角形,则这个几何体的侧面展开图的面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎ 第12题图 ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ 左视图 右视图 俯视图 ‎【解题思路】此题宜正面求解。先判断此几何体为圆锥,侧面展开图为扇形;再由三视图得到扇形母线为4、弧长为圆锥底面圆的周长;最后运用公式= ‎ ‎【答案】C ‎【点评】此题考查学生由三视图判断出几何体为圆锥,再考查圆锥侧面展开图--扇形面积公式,需要利用直径求出圆锥底面周长,并将其准确代入对应的公式是解题的关键。‎ 难度较小 ‎13.(2011湖北鄂州,13,3分)如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线于D,且CO=CD,则∠PCA=( )‎ A.30° B.45° C.60° D.67.5°‎ C D A O P B ‎ 第13题图 ‎【解题思路】PD切⊙O于点C,交AB的延长线于D,且CO=CD 得∠COD=45°、∠PCO=90°。再由OA=OC,及外角知识得∠ACO=22.5°;‎ 又∠PCA+∠ACO=90°,所以∠PCA=90°-∠ACO=67.5°。‎ 另外也可考虑直径条件连结BC求解。‎ ‎【答案】D ‎【点评】本题切线的性质和等边对等角及外角、余角等边角之间的关系。只要充分挖掘条件和图形中边角的内在联系就可顺利求解。‎ 难度较小。‎ ‎14.(2011湖北鄂州,14,3分)如图,把Rt△ABC放在直角坐标系内,其中∠CAB=90°,BC=5,点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0),将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线y=2x-6上时,线段BC扫过的面积为( )‎ A.4 B.‎8 ‎ C.16 D.‎ ‎ 第14题图 A B C O y x ‎【解题思路】将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线y=2x-6上时即当y=4时,解得x=5,所以平移的距离为5-1=4,又知BC扫过的图形为平行四边形,高不变为:,所以平行四边形面积=底×高=4×4=16.‎ ‎【答案】C ‎【点评】此题涉及运用勾股定理;已知一次函数解析式中的y值,解函数转化的一元一次方程求出x值,利用横坐标之差计算平移的距离;以及平行四边形面积公式。运用数形结合、平移变换、动静变化的数学思想方法是解此题的关键,综合性较强。‎ 难度中等 ‎15.(2011湖北鄂州,15,3分)已知函数,则使y=k成立的x值恰好有三个,则k的值为( )‎ A.0 B.‎1 ‎ C.2 D.3‎ ‎【解题思路】如图:‎ 利用顶点式及取值范围,可画出函数图象会发现:当x=3时,y=k成立的x值恰好有三个,此时y=,则k的值为3。‎ ‎【答案】D ‎【点评】用数形结合更容易求解,当y一定时x值得个数也一定,0个、1个、2个、3个、4个几种情况。抓住顶点式和x的取值范围作图是解此题的关键所在。‎ 难度中等 难度中等 三、解答题(共9道大题,共75分)‎ ‎16.(2011湖北鄂州,16,5分)解方程:‎ ‎【解题思路】‎ ‎ 去括号 ,得 ‎ 移相合并同类项,得 ‎ ‎ 系数化为1,得 x=6‎ 检验:当x=6时,,所以x=6是原方程的根。‎ ‎【答案】x=6 ‎ ‎【点评】考查解最基本的分式方程的技能,学生只要掌握解分式方程的一般步骤即可得分。这种直接考查基本技能的考法有效提高了考查结果的效度和信度.‎ 难度较小 ‎17.(2011湖北鄂州,17,6分)为了加强食品安全管理,有关部门对某大型超市的甲、乙两种品牌食用油共抽取18瓶进行检测,检测结果分成“优秀”、“合格”、“不合格”‎ 三个等级,数据处理后制成以下折线统计图和扇形统计图.‎ ‎⑴甲、乙两种品牌食用油各被抽取了多少瓶用于检测?‎ ‎⑵在该超市购买一瓶乙品牌食用油,请估计能买到“优秀”等级的概率是多少?‎ 两种品牌食用油检测结果折线图 瓶数 优秀 合格 不合格 ‎7‎ ‎10‎ ‎0‎ ‎1‎ 等级 不合格的10%‎ 合格的30%‎ 优秀60%‎ 甲种品牌食用油检测结果 扇形分布图 图⑴‎ 图⑵‎ ‎ 第17题图 ‎【解题思路】(1)分别观察折线和扇形图不合格的1瓶占甲的10%,所以甲被抽取了10瓶,已被抽取了:18-10=8瓶。‎ ‎(2)结合两图及问题(1)得乙优秀的瓶数共瓶,所以优秀率为 ‎【答案】‎ ‎⑴(由不合格瓶数为1知道甲不合格的瓶数为1)甲、乙分别被抽取了10瓶、8瓶 ‎⑵P(优秀)=‎ ‎【点评】评析本题以学生在生活中常见的食用油安全问题为素材,以双图(折线统计图+扇形统计图)的形式交叉呈现数据。学生需要通过读图,分析图获得信息,进而深入分析两个图之间相互联系,互相补充获得数据,较好地考查了学生利用统计图描述数据的能力,以及考查学生分析问题和解决问题的能力。在解决问题的过程中只有读懂图才能完成后边的计算问题,问题设计环环相扣,层层递进,这种考法有利于落实对学生的综合判断能力的考查.‎ 难度中等 ‎18.(2011湖北鄂州,18,7分)如图,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上中点,过D点作DE⊥DF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF长.‎ ‎ 第18题图 B A E D F C ‎【解题思路】连结BD,证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD,得BF=4,BE=3,再运用勾股定理求得EF=5‎ ‎【答案】连结BD,证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD,求得EF=5‎ ‎【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半,三角形全等的判定和性质和勾股定理。只要抓住等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定,解决起来并不困难。‎ 难度中等 ‎19.(2011湖北鄂州,19,7分)有3张扑克牌,分别是红桃3、红桃4和黑桃5.把牌洗匀后甲先抽取一张,记下花色和数字后将牌放回,洗匀后乙再抽取一张.‎ ‎⑴先后两次抽得的数字分别记为s和t,则︱s-t︱≥1的概率.‎ ‎⑵甲、乙两人做游戏,现有两种方案.A方案:若两次抽得相同花色则甲胜,否则乙胜.B方案:若两次抽得数字和为奇数则甲胜,否则乙胜.‎ 请问甲选择哪种方案胜率更高?‎ ‎【解题思路】(1)如下表 甲(s)‎ 乙(t)‎ 红桃3‎ 红桃4‎ 黑桃5‎ 红桃3‎ 红桃4‎ 黑桃5‎ 由上表可知:︱s-t︱≥1的概率= = (也可画树形图求解)。‎ ‎(2)方案A:如表 甲(花色)‎ 乙(花色)‎ 红桃3‎ 红桃4‎ 黑桃5‎ 红桃3‎ 同色 同色 不同色 红桃4‎ 同色 同色 不同色 黑桃5‎ 不同色 不同色 同色 由上表可得 方案B:如表 ‎ 甲 乙 红桃3‎ 红桃4‎ 黑桃5‎ 红桃3‎ ‎3+3=6‎ ‎3+4=7‎ ‎3+5=8‎ 红桃4‎ ‎4+3=7‎ ‎4+4=8‎ ‎4+5=9‎ 黑桃5‎ ‎5+3=8‎ ‎5+4=9‎ ‎5+5=10‎ 由上表可得 因为,所以选择A方案甲的胜率更高.‎ ‎【答案】⑴⑵A方案,B方案,故选择A方案甲的胜率更高.‎ ‎【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率方法.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表 适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.‎ 难度中等 ‎20.(2011湖北鄂州,20,8分)今年我省干旱灾情严重,甲地急需要抗旱用水15万吨,乙地13万吨.现有A、B两水库各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱.从A地到甲地50千米,到乙地30千米;从B地到甲地60千米,到乙地45千米.‎ ‎⑴设从A水库调往甲地的水量为x万吨,完成下表 调出地 水量/万吨 调入地 甲 乙 总计 A x ‎14‎ B ‎14‎ 总计 ‎15‎ ‎13‎ ‎28‎ ‎⑵请设计一个调运方案,使水的调运量尽可能小.(调运量=调运水的重量×调运的距离,单位:万吨•千米)‎ ‎【解题思路】通过读题、审题 ‎(1)完成表格有2个思路:从供或需的角度考虑,均能完成上表。‎ ‎(2)运用公式(调运水的重量×调运的距离)‎ 总调运量=A的总调运量+B的总调运量调运水的重量×调运的距离 y=50x+(14-x)30+60(15-x)+(x-1)45=5x+1275(注:一次函数的最值要得到自变量的取值范围)∵5>0∴y随x的增大而增大,y要最小则x应最大 由解得1≤x≤14‎ y=5x+1275中∵5>0∴y随x的增大而增大,y要最小则x应最小=1‎ ‎∴调运方案为A往甲调1吨,往乙调13吨;B往甲调14吨,不往乙调。‎ ‎【答案】⑴(从左至右,从上至下)14-x 15-x x-1 ‎ ‎⑵y=50x+(14-x)30+60(15-x)+(x-1)45=5x+1275‎ 解不等式1≤x≤14‎ 所以x=1时y取得最小值 y=5+1275=1280‎ ‎∴调运方案为A往甲调1吨,往乙调13吨;B往甲调14吨,不往乙调。‎ ‎【点评】这样的“方案决策类”试题,其所考查的内容和思想方法却是非常重要的,其考查目的也是一般的函数与不等式题目所不能完全体现的,具有一定的独特性和挑战性.在多数情况下,解这种试题要以“不等式” 作为解决问题的工具,且由于题中含有由“不确定”中找确定的因素,所以关联了函数与不等式等数学模型的建立与应用。此题中要确定一个量的范围的问题,就要转化为不等式的问题.‎ 上题对于学生来说问题情境还是比较熟悉的,且题目中都是显性的条件,学生通过认真审题能比较容易将实际问题转化为数学问题,从而求解。第(2)问需要借助题目中隐含的不等关系--难点,列出不等式组,并确定出不等数组的解,从而利用一次函数的增减性选择最值,得到最佳方案。‎ 难度较大 ‎21.(2011湖北鄂州,21,8分)如图,防洪大堤的横断面是梯形,背水坡AB的坡比(指坡面的铅直高度与水平宽度的比).且AB=‎20 m.身高为‎1.7 m的小明站在大堤A点,测得高压电线杆端点D的仰角为30°.已知地面CB宽‎30 m,求高压电线杆CD的高度(结果保留三个有效数字,1.732).‎ C D N M A B ‎ 第21题图 ‎【解题思路】如图:延长MA交CB于点E. CD=DN+CN=DN+ME.‎ C D N M A B ‎ 第21题图 E 在中,背水坡AB的坡比可知,‎ 得。又AB=‎20 m,所以AE= ×20=‎10m,BE=20×= m 所以NC=ME=MA=AE=1.7+10=‎‎11.7m 中,∠AMN=30°,MN=CE=CB+BE=(30+)m DN= ‎ 所以旗杆高度CD=DN+CN=DN+ME=11.7+= ≈‎‎36.0m ‎【答案】 ≈36.0‎ ‎【点评】此题首先将CD分成两部分DN和CN,再将坡度概念转化成解直角三角形的知识,利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值,运用线段间的关系即可求出相关线段的长。 难度中等。‎ ‎22.(2011湖北鄂州,22,8分)在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.‎ ‎⑴求证△ABD为等腰三角形.‎ ‎⑵求证AC•AF=DF•FE ‎ 第22题图 B A F E D C M ‎【解题思路】(1)利用同角的补角相等,同弧所对的圆周角相等,等量代换;‎ ‎(2)证等积式就要找三角形相似,发现AC、AF、FE所在的三角形,且利用等弧对等弦,同圆中等弦对等弧,发现DF可以被DC替换,进而求解。‎ ‎【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA,而∠MCD=∠DCA,所以∠DBA=∠DAB,故△ABD为等腰三角形.‎ ‎⑵∵∠DBA=∠DAB ‎∴弧AD=弧BD 又∵BC=AF ‎∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA ‎∴弧CD=弧DF ‎∴CD=DF 再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知 ‎∠AFE=∠DBA=∠DCA①,∠FAE=∠BDE ‎∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE ‎∴AC:FE=CD:AF ‎∴AC•AF= CD •FE 而CD=DF,‎ ‎∴AC•AF=DF•FE ‎【点评】解决此题关键要用到与圆相关的性质、定理以及三角形相似的判定,等角对等边。‎ 有一定的几何知识的综合性。考查学生审图,分析图中边角关系的解题技能。‎ 难度中等 ‎23.(2011湖北鄂州,23,12分)我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资收益为:每投入x万元,可获得利润 ‎(万元).当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资,在实施规划5年的前两年中,每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路,两年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的3年中,该特产既在本地销售,也在外地销售.在外地销售的投资收益为:每投入x万元,可获利润(万元)‎ ‎⑴若不进行开发,求5年所获利润的最大值是多少?‎ ‎⑵若按规划实施,求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少?‎ ‎⑶根据⑴、⑵,该方案是否具有实施价值?‎ ‎【解题思路】(1)利用顶点公式即可求解。‎ ‎(2)前两年:0≤x≤50,在对称轴的左侧,P随x增大而增大,当x最大为50时,P值最大且为40万元,所以这两年获利最大为40×2=80万元.‎ 后三年:设每年获利为y,设当地投资额为x,则外地投资额为100-x,‎ 关键要注意此时的自变量只有一个,共投资100万,将x和100 —x分别代入相应的关系式即可 得到y与x的二次函数关系式,进而利用配方法或顶点公式求出最值。‎ ‎(3)把(1)、(2)中的最值做比较即可发现有极大的实施价值。‎ ‎【答案】解:⑴当x=60时,P最大且为41,故五年获利最大值是41×5=205万元.‎ ‎⑵前两年:0≤x≤50,此时因为P随x增大而增大,所以x=50时,P值最大且为40万元,所以这两年获利最大为40×2=80万元.‎ 后三年:设每年获利为y,设当地投资额为x,则外地投资额为100-x,所以y=P+Q ‎=+==,表明x=30时,y最大且为1065,那么三年获利最大为1065×3=3495万元,‎ 故五年获利最大值为80+3495-50×2=3475万元.‎ ‎⑶有极大的实施价值.‎ ‎【点评】此题以实际问题为背景,重在体现数学在生活中的应用。“数学来源于生活,应用于生活。”考查的知识点是二次函数,利用抛物线顶点或抛物线图像的增减性求出最值得问题,并把最值进行比较,从而得到最佳方案。虽然看上去关系式较复杂,但给出的是二次函数顶点式,学生做起来还是较易突破的。‎ 难度中等 ‎24.(2011湖北鄂州,24,14分)如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线交于M(x1,y1)和N(x2,y2)两点(其中x1<0,x2<0).‎ ‎⑴求b的值.‎ ‎⑵求x1•x2的值 ‎⑶分别过M、N作直线l:y=-1的垂线,垂足分别是M1、N1,判断△M1FN1的形状,并证明你的结论.‎ ‎⑷对于过点F的任意直线MN,是否存在一条定直线m,使m与以MN为直径的圆相切.如果有,请法度出这条直线m的解析式;如果没有,请说明理由.‎ F M N N1‎ M1‎ F1‎ O y x l ‎ 第24题图 ‎【解题思路】第(1)问,将F(0,1)代入y=kx+b即可得b值。‎ ‎⑵要将坐标转化为方程组的解,将方程组变形得关于x的一元二次方程,‎ 再利用根与系数的关系得=-4‎ ‎(3)要结合条件并利用(2)中的结论得到F‎1M1•F1N1=-x1•x2=4,结合(1)中的结论得 F F1=2,再把两个结论结合得到F‎1M1•F1N1=F‎1F2‎ 判定直角三角形相似,再利用直角三角形的相似性质,‎ 就可得到∠M1FN1=∠M1FF1+∠F1FN1=∠FN‎1F1+∠F1FN1=90°,‎ 所以△M1FN1是直角三角形.‎ ‎(4)表示线段长利用坐标所在的函数关系,将函数式相加减表示距离。‎ 运用梯形中位线的性质,来证明。‎ ‎【答案】解:⑴b=1‎ ‎⑵显然和是方程组的两组解,解方程组消元得,依据“根与系数关系”得=-4‎ F M N N1‎ M1‎ F1‎ O y x l ‎ 第24题解答用图 P Q ‎⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形,理由如下:‎ 由题知M1的横坐标为x1,N1的横坐标为x2,设M1N1交y轴于F1,‎ 则F‎1M1•F1N1=-x1•x2=4,而F F1=2,所以F‎1M1•F1N1=F‎1F2,‎ 另有∠M‎1F1F=∠FF1N1=90°,易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1,得∠M1FF1=∠FN‎1F1,‎ 故∠M1FN1=∠M1FF1+∠F1FN1=∠FN‎1F1+∠F1FN1=90°,所以△M1FN1是直角三角形.‎ ‎⑷存在,该直线为y=-1.理由如下:‎ 直线y=-1即为直线M1N1.‎ 如图,设N点横坐标为m,则N点纵坐标为,计算知NN1=, NF=,得NN1=NF 同理MM1=MF.‎ 那么MN=MM1+NN1,作梯形MM1N1N的中位线PQ,由中位线性质知PQ=(MM1+NN1)=MN,即圆心到直线y=-1的距离等于圆的半径,所以y=-1总与该圆相切.‎ ‎【点评】:‎ 此题第(1)问,很简单就是代入求值,确定函数的系数。‎ ‎(2)结合问题将一次、二次函数组合转化为一元二次方程,利用“根与系数”的关系求解。‎ ‎(3)直角三角形的判定涉及直角三角形相似的判定和性质的运用。‎ ‎(4)用函数的加减来求距离,梯形中位线。此题综合性很强,考查学生数形结合的思想,综合了代数、几何中的重点知识要学生有很好的综合技能才可解决。‎ 难度较大
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