高考数学复习 17-18版 第9章 第48课 直线与椭圆的位置关系

高考数学复习 17-18版 第9章 第48课 直线与椭圆的位置关系

第48课 直线与椭圆的位置关系 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 直线与椭圆的位置关系 ‎√‎ ‎1．直线与椭圆的位置关系 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．‎ 考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ‎(1)Δ＞0⇔直线与椭圆相交；‎ ‎(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；‎ ‎(3)Δ＜0⇔直线与椭圆相离．‎ ‎2．弦长公式 设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB＝＝·|x1－x2|＝·＝|y1－y2|.‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点．(　　)‎ ‎(2)过＋＝1(a>b>0)焦点的直线x＝c交曲线于A，B两点，则AB＝.(　　)‎ ‎(3)直线y＝kx(k≠0)与椭圆＋＝1(a>b>0)交于不同的A，B两点，F 是椭圆的右焦点，则S△ABF的最大值为bc.(　　)‎ ‎(4)直线y＝k(x－1)＋1与椭圆＋＝1的位置关系随k的变化而变化．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)若斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则AB的最大值为________．‎ 　[设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1得x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意得Δ＝(2t)2－5(t2－1)>0，即t2<5.∴AB＝4×≤.]‎ ‎3．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为________．‎ ‎6　[由椭圆定义知，两式相加得AB＋AF1＋BF1＝16，‎ 即△AF1B周长为16，又因为在△AF1B中，有两边之和是10，所以第三边长度为16－10＝6.]‎ ‎4．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且AB＝3，则C的方程为__________．‎ ＋＝1　[依题意，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)．‎ 过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长AB＝3，‎ ‎∴点A必在椭圆上，‎ ‎∴＋＝1.①‎ 又由c＝1，得1＋b2＝a2.②‎ 由①②联立，得b2＝3，a2＝4.‎ 故所求椭圆C的方程为＋＝1.]‎ ‎5．若椭圆＋＝1中过点P(1,1)的弦恰好被P平分，则此弦所在直线的方程是________．‎ x＋2y－3＝0　[设弦的两个端点分别为(x1，y1)，(x2，y2)则 ‎①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.‎ 又x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.‎ ‎∴＝－.‎ 即所求直线的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.]‎ 定点问题 ‎　椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程．‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．‎ 求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎[解]　(1)因为左焦点(－c,0)到点P(2,1)的距离为，所以＝，解得c＝1.‎ 又e＝＝，解得a＝2，所以b2＝a2－c2＝3.‎ 所以所求椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由 消去y得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，‎ Δ＝‎64m2‎k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，化为3＋4k2>m2.‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝.‎ y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2‎ ‎＝.‎ 因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2,0)，kAD·kBD＝－1，‎ 所以·＝－1，‎ 所以y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，‎ 所以＋＋＋4＝0.‎ 化为7m2＋16mk＋4k2＝0，‎ 解得m1＝－2k，m2＝－.‎ 且满足3＋4k2－m2>0.‎ 当m＝－2k时，l：y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；‎ 当m＝－时，l: y＝k，直线过定点.‎ 综上可知，直线l过定点.‎ ‎[规律方法]　定点问题的求解策略 ‎(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；‎ ‎(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．‎ ‎[变式训练1]　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且AF＝1.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x＝4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t,0)，使得·＝0.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 【导学号：62172265】‎ 图481‎ ‎[解]　(1)由c＝1，a－c＝1，得a＝2，∴b＝，故椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)由 消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，∴Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即m2＝3＋4k2.‎ 设P(xp，yp)，则xp＝－＝－，‎ yp＝kxp＋m＝－＋m＝，即P.‎ ‎∵M(t,0)，Q(4,4k＋m)，∴＝，＝(4－t,4k＋m)，∴·＝·(4－t)＋·(4k＋m)＝t2－4t＋3＋(t－1)＝0恒成立，‎ 故即t＝1.‎ ‎∴存在点M(1,0)符合题意.‎ 定值问题 ‎　(2017·南京模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，一条准线方程为x＝2.过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P，P关于x轴的对称点为Q.‎ 图482‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数. 【导学号：62172266】‎ ‎[解]　(1)因为＝，＝2，‎ 所以a＝，c＝1，所以b＝＝1.‎ 故椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)法一：设P点坐标为(x1，y1)，则Q点坐标为(x1，－y1)．‎ 因为kAP＝＝，所以直线AP的方程为y＝x＋1.‎ 令y＝0，解得m＝－.‎ 因为kAQ＝＝－，所以直线AQ的方程为y＝－x＋1.‎ 令y＝0，解得n＝.‎ 所以mn＝×＝.‎ 又因为(x1，y1)在椭圆＋y2＝1上，所以＋y＝1，即1－y＝，‎ 所以＝2，即mn＝2.‎ 所以mn为常数，且常数为2.‎ 法二：设直线AP的斜率为k(k≠0)，则AP的方程为y＝kx＋1，令y＝0，得m＝－.‎ 联立方程组 消去y，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，解得xA＝0，xP＝－，‎ 所以yP＝k×xP＋1＝，‎ 则Q点的坐标为.‎ 所以kAQ＝＝，故直线AQ的方程为y＝x＋1.‎ 令y＝0，得n＝－2k，‎ 所以mn＝×(－2k)＝2.‎ 所以mn为常数，常数为2.‎ ‎[规律方法]　圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；‎ ‎(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；‎ ‎(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．‎ ‎[变式训练2]　(2017·扬州期中)如图483，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，离心率为.过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)．点D在椭圆C上，且AD⊥AB.‎ 图483‎ ‎(1)若椭圆C的右准线方程为：x＝4，求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设直线BD，AB的斜率分别为k1，k2，求的值．‎ ‎[解]　(1)∵解得∴b2＝3，∴椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)法一：设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则B(－x1，－y1)．‎ ‎∵A，D在椭圆上，‎ ‎∴∴(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.‎ ‎∴＋kAD·kBD＝0，∵e＝＝，∴＝，∴k1＝－.‎ ‎∵AD⊥AB，∴k2＝－，∴＝＝.‎ 法二：设A(x0，y0)，D(x1，y1)，则B(－x0，－y0)．‎ 则kAD·kBD＝·＝＝＝－，下同法一.‎ 最值(范围)问题 ‎　已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．‎ 图484‎ ‎(1)求实数m的取值范围；‎ ‎(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．‎ ‎[解]　(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.‎ 因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，‎ 所以Δ＝－2b2＋2＋>0.①‎ 将线段AB中点M 代入直线方程y＝mx＋解得 b＝－.②‎ 由①②得m<－或m>.‎ 故m的取值范围是∪.‎ ‎(2)令t＝∈∪，‎ 则AB＝·.‎ 且O到直线AB的距离为d＝.‎ 设△AOB的面积为S(t)，‎ 所以S(t)＝AB·d ‎＝≤，‎ 当且仅当t2＝，即m＝±时，等号成立．故△AOB面积的最大值为.‎ ‎[规律方法]　解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法 ‎(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．‎ ‎(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．‎ ‎(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．‎ ‎(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．‎ ‎(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．‎ ‎[变式训练3]　(2017·常州模拟)已知圆x2＋y2＝1过椭圆＋＝1(a>b ‎>0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，与椭圆＋＝1相交于A，B两点．记λ＝·，且≤λ≤.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)求k的取值范围；‎ ‎(3)求△OAB的面积S的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由题意知‎2c＝2，所以c＝1.‎ 因为圆与椭圆有且只有两个公共点，‎ 从而b＝1，故a＝，‎ 所以所求椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)因为直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，‎ 所以原点O到直线l的距离为＝1，‎ 即m2＝k2＋1.‎ 由 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ λ＝·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，‎ 由≤λ≤，得≤k2≤1，‎ 即k的取值范围是∪.‎ ‎(3)AB2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2‎ ‎＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]‎ ‎＝2－，‎ 由≤k2≤1，得≤AB≤.‎ 设△OAB的AB边上的高为d，则d＝1，‎ 则S＝ABd＝AB，‎ 所以≤S≤.‎ 即△OAB的面积S的取值范围是.‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．有关弦的三个问题 涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解．‎ ‎2．圆锥曲线中常见最值问题及解题方法 ‎(1)两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②‎ 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些问题．‎ ‎(2)两种常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．求范围问题要注意变量自身的范围．‎ ‎2．中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0或说明中点在曲线内部．‎ ‎3．解决定值、定点问题，不要忘记特值法．‎ 课时分层训练(四十八)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．如图485，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点A(2,1)，离心率为.‎ 图485‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程. 【导学号：62172267】‎ ‎[解]　(1)由条件知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝＝，‎ 所以b2＝a2－c2＝a2.‎ 又点A(2,1)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，‎ 所以＋＝1，‎ 解得 所以，所求椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)将y＝kx＋m(k≠0)代入椭圆方程，得x2＋4(kx＋m)2－8＝0，‎ 整理得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－8＝0.　①‎ 由线段BC被y轴平分，得xB＋xC＝－＝0，‎ 因为k≠0，所以m＝0.‎ 因为当m＝0时，B，C关于原点对称，设B(x，kx)，C(－x，－kx)，‎ 由方程①，得x2＝，‎ 又因为AB⊥AC，A(2,1)，‎ 所以·＝(x－2)(－x－2)＋(kx－1)(－kx－1)＝5－(1＋k2)x2＝5－＝0，‎ 所以k＝±.‎ 由于k＝时，直线y＝x过点A(2,1)，故k＝不符合题设．‎ 所以，此时直线l的方程为y＝－x. ‎ ‎2．已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．‎ ‎[解]　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 由条件可得a＝2，c＝，b＝1，故椭圆C的方程＋x2＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，‎ 故x1＋x2＝－，x1x2＝－.‎ 设△OAB的面积为S，由x1x2＝－<0，‎ 知S＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|‎ ‎＝＝2，‎ 令k2＋3＝t，知t≥3，∴S＝2，‎ 对函数y＝t＋(t≥3)，知y′＝1－＝>0，‎ ‎∴y＝t＋在t∈[3，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴t＋≥，∴0<≤，∴S∈.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·苏锡常镇调研一)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点．‎ ‎①若直线l过椭圆C的右焦点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值；‎ ‎②若直线l的斜率为，试探究OA2＋OB2是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由. 【导学号：62172268】‎ ‎[解]　(1)＋＝1，＝，得a2＝4，b2＝3.‎ 所以椭圆C：＋＝1.‎ ‎(2)①设直线l的方程为x＝my＋1，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由化简得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，易知Δ>0，‎ 所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，‎ 所以kAP·kBP＝·＝·＝· ‎＝－－，‎ 所以t＝kAB·kAP·kBP＝－－＝－2＋，‎ 所以当m＝－时，t有最大值.‎ ‎②设直线l的方程为y＝x＋n，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，得3x2＋2nx＋2n2－6＝0，‎ Δ＝(2n)2－4×3(2n2－6)>0，即－

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