2020高中数学 第一章 常用逻辑用语 1

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2020高中数学 第一章 常用逻辑用语 1

‎1.1.1 ‎命题 学习目标:1.了解命题的概念.(难点)2.理解命题的构成形式,能将命题改写为“若p,则q”的形式.(重点)3.能判断一些简单命题的真假.(难点,易错点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1.命题的定义与分类 ‎(1)命题的定义:在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.‎ ‎(2)命题定义中的两个要点:“可以判断真假”和“陈述句”.我们学习过的定理、推论都是命题.‎ ‎(3)分类 命题 思考1:(1)“x-1=‎0”‎是命题吗?‎ ‎(2)“命题一定是陈述句,但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗?‎ ‎[提示] (1)“x-1=‎0”‎不是命题,因为它不能判断真假.‎ ‎(2)正确.根据命题的定义,命题一定是陈述句,但陈述句中只有能够判断真假的才是命题.‎ ‎2.命题的结构 ‎(1)命题的一般形式为“若p,则q”.其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.‎ ‎(2)确定命题的条件和结论时,常把命题改写成“若p,则q”的形式.‎ 思考2:命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么?‎ ‎[提示] 条件是“一个数是实数”,结论是:“它的平方是非负数”.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1.思考辨析 ‎(1)一个命题不是真命题就是假命题. (  )‎ ‎(2)一个命题可以是感叹句. (  )‎ ‎(3)x>5是命题. (  )‎ ‎[解析] 根据命题的定义知(1)正确,(2)、(3)错误.‎ ‎[答案] (1)√ (2)× (3)×‎ ‎2.下列语句是命题的是(  )‎ ‎①三角形内角和等于180°;②2>3;‎ ‎③一个数不是正数就是负数;④x>2;‎ ‎⑤2018央视狗年春晚真精彩啊!‎ A.①②③      B.①③④‎ C.①②⑤ D.②③⑤‎ 6‎ A [①、②、③是陈述句,且能判断真假,因此是命题,④不能判断真假,⑤是感叹句,故④、⑤不是命题.]‎ ‎3.下列命题中,真命题共有(  ) ‎ ‎【导学号:97792000】‎ ‎①面积相等的三角形是全等三角形;②若xy=0,则|x|+|y|=0;‎ ‎③若a>b,则a+c>b+c;④矩形的对角线互相垂直.‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A [①、②、④是假命题,③是真命题.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 命题的判断 ‎ (1)下列语句为命题的是(  )‎ A.x2-1=0     B.2+3=8‎ C.你会说英语吗? D.这是一棵大树 ‎(2)下列语句为命题的有________.‎ ‎①x∈R,x>2;②梯形是不是平面图形呢?③22 018是一个很大的数;④4是集合{2,3,4}中的元素;⑤作△ABC≌△A′B′C′.‎ ‎[解析] (1)A中x不确定,x2-1=0的真假无法判断;B中2+3=8是命题,且是假命题;C不是陈述句,故不是命题;D中“大”的标准不确定,无法判断真假.‎ ‎(2)①中x有范围,可以判断真假,因此是命题;②是疑问句,不是命题;③是陈述句,但“大”的标准不确定,无法判断真假,因此不是命题;④是陈述句且能判断真假,因此是命题;⑤是祈使句,不是命题.‎ ‎[答案] (1)B (2)①④‎ ‎[规律方法] 判断一个语句是否是命题的二个关键点 ‎(1)命题是可以判断真假的陈述句,因此,疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.(2)对于含变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断其真假,若能,就是命题;若不能,就不是命题. 提醒:若语句中含有变量,但变量没有给出范围,则该语句不是命题.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.判断下列语句是不是命题,并说明理由.‎ ‎(1)函数f(x)=3x(x∈R)是指数函数;‎ ‎(2)x2-3x+2=0;‎ ‎(3)若x∈R,则x2+4x+7>0.‎ 6‎ ‎(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗?‎ ‎(5)一个数不是奇数就是偶数;‎ ‎(6)‎2030年6月1日上海会下雨.‎ ‎[解] (1)是命题,满足指数函数的定义,为真命题.‎ ‎(2)不是命题,不能判断真假.‎ ‎(3)是命题.当x∈R时,x2+4x+7=(x+2)2+3>0能判断真假.‎ ‎(4)疑问句,不是命题.‎ ‎(5)是命题,能判断真假.‎ ‎(6)不是命题,不能判断真假.‎ 命题的构成 ‎ (1)已知命题:弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧,若把上述命题改为“若p则q”的形式,则p是________,q是________.‎ ‎ 【导学号:97792001】‎ ‎(2)把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.‎ ‎①函数y=lg x是单调函数;‎ ‎②已知x,y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2;‎ ‎③当abc=0时,a=0且b=0且c=0.‎ ‎[思路探究] 解决此类题目的关键是找到命题的条件和结论,然后用适当的形式改写成“若p,则q的形式”.‎ ‎[解析] (1)命题的条件是“弦的垂直平分线”,结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”.因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”,q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”.‎ ‎[答案] 一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.‎ ‎(2)①若函数是对数函数y=lg x,则这个函数是单调函数.‎ ‎②已知x,y为正整数,若y=x+1,则y=3,x=2.‎ ‎③若abc=0,则a=0且b=0且c=0.‎ ‎[规律方法] 1.若一个命题有大前提,则在将其改写成“若p,则q”的形式时,大前提仍应作为大前提,不能写在条件中,如本例(2)②.‎ ‎2.“若p,则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式,也有一些命题的叙述比较简洁,并不是以“若p,则q”这种形式给出的,这时,首先要把这个命题补充完整,然后确定命题的条件和结论.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2.把下列命题改写成“若p,则q”的形式.‎ 6‎ ‎(1)当>时,a,则ab,则‎2a>2b;‎ ‎②命题“若a,b是无理数,则a+b是无理数”是真命题;‎ ‎③直线x=是函数y=sin x的一条对称轴;‎ ‎④在△ABC中,若·>0,则△ABC是钝角三角形.‎ 其中为真命题的是________.‎ ‎[思路探究]  ‎[解析] 对于①,根据函数f(x)=2x的单调性知①为真命题.‎ 对于②,若a=1+,b=1-,则a+b=2不是无理数,因此②是假命题.‎ 对于③,函数y=sin x的对称轴方程为x=+kπ,k∈Z,故③为真命题.‎ 对于④,因为·=||||cos(π-B)=-||||cosB>0,故得cosB<0,从而得B为钝角,所以④为真命题.‎ ‎[答案] ①③④‎ 母题探究:1.(变结论)本例中命题①变为“若a>b,则方程ax2-2bx+a=0无实根”,该命题是真命题还是假命题.‎ ‎[解] 若a=1,b=-5,满足a>b,但Δ=4b2-‎4a2‎ 6‎ ‎>0,方程有两个不相等的实根,因此该命题是假命题.‎ ‎2.(变条件)本例中命题④变为“若·<0,则△ABC是锐角三角形”,该命题还是真命题吗?‎ ‎[解] 不是真命题,·<0只能说明∠B是锐角,其他两角的情况不确定.只有三个角都是锐角,才可以判定三角形为锐角三角形.‎ ‎[规律方法] 1.由命题的概念可知,一个命题要么是真的,要么是假的,且必居其一.‎ ‎2.如果要判断一个命题为真命题,需要依据条件进行严格的推理论证,而要判断一个命题为假命题,只要举出一个反例即可.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1.下列语句不是命题的个数为(  )‎ ‎①2<1;②x<1;③若x<1,则x<2;④函数f(x)=x2是R上的偶函数.‎ A.0   B.‎1 ‎   C.2   D.3‎ B [语句①、③、④都能判断真假,是命题,语句②不能判断真假,不是命题.]‎ ‎2.命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是(  )‎ A.这个四边形的对角线互相平分 B.这个四边形的对角线互相垂直 C.这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直 D.这个四边形是平行四边形 C [把命题改写成“若p,则q”的形式后可知C正确.故选C.]‎ ‎3.下列命题是真命题的为(  ) ‎ ‎【导学号:97792002】‎ A.若a>b,则< B.若b2=ac,则a,b,c成等比数列 C.若|x|,故A是假命题.‎ 对于B,当a=b=0时,满足b2=ac,但a,b,c不是等比数列,故B是假命题.‎ 对于C,因为y>|x|≥0,则x2
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