上海市华东师范大学二附中2020届高三上学期暑假测试数学试题 含解析

上海市华东师范大学二附中2020届高三上学期暑假测试数学试题 含解析

‎2019-2020学年上海市浦东新区华师大二附中高三（上）8月月考数学试卷 一.填空题 ‎1．（3分）（2014秋•崇川区校级期中）是虚数单位，　 　．‎ ‎2．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）的展开式中，的系数是　　．‎ ‎3．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）“”是“”的　　条件 ‎4．（3分）（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是　 　（米）．‎ ‎5．（3分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为　 　．‎ ‎6．（3分）已知函数，则不等式的解集是　 　．‎ ‎7．（3分）已知数列中，，则　 　．‎ ‎8．（3分）已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于　 　．‎ ‎9．（3分）（2008•天津）设，若仅有一个常数使得对于任意的，，都有，满足方程，这时的取值的集合为　　 ．‎ ‎10．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有　　 ．‎ ‎11．（3分）（2016•上海）如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，任取不同的两点，，点满足，则点落在第一象限的概率是　　 ．‎ ‎12．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数；③若、、均为奇函数，则、、均是奇函数；④若、、的值域均是，则、、均是值域为的函数，其中所有正确的命题是　　．‎ 二.选择题 ‎13．（3分）（2008•天津）设，是两条直线，，是两个平面，则的一个充分条件是　　‎ A．，， B．，， ‎ C．，， D．，，‎ ‎14．（3分）（2008•天津）设函数，则函数是　　‎ A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 ‎ C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎15．（3分）（2008•天津）设函数的反函数为，则　　‎ A．在其定义域上是增函数且最大值为1 ‎ B．在其定义域上是减函数且最小值为0 ‎ C．在其定义域上是减函数且最大值为1 ‎ D．在其定义域上是增函数且最小值为0‎ ‎16．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）下列命题中正确的命题有几个　　‎ ‎（1）是，，，依次构成等差数列的必要非充分条件．‎ ‎（2）若是等比数列，，，则也是等比数列．‎ ‎（3）若，，依次成等差数列，则，，也依次成等差数列．‎ ‎（4）数列所有项均为正数，则数列，构成等比数列的充要条件是构成等比数列．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三.解答题 ‎17．（2019秋•浦东新区校级月考）如图，四边形与均为菱形，，且，与交于点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎18．（2011•无锡模拟）如图所示：一吊灯的下圆环直径为，圆心为，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即为，在圆环上设置三个等分点，，．点为上一点（不包含端点、，同时点与点，，，均用细绳相连接，且细绳，，的长度相等．设细绳的总长为．‎ ‎（1）设，将表示成的函数关系式；‎ ‎（2）请你设计，当角正弦值的大小是多少时，细绳总长最小，并指明此时应为多长．‎ ‎ ‎ ‎19．（2019•北京）已知抛物线经过点．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；‎ ‎（Ⅱ）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点，，直线分别交直线，于点和点．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点． ‎ ‎20．（2008•浦东新区一模）由函数确定数列，，若函数的反函数能确定数列，，则称数列是数列的“反数列”．‎ ‎（1）若函数确定数列的反数列为，求的通项公式；‎ ‎（2）对（1）中，不等式对任意的正整数 恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设，若数列的反数列为，与的公共项组成的数列为，求数列前项和． ‎ ‎21．（2019秋•浦东新区校级月考）若函数定义在区间上时存在反函数，那么就称区间为函数的“单射区间”，如果不存在单射区间，使得，那么就称为函数的“极大单射区间”，例如，是函数的“单射区间”， ，是函数的“极大单射区间”．‎ ‎（1）求的所有极大单射区间表示包含的区间，；‎ ‎（2）求的所有极大单射区间上的反函数，用表示；‎ ‎（3）判断，是否有意义，若有意义，求出它的值，若没有意义，请说明理由．‎ ‎2019-2020学年上海市浦东新区华师大二附中高三（上）8月月考数学试卷 参考答案与试题解析 一.填空题 ‎1．（3分）（2014秋•崇川区校级期中）是虚数单位，　　．‎ ‎【解答】解：．‎ 故答案为：．‎ ‎2．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）的展开式中，的系数是　40　‎ ‎【解答】解：根据题意，的展开式的通项为，‎ 令，解可得，‎ 则有，即的系数是40，‎ 故答案为：40．‎ ‎3．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）“”是“”的　既不充分也不必要　条件 ‎【解答】解：当，时，满足，但；当，时，满足，但，‎ 所以是的充分也不必要条件．‎ 故答案为：既不充分也不必要．‎ ‎4．（3分）（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是　1.76　（米．‎ ‎【解答】解：位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，‎ 从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，‎ 位于中间的两个数值为1.75，1.77，‎ 这组数据的中位数是：（米．‎ 故答案为：1.76．‎ ‎5．（3分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为　24　．‎ ‎【解答】解：设球的半径为，由得，‎ 所以，表面积为．‎ 故答案为：24‎ ‎6．（3分）（2010秋•承德期末）已知函数，则不等式的解集是　，　．‎ ‎【解答】解：由题意 当时，有恒成立，故得 当时，，解得，故得 综上得不等式的解集是 故答案为，．‎ ‎7．（3分）（2008•天津）已知数列中，，则　　．‎ ‎【解答】解：因为 所以是一个等比数列的前项和，所以，且．代入，‎ 所以．‎ 所以答案为 ‎8．（3分）（2016•上海）已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于　　．‎ ‎【解答】解：可设的三边分别为，，，‎ 由余弦定理可得，，‎ 可得，‎ 可得该三角形的外接圆半径为．‎ 故答案为：．‎ ‎9．（3分）（2008•天津）设，若仅有一个常数使得对于任意的，，都有，满足方程，这时的取值的集合为　　．‎ ‎【解答】解：，‎ 得，单调递减，所以当，时，‎ 所以，因为有且只有一个常数符合题意，所以，解得，所以的取值的集合为．‎ 故答案为：‎ ‎10．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有　1248　‎ ‎【解答】解：根据题意，分2步进行分析：‎ ‎①，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则中间行的数字只能为1，4或2，3，共有种排法，‎ ‎②，然后确定其余4个数字，其排法总数为，‎ 其中不合题意的有：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，‎ 余下两个数字有种排法，‎ 所以此时余下的这4个数字共有种方法；‎ 则有种不同的排法，‎ 故答案为：1248．‎ ‎11．（3分）（2016•上海）如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，任取不同的两点，，点满足，则点 落在第一象限的概率是　　．‎ ‎【解答】解：从正八边形的八个顶点中任取两个，基本事件总数为．‎ 满足，且点落在第一象限，对应的，，为：‎ ‎，，，，，，，，，共5种取法．‎ 点落在第一象限的概率是，‎ 故答案为：．‎ ‎12．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数；③若、、均为奇函数，则、、均是奇函数；④若、、的值域均是，则、、均是值域为的函数，其中所有正确的命题是　②③　‎ ‎【解答】解：①，可举反例：．，‎ ‎．均不是增函数，‎ 但、、均为增函数，故①错误；‎ ‎②，，‎ ‎，‎ 前两式作差可得：，‎ 结合第三式可得：，，‎ 同理可得：，因此②正确．‎ ‎③若、、均是奇函数，‎ ‎、是奇函数，‎ 即是奇函数，‎ 同理、均是奇函数，故③正确；‎ ‎④，由①可得、、的值域均是，‎ 但、、值域均不为的函数，故④错误．‎ 故答案为：②③．‎ 二.选择题 ‎13．（3分）（2008•天津）设，是两条直线，，是两个平面，则 的一个充分条件是　　‎ A．，， B．，， C．，， D．，，‎ ‎【解答】解：、、的反例如图．‎ 故选：．‎ ‎14．（3分）（2008•天津）设函数，则函数是　　‎ A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 ‎ C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎【解答】解：‎ 所以，且为奇函数．‎ 故选：．‎ ‎15．（3分）（2008•天津）设函数的反函数为，则　　‎ A．在其定义域上是增函数且最大值为1 ‎ B．在其定义域上是减函数且最小值为0 ‎ C．在其定义域上是减函数且最大值为1 ‎ D．在其定义域上是增函数且最小值为0‎ ‎【解答】解：为减函数，‎ 由复合函数单调性知为增函数，‎ 单调递增，排除、；‎ 又的值域为的定义域，‎ 最小值为0‎ 故选：．‎ ‎16．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）下列命题中正确的命题有几个　　‎ ‎（1）是，，，依次构成等差数列的必要非充分条件．‎ ‎（2）若是等比数列，，，则也是等比数列．‎ ‎（3）若，，依次成等差数列，则，，也依次成等差数列．‎ ‎（4）数列所有项均为正数，则数列，构成等比数列的充要条件是构成等比数列．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【解答】解：若，，，依次构成等差数列，则，‎ 但，，，时，，但，，，‎ 依次不构成等差数列，‎ 故是，，，依次构成等差数列的必要非充分条件，即（1）正确；‎ 若是等比数列，公比为，则若和是也是等比数列，公比均为1，但对应项相反.‎ 则，可得不是等比数列，即（2）不正确.‎ 若，，依次成等差数列，，则，即，，也依次成等差数列．故（3）正确.‎ ‎（4）若为等比数列，则数列显然也是等比数列，但若是所有奇数项均相等，所有偶数项也均相等的摆动数列，则显然也是等比数列，‎ 故数列，构成等比数列的充分为必要条件是构成等比数列．故（4）正确.‎ 三.解答题 ‎17．（2019秋•浦东新区校级月考）如图，四边形与均为菱形，，且，与交于点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【解答】解：（1）证明：连结，，‎ 四边形与均为菱形，，‎ ‎，‎ ‎，与交于点，是中点，且是中点，‎ ‎，，‎ ‎，平面．‎ ‎（2）解：以为的点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，‎ 设，则平面的法向量，1，，‎ ‎，0，，，1，，，0，，‎ ‎，1，，，0，，‎ 设平面的法向量，，，‎ 则，取，得，，，‎ 设二面角的平面角为，‎ 则．‎ 二面角的余弦值为．‎ ‎18．（2011•无锡模拟）如图所示：一吊灯的下圆环直径为，圆心为，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即为，在圆环上设置三个等分点，，．点为上一点（不包含端点、，同时点与点，，，均用细绳相连接，且细绳，，的长度相等．设细绳的总长为．‎ ‎（1）设，将表示成的函数关系式；‎ ‎（2）请你设计，当角正弦值的大小是多少时，细绳总长最小，并指明此时应为多长．‎ ‎【解答】解：（1）在中，，，（2分）（7分）‎ ‎（2），‎ 令，则（12分）‎ 当时，；时，，‎ 在上是增函数 当角满足时，最小，最小为；此时 （16分）‎ ‎19．（2019•北京）已知抛物线经过点．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；‎ ‎（Ⅱ）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点，，直线分别交直线，于点和点．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）抛物线经过点．可得，即，‎ 可得抛物线的方程为，准线方程为；‎ ‎（Ⅱ）证明：抛物线的焦点为，‎ 设直线方程为，联立抛物线方程，可得，‎ 设，，，，‎ 可得，，‎ 直线的方程为，即，‎ 直线的方程为，即，‎ 可得，，，，‎ 可得的中点的横坐标为，‎ 即有为直径的圆心为，‎ 半径为，‎ 可得圆的方程为，‎ 化为，‎ 由，可得或．‎ 则以为直径的圆经过轴上的两个定点，．‎ ‎20．（2008•浦东新区一模）由函数确定数列，，若函数的反函数能确定数列，，则称数列是数列的“反数列”．‎ ‎（1）若函数确定数列的反数列为，求的通项公式；‎ ‎（2）对（1）中，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设，若数列的反数列为，与的公共项组成的数列为，求数列前项和．‎ ‎【解答】解：（1）为正整数），‎ 所以数列的反数列为的通项为正整数）（2分）‎ ‎（2）对于（1）中，不等式化为（3分）‎ ‎，，‎ 数列单调递增，（5分）‎ 所以，要是不等式恒成立，只要．（6分）‎ ‎，，又 所以，使不等式对于任意正整数恒成立的的取值范围是（8分）‎ ‎（3）设公共项，、、为正整数，‎ 当为奇数时，（9分）‎ ‎，则（表示是的子数列），‎ 所以的前项和（11分）‎ 当为偶数时，，（12分）‎ ‎，则，同样有，‎ 所以的前项和（14分）‎ ‎21．（2019秋•浦东新区校级月考）若函数定义在区间上时存在反函数，那么就称区间为函数的“单射区间”，如果不存在单射区间，使得，那么就称为函数的“极大单射区间”，例如，是函数的“单射区间”， ，是函数的“极大单射区间”．‎ ‎（1）求的所有极大单射区间表示包含的区间，；‎ ‎（2）求的所有极大单射区间上的反函数，用表示；‎ ‎（3）判断，是否有意义，若有意义，求出它的值，若没有意义，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1），；‎ ‎（2），；‎ ‎（3），没意义，因为，．‎