2015高考数学(理)(直线、圆的位置关系)一轮复习学案

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文档介绍

2015高考数学(理)(直线、圆的位置关系)一轮复习学案

学案50 直线、圆的位置关系 导学目标: 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想.‎ 自主梳理 ‎1.直线与圆的位置关系 位置关系有三种:________、________、________.‎ 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法:‎ ‎(1)代数法:利用判别式Δ,即直线方程与圆的方程联立方程组消去x或y整理成一元二次方程后,计算判别式Δ ‎(2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:‎ dr⇔________.‎ ‎2.圆的切线方程 若圆的方程为x2+y2=r2,点P(x0,y0)在圆上,则过P点且与圆x2+y2=r2相切的切线方程为____________________________.‎ 注:点P必须在圆x2+y2=r2上.‎ 经过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上点P(x0,y0)的切线方程为________________________.‎ ‎3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 ‎(1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.‎ ‎(2)代数方法 运用韦达定理及弦长公式 ‎|AB|=|xA-xB|‎ ‎=.‎ 说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.‎ ‎4.圆与圆的位置关系 ‎(1)圆与圆的位置关系可分为五种:________、________、________、________、________.‎ 判断圆与圆的位置关系常用方法:‎ ‎(几何法)设两圆圆心分别为O1、O2,半径为r1、r2 (r1≠r2),则|O1O2|>r1+r2________;|O1O2|=r1+r2______;|r1-r2|<|O1O2|0)的公共弦的长为2,则a=________.‎ ‎7.(2011·三明模拟)已知点A是圆C:x2+y2+ax+4y-5=0上任意一点,A点关于直线x+2y-1=0的对称点也在圆C上,则实数a=________.‎ ‎8.(2011·杭州高三调研)设直线3x+4y-5=0与圆C1:x2+y2=4交于A,B两点,若圆C2的圆心在线段AB上,且圆C2与圆C1相切,切点在圆C1的劣弧上,则圆C2的半径的最大值是________.‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9.(12分)圆x2+y2=8内一点P(-1,2),过点P的直线l的倾斜角为α,直线l交圆于A、B两点.‎ ‎(1)当α=时,求AB的长;‎ ‎(2)当弦AB被点P平分时,求直线l的方程.‎ ‎10.(12分)(2011·湛江模拟)自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线l所在直线的方程.‎ ‎11.(14分)已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.求:‎ ‎(1)m取何值时两圆外切?‎ ‎(2)m取何值时两圆内切?‎ ‎(3)m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.‎ 学案50 直线、圆的位置关系 自主梳理 ‎1.相切 相交 相离 (1)相交 相切 相离 (2)相交 相切 相离 2.x0x+y0y=r2 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 4.(1)相离 外切 相交 内切 内含 相离 外切 相交 内切 内含 (2)(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0‎ 自我检测 ‎1.A 2.D 3.B 4.B 5.B 课堂活动区 例1 解题导引 (1)过点P作圆的切线有三种类型:‎ 当P在圆外时,有2条切线;‎ 当P在圆上时,有1条切线;‎ 当P在圆内时,不存在.‎ ‎(2)利用待定系数法设圆的切线方程时,一定要注意直线方程的存在性,有时要进行恰当分类.‎ ‎(3)切线长的求法:‎ 过圆C外一点P作圆C的切线,切点为M,半径为R,‎ 则|PM|=.‎ 解 (1)将圆C配方得(x+1)2+(y-2)2=2.‎ ‎①当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为y=kx,‎ 由=,解得k=2±,得y=(2±)x.‎ ‎②当直线在两坐标轴上的截距不为零时,‎ 设直线方程为x+y-a=0,‎ 由=,‎ 得|a-1|=2,即a=-1,或a=3.‎ ‎∴直线方程为x+y+1=0,或x+y-3=0.‎ 综上,圆的切线方程为y=(2+)x,或y=(2-)x,‎ 或x+y+1=0,或x+y-3=0.‎ ‎(2)由|PO|=|PM|,‎ 得x+y=(x1+1)2+(y1-2)2-2,‎ 整理得2x1-4y1+3=0.‎ 即点P在直线l:2x-4y+3=0上.‎ 当|PM|取最小值时,即OP取得最小值,直线OP⊥l,‎ ‎∴直线OP的方程为2x+y=0.‎ 解方程组得点P的坐标为.‎ 变式迁移1 解 设圆切线方程为y-3=k(x-2),‎ 即kx-y+3-2k=0,∴1=,‎ ‎∴k=,另一条斜率不存在,方程为x=2.‎ ‎∴切线方程为x=2和3x-4y+6=0.‎ 圆心C为(1,1),∴kPC==2,‎ ‎∴过两切点的直线斜率为-,又x=2与圆交于(2,1),‎ ‎∴过切点的直线为x+2y-4=0.‎ 例2 解题导引 (1)有关圆的弦长的求法:‎ 已知直线的斜率为k,直线与圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,点C到l的距离为d,圆的半径为r.‎ 方法一 代数法:弦长|AB|=|x2-x1|‎ ‎=·;‎ 方法二 几何法:弦长|AB|=2.‎ ‎(2)有关弦的中点问题:‎ 圆心与弦的中点连线和已知直线垂直,利用这条性质可确定某些等量关系.‎ 解 (1)方法一 ‎ 如图所示,|AB|=4,取AB的中点D,连接CD,则CD⊥AB,连接AC、BC,‎ 则|AD|=2,|AC|=4,‎ 在Rt△ACD中,可得|CD|=2.‎ 当直线l的斜率存在时,设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.‎ 由点C到直线AB的距离公式,得=2,‎ 解得k=.‎ 当k=时,直线l的方程为3x-4y+20=0.‎ 又直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x=0.‎ ‎∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.‎ 方法二 当直线l的斜率存在时,‎ 设所求直线的斜率为k,‎ 则直线的方程为y-5=kx,即y=kx+5.‎ 联立直线与圆的方程 消去y,得(1+k2)x2+(4-2k)x-11=0.①‎ 设方程①的两根为x1,x2,‎ 由根与系数的关系,得②‎ 由弦长公式,得|x1-x2|‎ ‎==4.‎ 将②式代入,解得k=,‎ 此时直线方程为3x-4y+20=0.‎ 又k不存在时也满足题意,此时直线方程为x=0. ‎ ‎∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.‎ ‎(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),‎ 则CD⊥PD,即·=0,‎ ‎(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,‎ 化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.‎ 变式迁移2 (1)证明 由kx-y-4k+3=0,‎ 得(x-4)k-y+3=0.‎ ‎∴直线kx-y-4k+3=0过定点P(4,3).‎ 由x2+y2-6x-8y+21=0,‎ 即(x-3)2+(y-4)2=4,‎ 又(4-3)2+(3-4)2=2<4.‎ ‎∴直线和圆总有两个不同的交点.‎ ‎(2)解 kPC==-1.‎ 可以证明与PC垂直的直线被圆所截得的弦AB最短,因此过P点斜率为1的直线即为所求,其方程为y-3=x-4,即x-y-1=0.|PC|==,‎ ‎∴|AB|=2=2.‎ 例3 解题导引 圆和圆的位置关系,从交点个数也就是方程组解的个数来判断,有时得不到确切的结论,通常还是从圆心距d与两圆半径和、差的关系入手.‎ 解 对于圆C1与圆C2的方程,经配方后 C1:(x-m)2+(y+2)2=9;‎ C2:(x+1)2+(y-m)2=4.‎ ‎(1)如果C1与C2外切,‎ 则有=3+2.‎ ‎(m+1)2+(m+2)2=25.‎ m2+‎3m-10=0,解得m=-5或m=2.‎ ‎(2)如果C1与C2内含,‎ 则有<3-2.‎ ‎(m+1)2+(m+2)2<1,m2+‎3m+2<0,‎ 得-20,b2+6b-9<0,‎ 解得-3-30.‎ 即直线AB的方程为x-y-4=0,或x-y+1=0.‎ 变式迁移4 解 (1)方法一 ∵直线l过点A(0,1)且斜率为k,‎ ‎∴直线l的方程为y=kx+1.‎ 将其代入圆C:(x-2)2+(y-3)2=1,‎ 得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.①‎ 由题意:Δ=[-4(1+k)]2-4×(1+k2)×7>0,‎ 得
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